#美国国家科学院院士肖恩·卡罗尔、耶鲁大学数学家查尔斯·塞弗、《数学信使》主编玛乔丽·塞内夏尔以及科普作家亚当·斯宾塞、约瑟夫·马祖尔、阿米尔·亚历山大等推荐好评，《新科学家》《卫报》《自然》《物理教育》《科学纪事》《抛物线》《澳大利亚每日电讯报》《澳大利亚书评》《新西兰听众》等主流媒体和科学媒体一致好评！
#矢量和张量，以及微积分，作为高等数学中重要的物理量，支撑着现代社会的多项科技创新。作者梳理了矢量和张量的历史发展进程，从数学史、科学史角度，为我们呈现了这段历史中熠熠生辉的天才数学家的有趣故事。我们中大学数学课上认为理所当然的概念，实际上花费了漫长的时间才呈现这人们眼前。而重读这段历史不但可以帮助我们回顾科学家曾经走过的路，也可以未未来的科学和数学发展给出一点的启示。
#今天关乎人们日常生活的很多技术，比如导航定位、搜索引擎排名、医学影像技术、图像压缩、人工智能技术等都涉及矢量的概念。这本书可以帮助读者了解矢量在这些领域的应用。
#邀请北京航空航天大学张旭成老师审校。
数学起源于五千年前的美索不达米亚，但作为将大小和方向融于一体的矢量概念，则直到19世纪才得到正式的命名。在它的辅助下，麦克斯韦的电磁理论、狄拉克的量子场论、诺特关于数学对称性与能量守恒的关联等重大发现不断突破了人们的认知。直至今日，全球定位系统、搜索引擎、人工智能生成文本等技术依然要仰仗矢量的强大作用。
矢量和张量以及微积分提供了一种优雅的语言，用于表达事物在空间和时间中的行为方式。在这本书中，作者向我们展示了物理学家和数学家如何用这种全新的方式思考。这些物理学家和数学家包括开启无限电磁时代的詹姆斯·克拉克·麦克斯韦，预测了时空弯曲和引力波的存在的爱因斯坦，建立量子场论的保罗·狄拉克，以及将数学对称性与能量守恒联系起来的埃米·诺特。矢量和张量不仅可以代表物理量和维度，还可以代表其他维度和其他类型的信息。这就是为什么物理学家和数学家可以谈论四维时空和其他更高维度的“空间”，以及为什么当你使用搜索引擎、GPS或手机等数字应用时，很可能依赖于矢量或张量。
在探索向量和张量的演变过程中，作者带领读者踏上了一次历时五千年的想象力之旅。她为我们呈现了这段历史中熠熠生辉的天才数学家的有趣故事，以及一个巧妙的数学概念是如何主宰科学发现的方向的。
序言
我们对于世界的理解时而会发生惊人的突破。例如，我们对于自己处于太阳系中心地位的信念曾遭到颠覆，还有那场相对论革命，它既改变了我们对于时间与空间的看法，也改变了我们对于自己在宇宙中位置的看法。无线电波的横空出世令无线技术应运而生，让我们的日常生活发生了神奇的转变。量子革命带来了如同魔术般的新型微技术，就像一场超自然的剧变，粉碎了我们对于“现实”的概念。当然，还有当前持续改变我们之间沟通方式的数字革命，尤其是如今已经变得如此复杂的人工智能。新的科技与文化时代在这些突破后接踵而至，有关它们的著述颇丰。然而，人们不知道的是，数学领域也在同步发生着巨大的革命。本书讲述了一些鲜为人知的革命：它们幕后的迷人思想，以及令其成为可能的人物故事。
我将要在这里讲述的故事，关系着我们人类如何记录与理解周围复杂数据的演变。我将探讨那些充满戏剧性的数学转变，“矢量”和“张量”等非凡的概念应运而生，而它们是现代科学及许多技术的基础，是帮助我们如同神灵般揭开宇宙奥秘的语言。
矢量和张量之所以拥有如此惊人的威力，原因之一是，它们能让我们以一种新的更透明的方式处理空间维度，这又让我们发现了自然的新法则，以及这些法则的新科技应用。每当你想要利用空间内的某个位置，你便需要处理这些维度，无论是转动机器人的一条手臂，还是设计一座桥梁或一台风力涡轮机，计算一台电动机或发电机中的电磁力影响，预言某个电磁波、水波甚至引力波的路径，绘制卫星的轨迹，校准如GPS（全球定位系统）等导航系统，或者是任何有关空间或时空的任何事。
随着故事的展开，我们将更详细地看到矢量和张量的实质性威力，但我不仅会使用物质维度的语言，也会使用信息维度的语言。你或许阅读过有关大数据和信息革命的相关内容，但是，正如化学中的元素周期表既是组织工具也是理论工具，让数据得以在科技界应用的恰恰是矢量和张量，只不过，它们在我们故事中的数学应用更为广泛。
然而，矢量和张量本身却十分简单，至少表面上如此。因为一开始，你确实可以将其简单地视为一种整洁的信息表达方式。比如，你可能还记得你曾经在学校里学到的矢量，它们可以为速度或力等物理量编码，表示它们的大小和方向等信息。所以，你可以用一个指向某方向的箭头表示它，而箭头的长度则给出了大小或者说“数值”。张量则又增加了一层信息，所以它们更像多维数组而非箭头。但数学家后来发现了这些箭头和数组相互结合的规则，并意识到他们发现了一种全新的语言，可用于思考全新的思想。这是一个相当奇妙的想法。
简单说明一下我的意思就是，数学家曾在几千年间只研究数字。虽然实数体系的演变可谓相当了不起，但这些数字只表达了一件事：数量，即重量、身高、金钱的数量、苹果的个数等数值。反之，矢量和张量则同时为多件事编码。因此，它们是表示大量数据的绝佳方式。而且，这些额外的信息意味着，当遇到一个工业或信息技术问题时，矢量和张量可以提供一幅远比单个数字更为丰富的画面，或者说一个物理模型。
身为 19 世纪的苏格兰地主，性格温和但古怪的詹姆斯·克拉克·麦克斯韦是第一位认识到矢量语言力量的杰出物理学家。我们稍后将正式与他见面，他的电磁理论是第一个现代场理论，破解了困扰人们已久的有关光的本质的谜题，并预言了无线电波的存在。麦克斯韦最初的理论直观上具有“矢量性”，但当他了解到矢量是一种自带数学规则的“事物”时，他便意识到它们是能够更简洁、更优雅地表达他的发现的正确工具。
认真看待他的理论的人起初并不多：这么说吧，正如我们看到的那样，对主流物理学家而言，他以“矢量场”表达自然界电磁场的突破性应用实在太“数学”了，也太“非物理”了。而且，想象一下我们就会知道，即使是麦克斯韦，想让人们认可他对矢量的杰出应用已经如此困难，那它的创造者该是怀着怎样的激情与自信啊。
爱尔兰数学家威廉·罗文·汉密尔顿是这个故事中的重要人物之一。他率先创造了“矢量”一词并提出了相关数学理论，而且他立刻意识到自己创造的这些东西如此新颖，甚至打破了几千年来数学家视为金科玉律的规则。他在提及这种新语言的可能应用时欣喜若狂，比麦克斯韦发表其精彩理论还要早上 6 年。他在给同事的信中高兴地写道：“还有什么能比这种情况更简单或更令人满意的吗？你不觉得我们走上了正确的道路，而且将来会被铭记吗？只是不知道何时会到来……”1 在这里，汉密尔顿谈论的不仅是矢量，还有他发明的四元数——一种包含矢量的四维“数字”。正如我们将会看到的那样，四元数可以发挥矢量的一切作用，并且在为某些航天器导航和图像处理任务编程时效率更高，而这不过是它的现代应用的区区两例。
然而，可怜的汉密尔顿从未收获足够的谢意：他于 1865 年去世，就在麦克斯韦发表其电磁理论的几个月后，却来不及看到麦克斯韦将其完全改写成矢量语言。2
至于张量的作用，直至麦克斯韦去世都未能得到充分开发，但我敢打赌，如果麦克斯韦能见到张量，他必定会认识到它们的力量。爱因斯坦在麦克斯韦去世的同一年出生，这具有特别的象征意义——不仅因为爱因斯坦的理论深受麦克斯韦理论的启发，而且因为爱因斯坦对张量所做的事与麦克斯韦对矢量所做的事如出一辙。爱因斯坦是第一位展示张量威力的重要物理学家，他利用张量创造出弯曲的时空和现代宇宙科学，预言引力波和引力透镜的存在，并准确量化了引力对时间的影响，
而这一点现在被用于GPS，令其导航功能精准无误。实验物理学家用了 1/4 个世纪的时间，才在实验室内验证了麦克斯韦对无线电波的预言；他们更是用了整整一个世纪的时间，才探测到爱因斯坦预言的引力波。这说明，这些基于矢量和张量的理论是何等超前。数学语言总是有能力做出这种惊世骇俗的预言。用数学描述物理现实的做法相当于创造了一个放大镜，透过数学规律可以揭示长期以来隐藏的物理性质。在本书中，我们将看到具体的例子，但我想在此补充一点：量子理论也充分利用了矢量和张量的力量，而且它的预言迄今还没
有任何一项被证否。
矢量和张量是存储和使用信息的方式，因此，它们的应用范畴自然远超物理学这个单一领域。正如我早些时候指出的那样，从工程和遗传学到搜索引擎和人工智能，还有更多其他领域，都需要处理大量数据，矢量与张量在其中发挥着无可取代的作用，而且这些领域的数目还在增加。
这些数学思想的威力如此惊人、影响如此深远，以至于我将它们的发现视为革命。将张量视为矢量的扩展是有帮助的，但那是事后经验：历经 300 年，人们才走完这条演化之路，它从最初的矢量语言演化成为包含矢量和张量的严谨而复杂的语言。人们花费了多个世纪，才理解了矢量概念的第一个初期启示。如果从现存最古老的数学记录算起，这一时期实际上跨越了数千年，因为矢量和张量的历史与用数据符号表示的历史紧密联系在一起，而那些古老的资料显示，找到表达信息的方法是数学叙事的核心。
好吧，我将从一切的起点出发做简要回顾，以此作为故事的开端。
当然，无论在这里，还是随着故事在后续章节的展开，我对这段漫长历史的叙述都不可避免会挂一漏万，因为它必然含有我个人的主观选择。我的目标之一不过是说明复杂数学思想的发展需要多长时间，同时需要多少跨文化的合作。矢量和张量分析走向现代应用之路漫长而曲折，而我想讲述的故事是一趟思想之旅；这些思想通常令人惊讶，但有时也很平凡，从始至终都有多个岔口。
不过，如果你读到本书中的任何地方，无心追究细节，只想阅读故事，那也悉听尊便。
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西蒙·英格斯，《新科学家》
度假可能是一种孤独的体验。在漫长的火车旅途中，一本好书是消磨失眠时光的必备品。仅凭书名，这本书就足以成为迷茫旅人的完美伴侣。读者不仅能从中学会如何计算过山车上的力学问题（父母必备技能），还会发现一个优雅的数学符号如何彻底改变人类对世界的认知。
兰迪普·拉梅什，《卫报》
科学史学家阿丽安萝德在这本书中，讲述了这些“具有争议性的概念”是如何为现代世界奠基的。尽管充分理解文本需要大学数学功底，但其核心主题清晰可辨：数学思想的进步与社会和技术变革交织共生。
安德鲁·罗宾逊，《自然》
数学起源于五千年前的美索不达米亚，但正如数学家阿丽安萝德所言，‘将大小与方向融于一个符号的矢量概念，经历了漫长的时间才出现。自威廉·罗文·哈密顿于1843年提出矢量概念后，它推动了麦克斯韦的电磁理论、狄拉克的量子场论、诺特关于数学对称性与能量守恒的关联等重大发现。本书以鲜活笔触诠释了这段历程。
《塔斯马尼亚时报》
“精彩绝伦……若你痴迷于探索世界运转的奥秘，惊叹于人类的集体智慧如何衍生出那些简洁而强大的数学工具，你一定会爱上阿丽安萝德对矢量、张量及其背后思想斗争史的书写……作者以举重若轻的笔法、渊博的学术积淀，以及对跨领域议题的敏锐洞察，为科学史注入了必要的细腻与语境。”
《澳大利亚每日电讯报》
“阿丽安萝德在这本书中娓娓道来……这是一部充满人性温度的科学史诗，讲述数学家与物理学家如何精研理论、缔结友谊、竞争角力，在挫败与顿悟中推动纯粹数学与物理学的边界向前延展。书中对跨国界、跨时代合作的描绘尤为动人——无论是科班精英还是独行的探索者，皆以理解宇宙为共同使命。
迈克尔·露西 ―《澳大利亚书评》
阿丽安萝德对数学物理史如数家珍，对艰深课题的把握游刃有余……她对科学史上被忽视人物（尤其是女性）的挖掘令人耳目一新。这是一部智识之作。
《书商》杂志
矢量是兼具大小与方向的量，这一概念让科学家得以在多维度中重新想象和描述世界。本书梳理了矢量在过去五千年中的演进，并揭示其与张量为何至今仍至关重要。
布莱恩·克莱格 ，科普作家
这是一部难以归类的非凡之作……它融科学史、数学甚至教科书元素于一体，对矢量、矢量分析及其高阶形式“张量”的发展进行了细致入微的梳理……尽管微积分早期历史已被广泛书写，但本书聚焦的领域却鲜有涉足，这使本书成为特定读者群的宝藏。若你属于目标读者，它绝对值得珍藏。
《新西兰听众》
阿丽安萝德巧妙打破了数与几何的固有等价性，带领读者穿越这段充满争议的历史。书中既有牛顿、汉密尔顿等耳熟能详的名字，也有格拉斯曼、沙特莱侯爵夫人等鲜为人知的面孔。作者探讨了性别、宗教与社会阶级如何将某些研究者排斥在顶尖学府与学术团体的核心讨论之外……这本书令我受益匪浅。
《数学杂志》
这部非凡之作讲述了矢量与张量的历史，并详述了概念奠基者们的生平。前三分之一内容轻松易读——汉密尔顿的四元数（他创造了“矢量”一词）在矢量发展中占据着核心地位。随后叙事转向麦克斯韦电磁方程的矢量化表述，以及四元数理论的式微，最后三分之一需读者投入更多：从时空理论、张量概念的引入，到广义相对论中张量的角色，再到诺特定理关于对称性与守恒律的关联，层层递进。
《科学纪事》
这本书的成功是多维度的：它既是对几个世纪学科演变的激荡巡礼，也是对历史研究的权威参考，更是对艰深主题的通俗演绎。数理史书常将数学视为“黑箱”，聚焦于学术生态或人物逸事。而本书可贵之处在于，它面向大众却不避讳深入数学内核，并以可理解的方式呈现。
《物理教育》
故事大致按时间线展开，但远不止于此——从美索不达米亚人的数据表方程，到四元数在搜索引擎中的应用；从科学巨匠的私生活，到他们英年早逝的遗憾，皆娓娓道来。书中对张量的细节剖析尤为精当，让读者既知其然，更知其所以然。这部组织精妙、笔触诙谐、学术底蕴深厚的著作堪称高中毕业生的绝佳礼物……五星力荐。
《SIAM新闻》
阿丽安萝德的考据令人叹服：正文辅以尾注，补充了数理细节与历史背景，年表更让庞杂叙事脉络分明。关于“矢量战争”的讲述，以及汉密尔顿、麦克斯韦、泰特、格拉斯曼、里奇-库尔巴斯特罗、列维-奇维塔等人的生平速写，皆鲜活迷人……此书是数学史领域的珍贵贡献。”
《选择》杂志
阿丽安萝德这本书堪称数学史的典范之作。她以小说家的天赋，将深奥数学内容置于历史与个人动机的交织语境中——从待解难题、研究挫败到学术争端，无不跃然纸上。虽以矢量与张量为叙事主线，却自然编织起代数、微积分、虚数、四元数、矩阵、非欧几何、微分几何、电磁学与相对论的壮阔图景。附赠的年表、详注与索引更显匠心。诚邀读者沉浸其中：这注定是一部令人手不释卷的智性史诗……必读经典。
《抛物线》期刊
这是一部值得细品的优雅之作。严谨的研究与精湛的文笔必将引发深思。无论您钟情于科学史通俗叙事，还是渴望了解矢量与物理定律如何共生共进，本书皆是不二之选。
肖恩·卡罗尔，美国国家科学院院士，作家
人人都明白“以特定速度朝特定方向运动”的含义，但将这一行为提炼为“矢量”这一清晰的概念，却耗费了漫长岁月。阿丽安萝德以鲜活详实的编年史记述，揭示了矢量与张量为何居于宇宙的最佳理论框架的核心。
查尔斯·塞弗，耶鲁大学数学家，作家
关于现代物理学演变的著作汗牛充栋：从牛顿到麦克斯韦，从爱因斯坦到量子理论。然而鲜有作者关注那些使物理理论成为可能的数学革命。唯有当数学工具从简单的标量拓展至四元数、矢量、张量等概念时，物理学家与数学家才找到了描述这个越发令人困惑的宇宙的语言。阿丽安萝德以非凡笔力揭示了驱动19—20世纪物理学发展的数学革命，这部著作绝对值得您花时间阅读。
阿米尔·亚历山大，《无穷小：危险数学理论如何塑造现代世界》作者
阿丽安萝德以化繁为简的阐释天赋与叙事魔力，传递出数学的美与力量。在这部关于“简单理念改变世界”的壮阔史诗中，汉密尔顿、麦克斯韦与爱因斯坦的形象跃然纸上。
约瑟夫·马祖尔，《时钟幻象：被丈量的时间神话》作者
这本书堪称科学阐释的杰作，犹如一场引人入胜的认知悬疑之旅：从矢量及其高阶推广形式，到数学物理的符号工具，在精妙的历史片段中交织出令人惊叹的理论关联与现实应用。
玛乔丽·塞内夏尔，《数学信使》主编，史密斯学院教授
“若数学彻底消失，”物理学家费曼曾言，“物理学将倒退恰好一周。”数学家马克·卡克则反驳：“恰是上帝创世的那一周。”阿丽安萝德令我们深信，矢量与张量正是创世蓝图中的核心密码。师生共读此佳作，必将碰撞思想火花。
亚当·斯宾塞，《数字之书》作者
阿丽安萝德以举重若轻的笔触证明：数学绝非极客独居的异世界，而是环绕你我的真实宇宙。