第1章群
近世代数的主要研究对象是具有代数运算的集合，这样的集合称为代数系.群是具有一个代数运算的代数系.群的理论是近代代数学的一个重要分支，它在物理学、化学、信息学等许多领域都有广泛的应用.
本章和第2章介绍群的初步理论.本章的1.1节讨论等价关系和集合的分类以及它们之间的联系.1.1节的内容虽然不属于群论的范畴，但等价关系和集合的分类却是近世代数中经常出现的两个基本概念，所以先作一个介绍.1.2节～1.4节介绍群、子群、群同构的概念及有关性质.这是了解群的第一步.1.5节和1.6节较为详细地讨论了两类*常见的群——循环群与置换群.学习这部分内容可以熟悉群的运算和性质，加深对群的理解.1.7节是选学内容，介绍置换群的某些应用，初学时可以略去，并不影响后面的学习.
1.1等价关系与集合的分类
在数学研究中，常常要对一个集合的元素加以比较，希望通过元素之间的联系去了解整个集合.另一方面，也常常要把一个集合分成若干个子集，以便对各个子集进行分类研究，或对其中某些特殊子集加以讨论，从而了解整个集合的性质.例如，在实数集中，任意两个实数a与b之间就有a大于&或a不大于b两种情况.同时，根据一个实数是否大于零，可以把整个实数集合分解为正实数集，负实数集R-和单独一个数0组成的集合这三个子集合.又如，在数域F上的一元多项式环中，对任意两个多项式与，有可被整除或不可被整除两种情况.根据一个多项式被一个非零多项式所除的余式，可以把整个多项式环分解为许多个子集，不同的子集没有公共元素，同一个子集中的多项式在被g(x)除时余式都相同.
将上面两个例子中所涉及的概念加以推广，就得到集合上一般的关系的概念和集合的分类的概念.本节的主要目的就是介绍这两个概念以及它们之间的联系.
定义1.1.1设s是一个非空集合，R是关于S的元素的一个条件.如果对S中任意一个有序元素对，我们总能确定a与b是否满足条件兄，就称U是S的一个关系（relation).如果a与b满足条件TZ，则称a与b有关系R，记作aRb，否则称a与b无关系R.关系R也称为二元关系.
上面提到的实数集中元素之间的大于和中多项式的整除都是关系.
例1设是一个非空集合，S的所有子集组成的集合记为.因为对S的任意两个子集或有且仅有一个成立，所以集合的包含关系是的一个关系.进一步讨论可以发现，这个关系还具有下面两条性质：
(1)反身性，即对S的任一子集A，有;
(2)传递性，即对s的任意子集A，B，C，如果，有.
例2
例3
同时具有反身性、对称性和传递性三条性质的关系是我们特别感兴趣的.
定义1.1.2设R是非空集合S的一个关系，如果n满足
(E1)反身性，即对任意的，有，
(E2)对称性，即若，则;
(E3)传递性，即若aRb，且bRc，则aRc，
则称R是S的一个等价关系（equivalence relation)，并且如果aRb，则称a等价于b，记作a～6.
定义1.1.3如果～是集合S的一个等价关系，对，令
称子集[a]为S的一个等价类（equivalence class).S的全体等价类的集合称为集合S在等价关系下的商集（quotient set)，记.
例4三角形的全等、相似，数域K上n阶方阵的等价、相似、相合等都是等价关系，而例1～例3及本节开头所述的关系都不是等价关系.
例5设m是正整数，在整数集Z中，规定
则
(1)对任意整数a，有m|a-a;
(2)若m|a-b，则m|b-a;
(3)若m|a-b，m|b-c，则m|a-c.
所以R是Z的一个等价关系.显然a与b等价当且仅当a与b被m除有相同的余数，因此称这个关系为同余关系（congruence relation)，并记作a=b(mod m)(读作“a同余于b，模m”).整数的同余关系及其性质是初等数论的基础.
设，则
[a]称为整数集Z的一个（与a同余的）模m剩余类，在数论中，[a]常记作，而相应的商集称为Z的模m剩余类集，记作Zm.
易得
是模m的全体不同的剩余类，所以
集合的等价关系常和下面的概念联系在一起.
定义1.1.4如果非空集合S是它的某些两两不相交的非空子集的并，则称这些子集为集合S的一种分类（partition)，其中每个子集称为S一个类（class).如果S的子集族构成S的一种分类，则记作.
由此定义可知，集合S的子集族构成S的一种分类当且仅当
(PI)
(P2)
(PI)说明这些子集无遗漏地包含了S的全部元素；(P2)说明两个不同的子集无公共元素.从而S的元素属于且仅属于一个子集.这表明，S的一个分类必须满足不漏不重的原则.
例6设M为数域F上全体n阶方阵的集合，令表示所有秩为r的n阶方阵构成的子集，则有
(1)
(2)
所以是M的一种分类.
例7
例8
下面的定理揭示了集合的等价关系与集合的分类这两个概念之间的联系.
定理1.1.1集合S的任何一个等价关系都确定了S的一种分类，且其中每一个类都是集合S的一个等价类.反之，集合S的任何一种分类也都给出了集合S的一个等价关系，且相应的等价类就是原分类中的那些类.
证明首先，设～为集合S的一个等价关系，则
(1)对任意的，由反身性知，所以，
(2)
从而由(Pl)，(P2)知，全体等价类形成S的一种分类，显然每一个类都是S的等价类.
其次，如果已知集合S的一种分类P，在S中规定关系“～”：
对任意的，由于a属于其本身所在的类，所以a～a.如果a～b，即a与b属于同一类，自然b与a也属于同一类，所以b~a.*后，如果a～b，b～c，即a与b属于同一类，b与c属于同一类，因而a与c同在&所在的类中，所以a～c.因此“～”是S的一个等价关系.显然，由此等价关系得到的等价类就是原分类中的那些类.
定理1.1.1说明，一个集合的分类可以通过等价关系来描述.试比较例4、例5及例6、例7，可以看出，这样做在很多情况下是方便的.另一方面，等价关系也可以用集合的分类来表示.通过对集合的各种分类的了解，我们能够对集合的不同等价关系及其相互联系进行研究.不过，本书不准备对此进行深入的讨论.仅以下面的例子来说明集合的分类对研究集合的等价关系的作用.
例9设S={a，b，c}，试确定集合S的全部等价关系.
解由定理1.1.1知，只要求出S的全部分类，即求出S的所有可能的子集分划即可.
(1)如果S仅分划为一个子集，则有;
(2)如果S分划为两个子集，则有
(3)如果S分划为三个子集，则有.
因此，集合S共有五个不同的等价关系，它们是
注 如果用表示一个具有n个元素的集合上的不同等价关系的个数，则有下列的递推公式：
(1.1.1)
其中为二项式系数，并规定.这个公式的证明以及对数的性质的讨论，已超出本书的范围.有兴趣的读者可参考组合数学方面的书籍（如文献[2]).
习题1-1
1.试分别举出满足下列条件的关系：
(1)有对称性，传递性，但无反身性；
(2)有反身性，传递性，但无对称性；
(3)有反身性，对称性，但无传递性.
2.找出下列证明中的错误：
有人断言，若S的关系R有对称性和传递性，则必有反身性.这是因为，对任意的，由对称性，如果，则.再由传递性，得，所以TZ有反身性.
3.证明：在数域F上全体n阶方阵的集合M中，矩阵的等价、相合和相似都是等价关系.
4.设是集合A到B的映射，规定关系“～”：
证明：～是A的一个等价关系，并求其等价类.
5.设A={1，2，3，4}，在P(A)中规定关系“～”：
含有相同个数的元素.
证明：～是P(A)的一个等价关系，并求商集P(A)/～.
6.在有理数集Q中，规定关系“～”：
证明：～是Q的一个等价关系，并求出所有的等价类.
7.在复数集C中，规定关系“～”：
证明：～是C的一个等价关系，试确定相应的商集C/～，并给出每个等价类的一个代表元素.
8.设集合
在集合S中，规定关系“～”：
证明：～是S的一个等价关系.
*9.设A={a，b，c，d}，试写出集合A的所有不同的等价关系.
*10.不用公式（1.1.1)，直接算出集合A={1，2，3，4，5}的不同的分类数.
1.2群的概念
代数*初主要研究的是数，以及由数所衍生出来的对象.例如，代数方程的求根.初等代数主要研究的就是数以及数的运算.中学数学虽然有所谓代数式的概念，但这些概念本质上代表的仍然是数.高等代数虽引入了行列式、矩阵等概念，但还是离不开数.数的一个基本特征是可以进行加法、乘法等运算.这些运算的共同特点是对任意两个数，通过某个法则（如加法法则或乘法法则等)，可唯一求得第三个数.数学家们发现，许多抽象的对象也都具有类似于数的这一特征，于是对它们的结构和性质进行了研究，并且应用它们解决了许多重大的数学问题和实际问题.这就导致了近世代数的产生和发展.近世代数拓展了代数的研究领域，它所研究的已不再仅仅是数，而是具有某种运算的代数系统，这其中*基本的就是群、环和域.
本节的主要目的就是介绍群的基本概念和简单性质.为此，首先要对运算这一概念给出明确的定义.
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