基础篇
第一章行列式
行列式是为了求解线性方程组而引入的，它是研究线性代数的一个重要工具.近代以来，它又被广泛运用到物理、工程技术等多个领域.本章从解二元二式与三元三式方程组入手，引进二阶与三阶行列式的概念，并用排列的奇偶性将行列式的概念推广到n阶，同时讨论行列式的基本性质，并介绍n阶行列式的计算方法与一些技巧.
第一节排列
在定义n阶行列式前，先来讨论一下排列的性质.
n个数码1，2，的一个排列（即一个《阶排列）指的是由这n个数码组成的一个有序数组.例如，2341是一个4个数码的排列，31524是一个5个数码的排列.n个数码的不同排列共有个.
事实上，在作《个数码的一个排列时，第1个位置的数码可以取这n个数码中的任何一个，所以有《种可能；当这一个位置取定以后，第2个位置的数码只能在剩下的《-1个数码中选取，所以只有《-1种可能.因此第1个位置和第2个位置的数码一共有种不同的选法.同样，如果第1个、第2个位置的数码都已取定，那么第3个位置的数码只能在剩下的《-2个数码中选取.因此，前三个位置的数码一共有种不同的选法.依此类推，一共可以得到个不同的排列.
例如，1，2，3这3个数码不同的排列一共有3!=6个，它们是123，132，231，213，312，321注意’在上面3个数码的排列里，除123的数码是按自然顺序排列，其余的排列中，都有较大的数码排在较小的数码前面的情况.例如，在排列132里，3比2大，但3排在2的前面；在321里，2排在1的前面，3排在1和2的前面.一般地，在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个较小的数码前面，就说这两个数码构成一个逆序.例如，排列132有一个逆序;321有三个逆序.在一个排列里出现的逆序总数称为这个排列的逆序数.
例如，1432这个4个数码的排列中，43、42、32是逆序，1432的逆序数就是3;而2431排列的逆序数为4.
逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列.例如，1432为奇排列，2431为偶排列.
对任意一个排列，可以按照以下方法来计算它的逆序数：设任给排列为，其中为正整数，考虑巧，如果比乃大的且排在巧前面的元素有（个，就说乃这个元素的逆序数是0全体元素的逆序数之和即为这个排列的逆序数.
例1求排列45321的逆序数.
解在排列45321中，4排在首位，逆序数为0;在5之前比5大的数没有，逆序数也为0；3的前面比3大的数有4和5，故逆序数为2;2的前面比2大的数有4，5，3，故其逆序数为3;1的前面比1大的数有4，5，3，2，故逆序数为4.于是，排列的逆序数为
为叙述方便，以后一般将排列A的逆序数记为.如例1中有
定义1把一个排列中某两个数字与交换一下位置，而其余的数字不动，就得到另一个同阶的新排列，对排列施行的这样一个交换称为一个对换，并用符号ii，j、来表示.
例如，经过1，2对换，排列2431就变成了1432，排列2134就成了1234.又如，对排列31542陆续施行一系列对换，可以得出排列12345：先把5换到第5个位置，即施行对换（5，2）得31245;4已在第4个位置，不必动它；施行对换（3，2）得21345;最后再施行对换（2，1），就得12345.
上面由排列31542得出排列12345的方法显然具有一般性，即任一排列，通过一系列对换都能得到排列1234 n，并且有：
定理1任意两个n阶排列和，总可以通过一系列对换互变.
证由上面讨论已知，通过一系列对换可以由仏 匕得到12 《，由得出12 ，按照相反次序施行y；/2 夂变到12 n的变换，就可以得出由变到的变换，这样可以实现由变到12 ，再由12 变到 的变换.
定理2对换改变排列的奇偶性.
证先证明相邻对换的情形，即对换的两个数在排列中是相邻的情形.排列
（1.1）
经过Cj9k）对换变成
（1.2）
其中：2与5都代表若干个数码.显然，在排列（1.1）中，如：与其他的数构成逆序，则在排列（1.2）中仍然构成逆序；如不构成逆序，则在排列（1.2）中也不构成逆序；不同的只是，灸的次序.如果原来，A:组成逆序，那么经过对换，逆序数就减少一个；如果原来_/，A:不组成逆序，那么经过对换，逆序数就增加一个.不论增加1还是减少1，排列的逆序数的奇偶性总是变了.因此，在这种情形下，定理成立.
再看一般情形，设排列为
（1.3）
经过（j，A:）对换，排列（1.3）变成
（1.4）
易知，这样一个对换可以通过一系列的相邻数的对换来实现.从排列（1.3）出发，把A:与4对换，再与匕对换，如此继续下去，把A:—位一位地向左移动，经过s+1次相邻位置的对换，排列（1.3）就变成
（1.5）
从排列（1.5）出发，再把y—位一位地向右对换，经过s次相邻位置的对换，排列（1.5）就变成了排列（1.4）.因此，（J’k）对换可以通过2s+1次相邻位置的对换来实现.2s+l是奇数，相邻位置的对换改变排列的奇偶性，显然，奇数次这样对换的最终结果还是改变奇偶性.由以上定理，可得下列定理.
定理3当《彡2时，《个数字的奇排列与偶排列的个数相等，各为.
证设《个数字的奇排列共有^个，而偶排列共有个，对这^个奇排列施行同一个对换，那么由定理2，得到个偶排列.由于对这个偶排列施行对换，又可得到原来的个奇排列，所以这个偶排列各不相等，但一共只有g个偶排列，所以同理可得5^/7，所以
第二节《阶行列式的概念
行列式起源于解《元《式方程组.最简单、最基本的方程组是二元二式方程组，它的一般形式是
在中学学解方程组时，利用加减消元法解之（当时），可得
但此公式不容易记忆，因此也就不便于应用.针对这一缺点，萨吕（Sairus）创造性地引入记号
从而使上述公式变为容易记忆的形式
在引入的上述记号中，横排称为行，竖排称为列，因为共有2行2列，所以称为二阶行列式.二阶行列式的定义本身也给出了它的计算方法
从左上角到右下角的对角线称为主对角线，沿主对角线上的二元素之积取正号.从右上角到左下角的对角线称为次对角线或副对角线，沿次对角线上的二元素之积取负号.这种计算方法称为二阶行列式的对角线法则.
在解一般形式的三元三式方程组
时，暂把前两个方程中的&视为常数，利用二元二次方程组求解公式求出X2与；^后，再代入第三个方程求得^为
用同样的方法可求得与.
与解二元一次二式方程组时遇到的问题一样，上述公式既不便于记忆也不便于应用.为此，下面也像引入二阶行列式那样引入三阶行列式
从而把解三元一次三式方程组的一般公式变为便于记忆的形式
以/^/^七和乃分别代替;的分子和a，x2，x3的分母，则上式可简记为
依此类推，有理由猜测解未知数更多的方程组时也有类似的结论，可以定义出更高阶的行列式，但随着阶数的增加，这样的做法计算量过大，显然是不可取的.因此我们考虑通过对二阶、三阶行列式的特点进行归纳来猜测n阶行列式的一般规律.下面研究一下三阶行列式的规律.由式（1.7）易见三阶行列式有下列几个特点：
（1）三阶行列式是3!个项的代数和；
（2）它的每项都是行列式中三个元素的乘积，这三个元素恰好是每行每列各一个；
（3）每项都带有确定的符号，且若把一般项记为的形式，即行下标排成123，则的符号为（-iy（A/273）.
这样式（1.7）就可写成下列形式
同样式（1.6）也可写成
由此给出一般《阶行列式的定义2.

目录
基础篇
第一章 行列式 3
第一节 排列 3
第二节 n阶行列式的概念 5
第三节 行列式的主要性质 10
第四节 行列式按行（列）展开 14
第五节 克拉默法则 21
第六节 拉普拉斯定理 行列式的乘法规则 23
习题 26
自测题 30
第二章 矩阵 33
第一节 矩阵的概念 33
第二节 矩阵的运算 35
第三节 逆矩阵 40
第四节 分块矩阵 44
习题 49
自测题 51
第三章 消元法与初等变换 53
第一节 消元法与线性方程组的初等变换 53
第二节 矩阵的初等变换 54
第三节 初等矩阵 57
第四节 初等变换法求逆阵 59
第五节 消元法求解线性方程组 61
习题 65
自测题 68
第四章 向量与矩阵的秩 71
第一节 向量概述 71
第二节 向量空间 73
第三节 向量组的线性相关性 74
第四节 向量组等价 79
第五节 极大无关组与向量空间的基、坐标 80
第六节 矩阵的秩 84
习题 91
自测题 95
第五章 线性方程组 99
第一节 线性方程组的建立与表示形式 99
第二节 齐次线性方程组的解空间与基础解系 100
第三节 非齐次线性方程组解的结构 105
第四节 线性方程组求解举例 108
习题 113
自测题 118
第六章 特征值与特征向量 122
第一节 矩阵的特征值与特征向量 122
第二节 相似矩阵和矩阵的对角化 126
第三节 正交矩阵的概念与性质 131
第四节 实对称矩阵正交对角化 136
习题 138
自测题 142
第七章 二次型 144
第一节 实二次型概念与标准形 144
第二节 化实二次型为标准形 146
第三节 实二次型的正惯性指数 153
第四节 正定二次型 155
习题 161
自测题 163
应用篇
第八章 矩阵和线性方程组的应用 167
第一节 日常矩阵运算 167
第二节 投入产出数学模型 173
第三节 线性规划数学模型 177
第四节 通信和交通网络问题 180
第五节 状态离散和时间离散的马尔可夫过程模型 182
第九章 矩阵相似对角化的应用 186
第一节 生物遗传问题 186
第二节 莱斯利种群模型 191
第三节 常系数线性齐次微分（差分）方程组的解 195
第十章 向量空间与内积的应用 200
第一节 丢勒魔方 200
第二节 布尔向量空间及应用 203
第三节 矩阵空间 205
第四节 内积及应用 208
第十一章 实二次型理论的应用 212
第一节 二次*线方程的化简 212
第二节 二次*面方程的化简 214
第三节 求函数的*值应用 218
实验篇
第十二章 MATLAB入门 223
第一节 MATLAB概述 223
第二节 MATLAB的变量与函数 226
第三节 MATLAB图形功能 231
第四节 MATLAB程序设计 242
第五节 MATLAB的符号运算 251
第十三章 用MATLAB求解线性代数基本问题 256
第一节 矩阵的输入与运算 256
第二节 MATLAB在矩阵和线性方程组中的应用 260
第三节 MATLAB在特征值、特征向量、二次型中的应用 264
第四节 投入产出分析与*优化 267
习题参考答案 271