**章 一元能源价格均值过程
能源是工业的血液,是现代社会*重要的资源。能源资源的生产与分配过程主要依靠买卖活动进行,这让能源具有商品的属性。能源商品交易的参与者*关注能源的价格变化,而了解价格运动*有力的分析工具便是时间序列分析。分析能源价格时间序列,既需要考虑一般的时间序列分析框架,也要考虑能源商品所具有的特殊性。正如观察事物需要从多个维度入手一样,观察能源价格时间序列的运动特征也具有多个维度,且这些维度的选择是由能源商品的特殊性驱动的。在现实的市场交易中,购买者*关注的维度便是价格收益率的变化。“买低卖高”便是购买者依据能源价格收益率的变化调整自身交易行为的表现。本章作为开篇之章,主要介绍单个能源资产价格收益率序列的均值特征,即一元能源价格均值过程。如无特殊说明,本章仅研究一元情况。
1.1 能源价格收益率
1.1.1 能源价格收益率的定义
相比于价格水平,投资者更关心能源价格收益率。收益率大于0,则投资者盈利;小于0则亏损。收益率的变化直接影响能源资产投资者的行为决策。假设投资者在时刻以的价格买入某种能源资产,在时刻以的价格卖出某种能源资产,那么该能源资产在时刻的简单单期收益率为
(1-1-1)
简单期收益率和简单单期收益率的定义类似。假设能源资产投资者在时刻以的价格买入某种能源资产,在时刻以的价格卖出某种能源资产,能源资产在时刻至时刻的每一期的简单单期收益率分别为,则该能源资产在时刻的简单期收益率为
(1-1-2)
从式(1-1-2)可以看出,简单期收益率可由过去多个简单单期收益率表示。
在现实中,投资者常常会遇到其所拥有的能源资产具有连续复利的情况。例如,存在多只具有股息率的能源股票,在每年特定分红的时刻投资者会收到一定比例的股息回报。每只能源股票支付股息的时间并不统一,有些能源股票会半年支付一次股息,而有的能源股票会一个季度支付一次股息。我们考虑这样一个情况:假定一只能源股票的股息率是10%,投资者所持有能源股票的价值为10000元。如果该能源公司每年支付一次股息,那么能源股票投资者在一年的总收益是
(1-1-3)
现在假定该能源公司每半年支付一次股息,股息率是10%/2=5%,那么能源股票投资者一年的总收益是
(1-1-4)
现在假定该能源公司每个季度支付一次股息,股息率是10%/4=2.5%,那么能源股票投资者一年的总收益是
(1-1-5)
如此往复,我们可以想象到一年的时间可以被无限分割,而股息率也可以被无限等分。假设投资者的初始能源股票资产为,不考虑股价变动,股息率是,一年的时间被分割为份,同时在每一个时间段支付投资者股息,对应的股息率为,则经过一年的时间后,当趋于无穷时,能源股票投资者一年的总资产可通过式(1-1-6)计算得到,即
(1-1-6)
此时,我们称式(1-1-6)中的为对数收益率。反之,我们可以根据能源股票价格求出对应的对数收益率,即
(1-1-7)
对数单期收益率在一般的金融研究中有着广泛的应用,其使用场景常常超过了一般的简单单期收益率。接着上述例子,假设能源资产投资者在时刻以的价格买入某种能源资产,在时刻以的价格卖出某种能源资产,能源资产在时刻至时刻的每一期的对数单期收益率分别为,则该能源资产在时刻的对数期收益率为
(1-1-8)
我们比较式(1-1-8)和式(1-1-2)的形式可以发现,对数收益率对于期收益率的表达非常简洁,这为后续更为复杂计算场景的表达提供了方便。需要注意的是,当能源资产价格为负数时(如负电力价格),则不能使用对数收益率,而应使用简单收益率。
1.1.2 能源价格收益率的时间序列特征
从直观的表现来看,假设某一个能源资产(如能源公司的股票、能源期货)是一个日度数据,且只关注它的收盘价收益率序列,我们在每个交易日都能得到一个观测值,那么在一段时间内就能观察到一个时间序列样本。在进一步采用时间序列分析工具分析能源价格前,必须明确一个观点:每一个交易日的收益率都是一个随机变量,即存在着一个“总体”,我们所观察到的都是的“总体”的一个样本值。如果存在着“平行世界”或者历史能够重现一遍,那么这个能源价格收益率随机变量的观测值可能会是另一个值。
进一步地,由于每一个交易日的收益率是随机变量,那么在一段时间定义下的收益率序列就是一个随机过程。
本书的核心任务可以抽象为描述能源价格收益率的特征,从本质上来说,就是从已知的收益率观测值信息中获得一些未知的东西(如收益率的分布函数等)。为了做到这一点,本书后续部分所有内容讨论的前提假定都是在所感兴趣的时间范围内概率分布的某种特征保持不变。这就必须要引入时间序列平稳性的概念。
时间序列的弱平稳性定义如下:时间序列称为是弱平稳的,如果对每个,,且满足:①是与无关的常数;②对于每个,与无关。时间序列的严平稳性定义如下:如果对任意的和任意的整数,和有相同的联合分布,则时间序列称为是严平稳的。
在本书随后章节的学习中,我们会经常遇到弱平稳性的概念。弱平稳性定义假定时间序列的前两阶矩是不变的。弱平稳性主要用于描述线性变化的能源价格收益率时间序列,这类时间序列主要涉及时间延迟变量间的线性关系。对于本书所涉及的大多数能源价格时间序列分析问题,只要有弱平稳性的假定就够了。
能源价格收益率的自协方差和自相关函数具有广泛应用。对于一个弱平稳的能源价格收益率,对任意的,有自相关函数
(1-1-9)
其中,Cov表示协方差运算。由式(1-1-9)可知,t时刻收益率和时刻收益率之间的相关性仅依赖于时间差的绝对值。由此,我们给出时间序列自协方差函数(autocovariancefunction)的定义。的自协方差函数可以表示为
(1-1-10)
的自相关函数(autocorrelationfunction)可以表示为
(1-1-11)
其中,Corr表示相关系数。由以上定义我们能够看出,和都是偶函数,即
(1-1-12)
一个定义在整数集上的实函数是一个平稳时间序列的自协方差函数,当且仅当它是偶函数和非负定函数时,则对任意整数和任意实数,有
(1-1-13)
在现实中,如果给定弱平稳的能源价格收益率序列的观测值集合,我们可以用如式(1-1-14)所示的方程来估计样本自协方差函数,即
(1-1-14)
其中,。同时,样本自相关函数为
(1-1-15)
除了自相关函数,另一个非常重要的函数是偏自相关函数。自相关函数度量了收益率和间的相关性,而不考虑与中间变量的关系。然而根据线性回归的相关知识,和间的相关性可能被和间的相关性重复解释。例如,某个能源价格收益率在时刻和时刻的相关性接近于1,而如果也接近于1,我们自然可以得到接近于1。作为一个中间变量连接了和的关系,但如果我们剔除的影响,和的相关性可能并不强。偏自相关函数便是用来衡量剔除了其他变量的影响后两个变量之间的相关性的。
如果是平稳时间序列且,则偏自相关函数的定义为
(1-1-16)
其中,是由关于的线性回归所得的残差,即
(1-1-17)
且。
1.2 能源价格收益率均值过程模型
在1.1.2小节中,我们了解到每一个时刻的能源价格收益率是一个随机变量。研究特征的**范式是分析这个随机变量的矩特征,*典型的矩特征便是随机变量的一阶矩,即均值。从一个时间段来观察,是一个随机变量,这说明不同时刻下的概率分布函数是不同的,那么每一个时刻的均值也不相同,描述均值变化的过程便是均值过程。
1.2.1 随机游走特征与移动平均模型
观察任意时间段内能源价格收益率序列,我们会发现它似乎毫无规律可循。因为虽然价格收益率似乎围绕着某个数值在上下波动,但和一些规律的*线(如正弦*线)相比,能源价格收益率序列显得杂乱无章,似乎像一个喝醉的人在一个区域内随意走动。我们称这种特征为“随机游走”特征。如图1-1所示,美国西得克萨斯中质(West Texas intermediate,WTI)原油期货按照周度收盘价计算的收益率序列的运动轨迹在数值0附近无规则地不断震荡变化。
图1-1 美国WTI原油期货周度收益率序列
在统计学上,和随机游走特征息息相关的一个概念是白噪声过程。设定一个随机过程,如果对于每一个时刻t和时刻s(),有
(1-2-1)
其中,表示某一个非0常数,则称为白噪声过程。值得注意的是,式(1-2-1)并没有规定在每一个时刻的分布族。白噪声过程仅由它的前两阶矩所定义,白噪声过程是一个弱平稳过程。之所以称其为白噪声,是因为它不包含任何信息,就像是电视视频信号中的“雪花”一样,所以被形象地称为白噪声。在能源价格时间序列分析中,白噪声时常用来表示能源价格收益率在某个时间所接收到的新信息,所以白噪声也被称为新息(innovation),白噪声序列也被称为新息序列。回到之前所说的随机游走特征,因为随机游走暗示了无规律,即无信息,白噪声序列非常适合用于描述这种无规律运动的状态。一种**的根据随机游走特性描述能源价格收益率序列的模型是移动平均(moving average,MA)模型。在MA模型中,能源价格收益率的均值过程是由式(1-2-1)所定义的白噪声过程的加权线性组合,即不同时期白噪声过程的移动平均值。
令能源价格收益率为,用一个阶的MA模型MA来描述,即
(1-2-2)
其中,、至皆表示实数;表示的新息,是白噪声序列;是阶数。观察式(1-2-2),MA模型描述了能源价格收益率是由当期的新息和过去几期的新息加权而得到。新息代表了市场所给予的新信息,这意味着能源价格收益率的数值由*近期中每期的市场新信息构成(包括当前的新息),且在时期之前的新息已经不会对当期的构成影响。结合式(1-2-1),在MA模型的定义下,收益率的均值为
(1-2-3)
这正好贴合了能源价格收益率围绕着某一个数值随机游走的特征,而这个数值正是。在MA的定义下,的方差为
(1-2-4)
其自协方差函数为
(1-2-5)
可见,对于任意的、到,MA过程都是协方差平稳的,即弱平稳过程。特别地,当新息的分布族是正态分布时,MA过程对于所有的矩都是遍历的。超过阶滞后的自协方差函数数值为0。
1.2.2 自相关性与自回归模型
思考这样一件事,我们在观察一个较长时间段内的能源价格收益率时,虽然收益率的变化呈现出杂乱无章的特征,但可能存在两个潜在规律。
**个规律是能源价格收益率在某一个时间段内总是保持着正值,在另一个时间段内总是保持着负值。这个规律其实可以从能源价格数据中看出:收益率保持正值对应着在某个时间段内能源价格保持上涨,收益率保持负值对应着在某个时间段内能源价格持续下跌。这种情况其实是由能源资产投资者的心理预期造成的。投资者对于未来能源价格的信念总是由两部分组成,一部分是吸收前一段时间内能源价格变化趋势的经验,另一部分是对未来市场新信息的反映。这两部分中,前者的影响常常更大。这意味着能源资产投资者对当前的价格判断在很大程度上继承于之前时刻的价格判断,几乎不会经常出现前一天某个能源资产价格为60元,而今天的收盘价为5元的情况。这种吸收过去价格经验的能力,反馈在能源价格收益率上就是当前收益率与之前时刻收益率高度相依。
第二个规律是能源价格收益率随着时间的变化总是围绕着0值上下波动,这种特征也被称为“均值回复性”。
温馨提示:请使用泸西县图书馆的读者帐号和密码进行登录