陈鹏玉，西北师范大学数学与统计学院教授、博士生导师、副院长，甘肃省一流本科课程《泛函分析》负责人，美国New Mexico Technology大学数学系访问学者，美国《Math Review》和德国《Zentralblatt MATH》评论员.主要从事非线性分析与无穷维随机动力系统的研究，近年来以第一作者身份在国际权威数学刊物Mathematische Annalen、SIAM Journal on Mathematical Analysis等上发表学术论文50余篇，主持国家自然科学基金项目2项，甘肃省杰出青年基金与甘肃省自然科学基金重点项目等科研项目多项.研究成果获甘肃省自然科学奖二等奖、三等奖各1项，甘肃省高校科技进奖2项.2021年获甘肃省杰出青年基金资助，2022年入选甘肃省“飞天学者”特聘计划，2023年被评为西北师范大学教学名师，2023年入选甘肃省领军人才.

 

李永祥，西北师范大学数学与统计学院二级教授、博士生导师，甘肃省数学会副理事长，美国《Math Review》和德国《Zentralblatt MATH》评论员.曾任西北师范大学数学与信息科学学院副院长、数学与统计学院副院长、院长等职务.主要从事非线性泛函分析与非线性微分方程的研究，在国际权威数学刊物 Journal of Functional Analysis、Nonlinear Analysis系列杂志等上发表学术论文100余篇，先后主持4项国家自然科学基金项目及4项甘肃省自然科学基金项目的研究.主持完成的科研成果获甘肃省自然科学奖二等奖2项，甘肃省高校科技进奖4项.1997年获甘肃省高校青年教师成才奖，2005年入选甘肃省“555”创新人才工程，2008年被评为西北师范大学教学名师，2010年入选甘肃省领军人才.

 

张旭萍，西北师范大学数学与统计学院云亭青年教授、硕士生导师，美国New Mexico Technology大学数学系访问学者，美国《Math Review》和德国《Zentralblatt MATH》评论员.主要从事非线性泛函分析与无穷维随机动力系统的研究工作，近年来在国际权威数学刊物SIAM Journal on Mathematical Analysis、Journal of Differential Equations等上发表学术论文40余篇，2018年在科学出版社出版专著《抽象发展方程非局部问题的可解性及其应用》1部，2024年在科学出版社出版《泛函分析》教材1部，主持国家自然科学基金项目1项，甘肃省自然科学基金项目、甘肃省高等学校青年博士支持项目等多项.研究成果获甘肃省自然科学三等奖和甘肃省高等学校科学研究优秀成果三等奖各1项.

 

杨和，西北师范大学数学与统计学院教授、博士生导师、副院长，上海交通大学数学系博士后，美国Texas A&M University-Kingsville数学系访问学者，美国《Math Review》评论员.主要从事非线性分析及其应用方面的研究，近年来在权威数学刊物Journal of Optimization Theory and Applications、Bulletin des Sciences Mathématiques等上发表学术论文40余篇，在北京大学出版社出版《线性代数》教材1部，主持国家自然科学基金项目1项，中国博士后科学基金项目、甘肃省自然科学基金项目等多项.2020年作为《线性代数》负责人获批甘肃省线上线下混合式一流本科课程，2021年获批甘肃省教学成果培育项目，2022年《线性代数》线上课程入选首批国家高等教育智慧教育平台.

第1章 度量空间与赋范线性空间
　　1.1 度量空间的概念与例子
　　1.1.1 度量空间的概念
　　极限是数学分析中*基本的概念，连续、导数、积分等概念都是用极限来定义的，而极限过程是用距离来描述的.我们*先回忆n维欧氏空间Rn中两点x=(x1，x2， ，xn)和y=(y1，y2， ，yn)之间的距离d:
　　d(x，y)=.(1.1.1)
　　容易验证由(1.1.1)式定义的距离d满足下列性质:
　　(1)d(x，y).0且d(x，y)=0等价于x=y(x，y是同一点);
　　(2)d(x，y)=d(y，x);
　　(3)d(x，y).d(x，z)+d(y，z)，z2Rn.
　　我们希望把Rn中两点之间的距离d抽象化，对一般的集合引入两点之间的距离，从而引出度量空间的概念.
　　定义1.1.1 设X是非空集合，若对任意两个元素x，y2X均有实数d(x，y)与之对应，即存在映射d:XX!R，满足
　　(i)非负性 d(x，y).0且d(x，y)=0等价于x=y(x，y是同一点);
　　(ii)三角不等式 d(x，y).d(x，z)+d(y，z)，x，y，z2X，则称d(x，y)为x与y之间的距离，d称为X中的距离函数.此时称X按d构成度量空间或距离空间，记为(X，d)，简记为X.度量空间X中的元素称为点.
　　设(X，d)为度量空间，MX为非空子集，则(M，d)为度量空间，称为X的子空间.
　　注1.1.1 由距离的性质(i)和(ii)可推出距离具有对称性:对X中的任意两点x，y均成立d(x，y)=d(y，x).
　　证明 在性质(ii)中取z=x得，d(x，y).d(x，x)+d(y，x).由性质(i)可知d(x，x)=0.因此，有d(x，y).d(y，x).由x，y的任意性，可交换x与y的位置，互换x与y后得d(y，x).d(x，y).所以d(x，y)=d(y，x).□
　　注1.1.2 任何非空集合均可引入距离使之成为度量空间.比如，若X是一个非空集合，x，y2X，定义
　　(1.1.2)
　　容易验证由(1.1.2)式定义的d是一个距离，从而(X，d)是一个度量空间，称为离散度量空间.在体育训练中，射击目标可以抽象为这样的离散度量空间.
　　注1.1.3 任何非空集合中均可引入不止一个距离，若d为非空集合X中的一个距离，则
　　(1.1.3)
　　也是X中的一个距离.
　　证明 性质(i)显然成立.下面我们只需证明性质(ii)成立.因为f(x)=x1+x是[0，+1)上的单调递增函数，所以对任意的x，y，z2X，有
　　即性质(ii)成立.故由(1.1.3)式定义的d1也是X中的一个距离.□
　　1.1.2 点列的极限
　　有了距离就可以在一般的度量空间中引入极限的概念.
　　定义1.1.2 设(X，d)为度量空间，fxng∞n=1X，x02X.若d(xn，x0)!0(n!1)，则称点列fxng按距离d收敛于x0，记作xnd !x0(n!1)或limn→∞xn=x0.
　　定理1.1.1 在度量空间(X，d)中，任何一个点列fxng*多只有一个极限.
　　证明 设存在x，y2X，使得xnd !x且xnd !y(n!1)，则由性质(i)和(ii)可得
　　d(x，y).d(xn，x)+d(xn，y)!0(n!1).
　　所以，d(x，y)=0.故x=y.□
　　定理1.1.2 设(X，d)为度量空间.若xnd !x，ynd !y(n!1)，则d(xn，yn)!d(x，y)(n!1)，即d:XX!R为两变元的连续函数.
　　证明 因为
　　d(xn，yn).d(xn，x)+d(x，y)+d(y，yn)，
　　所以
　　d(xn，yn) d(x，y).d(xn，x)+d(yn，y).(1.1.4)
　　在(1.1.4)式中交换xn与x，yn与y的位置，得
　　d(x，y) d(xn，yn).d(x，xn)+d(y，yn).(1.1.5)
　　所以，由(1.1.4)式与(1.1.5)式可得
　　jd(xn，yn) d(x，y)j.d(xn，x)+d(yn，y)!0(n!1).
　　因此，d(xn，yn)!d(x，y)(n!1)，即d:XX!R为两变元的连续函数.□
　　定义1.1.3 设d1，d2为非空集合X上的两个距离.若d1与d2引出的收敛相同，即xnd1 !x(n!1)等价于xnd2 !x(n!1)，则称d1与d2为X中的等价距离.
　　因此，由定义1.1.3可知注1.1.3中的距离d1与d等价.
　　定义1.1.4 设(X，d)为度量空间，x02X，r>0为实数.称
　　B(x0，r)=fx2Xjd(x，x0)　　为X中以x0为中心，r为半径的开球;称
　　B(x0，r)=fx2Xjd(x，x0).rg
　　为X中以x0为中心，r为半径的闭球.
　　定义1.1.5 设M为度量空间X中的点集，若M包含于X中的某个开球B(x0，r)中，则称M为X中的有界集.
　　由数学分析的知识可知，收敛数列是有界的.在度量空间中，有如下更一般的结果.
　　定理1.1.3 设fxng是度量空间X中的收敛点列，则fxng有界.
　　证明 设存在x02X，使得xnd !x0(n!1).则对.0=1，存在N2N，使得当n.N时，有d(xn，x0)<.0=1.取
　　r=max1，d(x1，x0)，d(x2，x0)，，d(xN.1，x0) +1.
　　则fxngB(x0，r).故fxng有界.□
　　1.1.3 度量空间的例子
　　下面我们给出一些度量空间的例子，并讨论这些空间中收敛的具体含义.
　　例1.1.1n维欧氏空间Rn按(1.1.1)式定义的d构成度量空间，且Rn中的收敛为按坐标收敛，即对xm=(ξ(m)1，ξ(m)2，，ξ(m)n)2Rn，m=0，1，，xmd !x0(m!1)的充分必要条件是limm→∞ξ(m)k=ξ(0)k，k=1，2，，n.
　　证明 由d(xm，x0)!0(m!1)可得
　　例1.1.2 连续函数空间C[a，b].对任意φ，ψ2C[a，b]，定义
　　(1.1.6)
　　则有
　　(1)C[a，b]按(1.1.6)式定义的d构成度量空间;
　　(2)C[a，b]中的收敛为函数列的一致收敛，即对φn=φn(t)2C[a，b](n=1，2，)及φ0=φ0(t)2C[a，b]，φnd !φ0(n!1)的充分必要条件是φn(t)在[a，b]上一致收敛于φ0(t).
　　证明(1)由(1.1.6)式可知距离的性质(i)成立.对闭区间[a，b]上的连续函数φ(t)，ψ(t)及χ(t)，由绝对值的三角不等式可知，对任意的t2[a，b]，有
　　上式左端取*大值得
　　d(φ，ψ)=maxt∈[a，b]jφ(t) ψ(t)j.d(φ，χ)+d(χ，ψ).
　　从而距离的性质(ii)成立.因此，由(1.1.6)式定义的d是一个距离.
　　(2)由φnd !φ0(n!1)及(1.1.6)式可得
　　d(φn，φ0)=maxt∈[a，b]jφn(t) φ0(t)j!0(n!1).(1.1.7)
　　因此，对任意.>0，存在N2N，使得当n.N时有
　　jφn(t) φ0(t)j.maxt∈[a，b]jφn(t) φ0(t)j<.，8t2[a，b].
　　从而，φn(t)在[a，b]上一致收敛于φ0(t).
　　由φn(t)在[a，b]上一致收敛于φ0(t)及(1.1.7)式可得d(φn，φ0)!0(n!1).□
　　例1.1.3 n阶连续可微函数空间C(n)[a，b].设n为正整数，φ(t)为闭区间[a，b]上的连续函数，且φ(t)在闭区间[a，b]上具有n阶连续导函数，这种函数φ(t)的全体记为C(n)[a，b].对任意φ，ψ2C(n)[a，b]，定义
　　(1.1.8)
　　则有
　　(1)C(n)[a，b]按(1.1.8)式定义的dn构成度量空间;
　　(2)在C(n)[a，b]中，对φm=φm(t)2C(n)[a，b](m=1，2，)及φ0=φ0(t)2C(n)[a，b]，φmdn !φ0(m!1)的充分必要条件是对1.k.n，φm(t)及其各阶导数φ(k)
　　m(t)在[a，b]上都一致收敛于φ0(t)及φ(k)0(t).
　　证明例1.1.3的证明与例1.1.2完全类似，请读者自己完成.□
　　例1.1.4 数列空间s=fx=fξkg∞k=1jξk2R或C，k=1，2，g.对任意x=fξkg∞k=1，y=fηkg∞k=12s，定义
　　(1.1.9)
　　则有
　　(1)s按(1.1.9)式定义的d构成度量空间;
　　(2)s中的点列收敛等价于按坐标收敛，即对xn=fξ(n)kg∞k=12s，n=0，1，xnd !x0(n!1)的充分必要条件是对8k=1，2，limn→∞ξ(n)k=ξ(0)k.
　　证明 (1)由(1.1.9)式可知距离的性质(i)成立.我们只需证明性质(ii)成立.由函数f(x)=x1+x在[0，+1)上的单调递增性可知，对任意的x=fξkg∞k=1，y=fηkg∞k=1，z=fζkg∞k=12s，有
　　即性质(ii)成立.故由(1.1.9)式定义的d是s中的一个距离.从而s按(1.1.9)式定义的d构成度量空间.
　　(2)由(1.1.9)式可知，对8k=1，2，
　　所以
　　因此，对8k=1，2，limn→∞ξ(n)k=ξ(0)k.

CONTENTS/目录
前言
第1章 度量空间与赋范线性空间1
1.1 度量空间的概念与例子1
1.1.1 度量空间的概念1
1.1.2 点列的极限3
1.1.3 度量空间的例子4
1.2 度量空间中的点集8
1.2.1 内点与开集9
1.2.2 聚点与闭集9
1.2.3 点集之间的距离12
1.3 连续映射13
1.4 赋范线性空间16
1.4.1 线性空间的概念及例子16
1.4.2 线性空间中的范数19
1.4.3 赋范线性空间的例子21
1.5 Lp空间22
1.5.1 Lp空间上的范数22
1.5.2 p-方平均收敛与依测度收敛的关系25
1.5.3 L∞空间27
1.5.4 lp空间29
1.6 稠密性与可分空间30
1.6.1 稠密性31
1.6.2 可分空间33
1.6.3 疏朗集35
1.7 完备性35
1.7.1 Cauchy点列与完备度量空间35
1.7.2 完备度量空间的例子38
1.7.3 完备度量空间的重要性质42
1.7.4 度量空间的完备化44
1.8 紧性47
1.8.1 列紧集的概念47
1.8.2 完全有界集49
1.8.3 C[a，b]中的列紧集52
1.8.4 紧集54
1.9 有限维赋范线性空间56
1.10 压缩映射原理及其应用60
1.10.1 压缩映射原理60
1.10.2 应用举例63
1.10.3 幂压缩映射原理65
1.10.4 Brouwer不动点定理和Schauder不动点定理67
习题1 69
第2章 有界线性算子75
2.1 线性算子的有界性与连续性75
2.1.1 线性算子的概念75
2.1.2 线性算子的连续性与有界性77
2.1.3 有界线性算子的范数80
2.2 有界线性算子空间与共轭空间84
2.2.1 有界线性算子空间84
2.2.2 共轭空间及其表示86
2.3 连续线性泛函的延拓94
2.4 C[a，b]上连续线性泛函的表示102
2.5 自反空间与共轭算子106
2.5.1 二次共轭空间与自反空间106
2.5.2 共轭算子107
2.6 一致有界原理及应用110
2.6.1 一致有界原理110
2.6.2 一致有界原理的应用112
2.7 逆算子定理与闭图像定理116
2.7.1 有界线性算子的逆116
2.7.2 逆算子定理与开映像原理117
2.7.3 范数的等价性119
2.7.4 闭图像定理119
2.8 强收敛、弱收敛与一致收敛121
习题2 126
第3章 Hilbert空间131
3.1 内积空间的基本概念131
3.1.1 内积与内积空间131
3.1.2 Hilbert空间134
3.2 投影定理138
3.2.1 正交向量138
3.2.2 投影定理140
3.2.3 投影算子143
3.3 规范正交系与Fourier展开式144
3.3.1 规范正交系144
3.3.2 正交系的完备性和完全性147
3.3.3 线性无关向量系的正交化151
3.3.4 可分Hilbert空间模型154
3.4 Hilbert空间上的连续线性泛函156
3.4.1 Riesz表示定理156
3.4.2 Hilbert空间的共轭空间157
3.4.3 Hilbert空间上的共轭算子158
3.5 自伴算子、酉算子与正常算子162
3.5.1 自伴算子162
3.5.2 酉算子166
3.5.3 正常算子167
习题3 168
第4章 线性算子的谱理论173
4.1 线性算子谱的有关概念与性质173
4.1.1 特征值与特征向量173
4.1.2 正则值与谱175
4.1.3 正则集的性质177
4.2 有界线性算子谱的性质179
4.3 全连续算子的谱理论183
4.3.1 全连续算子的定义和基本性质184
4.3.2 全连续算子的谱188
4.3.3 对积分方程的应用194
4.4 Hilbert空间自伴全连续算子的谱195
习题4 198
第5章 线性算子半群及其应用201
5.1 抽象Cauchy问题与解半群201
5.2 强连续半群208
5.3 C0-半群生成元的预解式212
5.4 非扩展的C0-半群215
5.5 耗散算子221
5.6 C0-半群无穷小生成元的特征226
习题5 230
参考文献233
索引235