艾伦•泰福勒（Allen Taflove），美国西北大学全职教授，西北大学电气工程专业学士、硕士、博士。自1972年以来致力于发展FDTD基础理论、算法及应用。2010年泰福勒教授的工作被Nature Milestones|Photons收录，称其为求解麦克斯韦方程组数值方法的两位主要先驱者之一。当前，他是世界上他引z高的技术类作者之一。他的三本安泰科（Artech）版图书《计算电动力学：时域有限差分法》的综合引用居工程史十大被引书籍之首，并且在物理学史上他引率z高书籍中排名第七。

阿尔达凡•奥斯库奥伊（Ardavan Oskooi），日本京都大学博士后研究员，多伦多大学工程科学专业学士，麻省理工学院（MIT）计算设计与优化专业硕士，MIT材料科学与工程专业博士。奥斯库奥伊博士与约翰松教授领导了Meep软件的开发，Meep软件是MIT开发的功能强大、免费、开源的麦克斯韦方程组求解器（FDTD软件包）。Meep软件被超过600份杂志引用，下载量超过54000次。

斯蒂芬• G.约翰松（Steven G. Johnson），麻省理工学院（MIT）应用数学与物理教授，MIT物理学、数学及计算机科学学士，物理学博士。独立及共同发表150余篇论文，出版一本2008版教科书，授权27项专利。约翰松教授的研究成果主要集中在纳米光子学系统及光子晶体的设计及理解方面。他也因几款免费数值软件包而著名，包括MPB和Meep电磁建模仿真工具，以及快速傅里叶变换的FFTW软件包，他也因FFTW软件包获得1999年数值软件威尔金森（Wilkinson）奖。

光子学和纳米技术的进步已经彻底改变了人类在通信和计算方面的能力。本书介绍了时域有限差分计算电磁学在光子学和纳米技术方面的新进展。

Tengmeng Tan，Mike Potter本章是对文献［14］的改编和扩展。Tan T，Potter M. FDTD discrete planewave (FDTDDPW) formulation for a perfectly matched source in TFSF simulations. IEEE Trans. Antennas and Propagation.2010 IEEE,2010,58: 26412648.

第3章精确总场/散射场平面波源条件

3.1引言

电磁波物理机制的数学关系由麦克斯韦方程组描述。像许多其他偏微分方程一样，仅在几种简单情况下存在解析解。因此，许多电磁波问题通过数值方法求解。其中最重要的一类问题是求解开域中电磁波照射任意目标所产生的散射场。这种目标可以是在自由空间中（例如飞机）或者是位于材料结构中（如地雷）。

FDTD建模计算散射场的一种高效方法是采用总场/散射场(TF/SF)入射波源［1］，当前几乎所有主流的FDTD商业求解器均采用了这种方法。最重要的，TF/SF技术是著名的电磁场等效原理［24］的一个应用。利用这个原理，原来的开放空间任意传播方向、极化和波形入射波由包含目标的有限封闭空间表面的等效表面电流源和磁流源替代。重新构型的问题将入射波照射限制在一个紧凑的总场区域，并且通过采用吸收边界条件（ABC）在总场区域外提供有限大小的散射场区域，模拟FDTD网格外推到无穷远处。远场区域的散射场能够通过近远场变换（NFFT）获得［1］。

图3.1显示了等效原理对任意目标在开放空间中散射电磁波的应用。其中，入射波由电流源Jsource和磁流源Msource产生。在图3.1(a)中，入射波与目标的相互作用产生了总的电场ET和总的磁场HT，并充满整个空间。从数学角度考虑，我们使用“总”这个字是想表明： 总场是入射场和散射场的和，即ET=Einc+ES和HT=Hinc+HS。

图3.1开放空间中目标散射电磁波的电磁场等效原理示意图： (a)原始问题——空间各点的总场； (b)等效问题——空间划分为总场和散射场两个区域

利用等效原理，图3.1(b)显示的重新构型问题将空间划分为两个区域： 一个是存在总场的内部区域； 另一个是仅仅存在散射场的外部区域。其中，原始的入射场仅仅在总场区域中存在，由TF/SF边界Ω上的等效电流源Jinc和磁流源Minc产生。

如文献［1］所概述，相对于许多FDTD仿真问题中其他纯散射场波源方法，TF/SF公式有如下优点： 

 计算效率。仅仅沿着包含目标的TF/SF边界Ω的二维表面计算波源，而不是在目标的整个三维空间计算波源。

 目标编程相对简单。在目标中经过不同材料交界面的总电场和总磁场的切向分量需要的连续性自动由FDTD算法实现，因为所有的材料交界面位于沿时间推进的总场计算区域中。而且，TF/SF交界面有固定的形状，与目标的几何和材料组成无关。

 近场计算动态范围宽。在目标内部和目标附近微弱的总场直接通过时间推进方法计算。由于已知入射场和FDTD计算的散射场几乎相消，没有必要获得重要的可测量总场的小量（例如，在深阴影区域或者良好屏蔽目标内部腔体）。由于减法噪声，对消过程可能导致所要求总场值的较大误差，减法噪声中计算散射场的小比例误差能够在场对消后在总场中的大比例误差。

在具有这些优点的同时，TF/SF公式也具有计算远场响应的能力并能够应用最新的理想匹配层(PML)ABC。NFFT实际表面和ABC分别位于散射场区域中预定的位置。

3.2FDTD精确TF/SF公式的推导

原始的TF/SF公式由文献［5］给出，在文献［6］中得到改进。读者可参考文献［1］了解TF/SF技术与后来改进方法的详细处理过程。文献［6］中提出的改进方法是引入了一维辅助FDTD网格作为入射场数组(IFA)，与基本网格FDTD仿真同时传播平面波源。然而，因为使用IFA作为查询表格所带来的插值误差，以及在形成IFA的一维辅助网格和基本的二维或三维网格上数值色散不匹配，存在入射波进入基本网格散射场区域时的非物理泄漏。这个泄漏数量级上是-40~-30dB，取决于入射波在基本网格中的传播方向。利用信号处理方法能够减小泄漏，可降低到大约-70dB的量级［79］，这个量级的残余泄漏仍旧会引入噪声，从而阻碍求解像低可探测目标的宽动态范围散射的真实远场响应。

IFA的一种替代方法是直接从数值色散关系式构造数值入射波［10,11］。这种方法命名为解析场传播器(AFP)方法，本质上传播器法是解析方法，插值误差实际上不存在。利用AFP方法，能够直接解释数值耗散、色散、依赖频率的极化和场分量的非正交性。这将入射波泄漏减小到大约-180dB，对于实际问题并不存在这个量级的泄漏［11］。然而，AFP方法效率比IFA方法明显低，因为，在TF/SF交界面上各点的时变源函数在预处理步骤中必定产生，然后存储起来在仿真中使用。

最近，Tan和Potter在文献［1214］中呈现了6个IFA并由此产生平面波源，它与基本FDTD计算网格精确匹配。换句话说，入射场和散射场的隔离依赖于机器精度的量级（对于单精度为-180dB）。通过几何变量，能够显示出FDTD规则网格中数值平面波的传播方向可以由可数的无限组角度表示［13］。这个表达式允许在IFA中的场和基本网格中的场之间建立多对一响应，并且允许采用相同的数值色散关系式而不需进行场的插值。事实上，这种映射能够使APF方法更加有效。

在3.3节中，首先描述基本TF/SF公式，然后详细讨论文献［1214］中报道的几种方法，并提供如何产生精确平面波源状态的演示算例。

3.3基本TF/SF公式

对于图3.1(b)显示的空间TF/SF界限，在介电常数ε、磁导率μ、电导σ、磁损σ*的各向同性、非色散介质中的电场、磁场传播的麦克斯韦方程可写为

ε(x)tE(x,t)+σ(x)E(x,t)=×H(x,t)－Jinc(xΩ,t)（3.1a）

μ(x)tH(x,t)+σ(x)H(x,t)=－×E(x,t)－Minc(xΩ,t)（3.1b）

其中，算子t(·)是对时间的偏导数，x=［x,y,z］∈R3。式(3.1a)和式(3.1b)包含强制函数由电流密度Jinc(xΩ,t)和磁流密度Minc(xΩ,t)给定的非均匀偏微分方程组。特别地，如图3.1(b)所示，这些波源仅仅位于总场区域ΩT和散射场区域ΩS的交界面Ω上。这些电流和磁流密度不是独立的矢量场，按照能使ΩT区域内部的电场和磁场与图3.1(a)显示的原始问题中的电场和磁场相同来构造这些矢量场。

E(x,t)=ES(x,t)+Einc(x,t)，x∈ΩT（3.2a）

H(x,t)=HS(x,t)+Hinc(x,t)，x∈ΩT（3.2b）

其中，下标S和inc分别代表散射波和入射波。ΩS区域的外部场仅仅是散射场： 

E(x,t)=ES(x,t)，x∈ΩS（3.3a）

H(x,t)=HS(x,t)，x∈ΩS（3.3b）

换句话说，对于x∈Ω，E(x,t)和H(x,t)是不连续的，认为这些场是不连续电流密度Jinc(xΩ,t)和磁流密度Minc(xΩ,t)产生的。

3.4TF/SF交界面上的电流源和磁流源

为了便于后面对FDTD精确TF/SF公式的讨论，对于x∈Ω，引入另外一组能够处理场不连续的电流和磁流源： 

Js(xΩ,t)=n×Hinc(xΩ,t)≡Jinc(xΩ,t)Ωn(3.4a)

Ms(xΩ,t)=－n×Einc(xΩ,t)≡Minc(xΩ,t)Ωn(3.4b)

其中，n是交界面Ω上单位法线矢量，从ΩT区域指向ΩS区域，Ωn是平行于n的交界面方向有关的厚度。这些源具有与相应的磁场强度和电场强度相同的单位。如果入射波不是一个脉冲，则Js和Ms的大小为有限值。这意味着对于Ωn无限小，即交界面没有厚度，Jinc和Minc必须是脉冲函数。然而，在FDTD方法中，这样的脉冲不是问题，因为Ωn假定为网格离散的有限尺寸。因此，我们能够把Jinc和Minc看作Js和Ms的空间重新缩放形式。例如，如果Jinc是表面电流密度，那么Js是相应的线流密度。这同样适用于Minc和Ms。