第1章 结构可靠性理论基础
1.1 结构可靠性定义及相关概念
结构可靠性的定义为在规定的时间内和规定的条件下，结构完成规定功能的能力。结构可靠度的定义为在规定的时间内和规定的条件下，结构完成规定功能的概率。结构完成其规定的功能可以看作其行为满足规定要求，也即在规定的时间内和规定的条件下，其响应量满足规定的要求，因此可靠性分析就是系统行为或者说系统的响应量满足规定要求的概率分析。响应量满足规定要求的概率可以看作响应量完整统计规律的一个特征值，完整的统计规律将包含响应量更多的有用信息。目前，大多数可靠性分析方法都是针对可靠度（或失效概率）进行研究的，本书将在主要介绍可靠度（或失效概率）分析方法的同时，兼顾响应量完整统计规律的分析方法。
基本变量（basic variables）x={x1， x2， ， xn}： 在结构可靠性分析中，将影响系统行为（或响应量）的不确定性因素称为基本变量。基本变量的随机不确定性决定了响应量的随机不确定性。基本变量的随机不确定性是由概率密度函数fX（x，θx）（其中θx为基本变量的分布参数）来描述的。在一般的结构可靠性分析中，基本变量包括几何构成、材料性能和载荷等，这些基本变量的统计规律在可靠性分析之前必须是已知的。如果不了解基本变量的统计规律，作为基本变量函数的响应量的统计规律是不可能得到的。
响应变量（response variables）r={r1，r2， ，rm}： 在结构可靠性分析中，响应量是用来描述系统行为特性的，它可以包括位移、应力、应变、蠕变、寿命、振动特征量、运动学特征量等，是基本变量的函数，即r=r（x），基本变量与响应量之间的函数关系是由自然律确定的。可靠性分析的目的就是得到响应量的统计规律，并且响应量的统计规律是由基本变量的统计规律，以及基本变量与响应量之间的自然律确定的。
极限状态函数（limit state function）g（x）={g1（x）， g2（x）， ， gm（x）}： 极限状态函数也称功能函数（performance function），它是用来描述系统状态的函数，一般定义极限状态函数为响应量与其阈值r*={r*1，r*2， ，r*m}的差，也即g（x）=r（x）-r*。目前，针对具有解析表达式极限状态方程的可靠性分析方法已较为成熟。但是对于复杂的结构系统来说，极限状态方程一般都没有解析表达式，即极限状态函数是隐式的，隐式极限状态函数的可靠性分析是目前的难点。
极限状态方程（limit state equation）： 极限状态方程是极限状态函数等于零的方程，即g（x）=r（x）-r*=0，它是失效状态与安全状态的分界面。
失效（failure）是指结构丧失规定功能。对于可修结构（其功能可修复），失效通常称为故障。
失效域F（failure domain）和安全域S（safe domain）： 若结构不能完成规定的功能，则结构处在失效域内。根据结构的功能要求，失效域F一般是由结构的响应量满足一定的阈值要求来定义的，安全域S为失效域F的补集，当定义F={x： g（x）=r（x）-r*≤0}为失效域时，则S={x： g（x）=r（x）-r*＞0}对应的就是安全域。
结构失效概率（failure probability）Pf： 失效概率是指结构失效的概率，在数学上，失效概率Pf可表达为下列积分形式： Pf=P{F}=P{g（x）=r（x）-r*≤0}=∫FfX（x，θx）dx=∫g（x）≤0fX（x， θx）dx（1.1）
结构可靠度（reliability degree）Pr： 可靠度是指结构安全的概率，在数学上，可靠度可表达为下列积分形式： Pr=P{S}=P{g（x）=r（x）-r*＞0}=∫SfX（x，θx）dx=∫g（x）＞0fX（x， θx）dx（1.2）且失效概率Pf和可靠度Pr之间存在以下关系（互补关系）： Pf+Pr=1（1.3）
单失效模式（single failure mode）： 失效模式是与结构的极限状态方程相对应的，当结构只有一个极限状态方程时，则称结构具有单个失效模式。对于单失效模式问题，单个极限状态函数的统计规律就是结构的统计规律，单失效模式的失效概率就是结构的失效概率。
多失效模式（multiple failure mode）： 当结构具有多个极限状态方程时，则称结构具有多个失效模式，具有多失效模式的结构通常也称为结构系统。多失效模式问题，结构系统的失效与模式的失效具有一定的逻辑关系，如并联关系、备用关系、串联关系、k/n表决关系、混联关系等，其示意图如图1.1所示。在确定了结构系统失效与各模式失效的关系及各模式极限状态函数的统计规律后，就可以确定结构系统的统计规律和结构系统的失效概率了。单失效模式的可靠性分析较简单，多失效模式的可靠性分析方法是建立在单失效模式可靠性分析基础上的更为复杂的分析方法，是解决航空航天等重大装备结构可靠性设计的基础理论与技术关键。
图1.1 单失效模式和多失效模式可靠性问题
1.2 结构可靠性分类
1.2.1 结构可靠性命名
根据失效的方式，结构可靠性可命名为设计可靠性、制造可靠性、使用可靠性、人的可靠性、参数可靠性等。
根据出现的某种极限状态，结构可靠性可命名为强度可靠性、刚度可靠性、稳定性可靠性、疲劳强度可靠性、耐久性可靠性、蠕变可靠性、密封性可靠性等。
1.2.2 结构可靠性计算模型
结构可靠性计算模型一般可分为数学模型法和物理原因法。
数学模型法是设想结构可靠性的变化遵从某些由实验确定的统计规律，但该方法没有阐明失效产生的原因，并且也不能指出消除失效的可能性。
物理原因法一般包括应力强度静态模型和动态模型。应力强度静态模型认为施加在结构上的应力和强度均为服从一定分布的随机变量，结构可靠度是结构强度大于施加在其上应力的概率。此时，计算可靠度所用的初始数据也是由统计得到的，但并不是结构可靠性本身的特征量，而是材料参数、几何尺寸、外载荷等特征量的统计资料。该方法在结构可靠性分析过程中考虑了导致失效的原因，假设应力和强度分别为S和R，则可靠性（度）Pr可表示为Pr=P{R（x）＞S（y）}（1.4）
在动态模型中，结构可靠性定义为随机过程或随机场不超出规定任务水平的概率。此时，随机变量或基本变量是与随机过程或随机场相关的量，与时间相关。为了计算动态模型的可靠度，同样需要初始的统计资料，从而得到随机过程或随机场的统计参数，但这种参数的得出比静态模型统计参数要困难得多。结构动态模型的可靠度一般表示为Pr=P{V（t）∈Ω}（1.5）其中，V（t）为结构响应量随时间变化轨迹；Ω为结构响应量的允许域。
1.3 结构可靠性分析方法
影响响应量的不确定性因素是多种多样的，在本书中将着重讨论随机不确定性因素对结构响应量的影响。目前，预测随机不确定性因素影响下的结构行为的方法大致可分为确定论方法、统计学方法和概率论方法3种。
在采用确定论方法预测不确定性因素影响下的结构响应量时，常常利用自然律计算得到响应量的确定值，然后再加一定的安全系数，以考虑不确定性因素对结构行为的影响，但为什么使用这个安全系数而不使用其他的安全系数是没有理论可以指导的。在结构确定性设计中，没有考虑数据参数的分散性，采用安全系数保证安全有一定的盲目性，尤其是对于新结构的设计。一般来说，采用大的安全系数对于提高安全程度是合理的，但这并不意味着能够防止失效的发生，相反，不合理地增大安全系数会造成重量的增加、材料的浪费和性能的降低。另外，与概率设计方法相比，确定论方法所要求的数据少，设计方法简单。
采用统计学方法预测不确定性因素影响下的系统响应量，可以避开选择安全系数的困扰，通过收集具有统计意义的系统响应量的样本数据，并对收集的样本数据进行统计分析，就可得到响应量的概率密度函数，进而全面掌握系统响应量的随机统计规律。但收集数据费时昂贵，且数据量太小时不能准确地反映响应量母体的分布规律。更值得注意的是：在一定时间内和一定条件下，对响应量进行的数据收集和归纳总结不具有一般性，较难推广。
概率论方法则综合了确定论方法和统计学方法的优点，该方法利用自然律得到响应量与影响响应量的基本变量（如材料参数、几何尺寸、载荷等）之间的关系，并利用统计学方法收集基本变量的样本数据，得到基本变量的统计规律，然后采用演绎推理的方法，将基本变量的统计规律传递到响应量，得到响应量的统计规律后也就全面掌握了系统行为的统计规律。概率论预测方法避免了确定论方法与统计学方法的缺点，收集到的基本变量的统计资料具有推广价值，其所采用的演绎推理方法具有通用性。因此，概率论方法符合客观实际，能够根据结构的可靠性要求，把失效的发生控制在一种可接受的水平，可以减轻重量、降低成本、提高性能，是目前可靠性分析与设计中普遍应用的一种方法。但是，概率论方法所需的原始数据多，比确定论设计方法复杂。
对于复杂的结构系统，影响系统行为的基本变量和描述系统行为的响应量之间的自然律主要是通过有限元、运动仿真等来定义的。可靠性分析的过程就是利用这种基本变量和系统行为响应量之间的自然律，采用概率分析的手段进行可靠性建模，将基本变量的统计规律传递到响应量（图1.2）［1］，可靠性分析的概述框图［1］如图1.3所示。
图1.2 基本变量统计规律向响应量统计规律传递的示意图［1］
图1.3 结构可靠性分析概述框图［1］
基于图1.3所示的可靠性分析概述框图，可靠性分析模型大致可以分为直接方法和间接方法两大类，而直接方法又可分为近似解析法和数学模拟法两大类。间接方法主要指函数代替法，即代理模型方法，代理模型方法分为响应面法和机器学习方法。
针对航空航天结构智能可靠性设计，本书着重介绍智能可靠性设计的相关方法与算法。针对直接方法，简要介绍一次二阶矩方法、蒙特卡罗（Monte Carlo， MC）法、拉丁超立方抽样（Latin hypercube sampling， LHS）技术、重要度抽样方法、质心沃罗诺伊划分（centroidal Voronoi tessellation， CVT）抽样方法、拉丁质心沃罗诺伊划分（Latinized centroidal Voronoi tessellation， LCVT）抽样方法。间接方法主要介绍响应面（多项式）法、先进高精度的机器学习方法及高效的智能优化算法。其中，响应面法主要介绍二次多项式响应面法。机器学习方法包括克里金（Kriging）模型方法、人工神经网络（artificial neural network， ANN）模型方法、支持向量机模型方法、结构系统可靠性设计模型的多代理模型方法、分布式协同代理模型方法、混合代理模型方法等。在建模过程中，智能优化算法经常用于寻找模型*优参数，确保代理模型的建模精度。因此，本书介绍的智能优化算法有遗传算法（genetic algorithm， GA）、粒子群优化（particle swarm optimization， PSO）算法、多种群遗传算法（multipopulation genetic algorithm， MPGA）、量子遗传算法、蚁群优化算法、蜂群算法、鱼群算法等。以上这些方法和算法将在后续章节陆续介绍。
1.4 结构可靠性设计的数学基础
概率论是数学科学中应用*广泛的一个分支。应用概率论思想方法分析问题、描述问题通常会对普通和熟悉的现象有新的解释。根据前面介绍，可靠性问题涉及大量的随机事件及其关系的分析、运算、实验观测数据的统计处理、随机过程的表达与预测等。本节将介绍与可靠性设计相关的数学基础［2］。
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