冯学瑜，中学髙级教师。1981年毕业于海南师范大学。原海南钢铁公司第一中学(現昌江矿区中学)髙中数学教研组长，长期从事数学教学与教学研究工作。 

《数学,可理喻的奥妙》以简单的数字、数码、数据、数学基础知识与数学方法，引导读者进入迷人的数学原始境界，拓展视野，揭示数学与事物认知，数学与日常活动，数学与思维，数学与处事方法等关系的纹路规律，揭示其间潜在关系的奥妙。对广大读者加深认识数学，提高学习数学兴趣，提髙素质与智慧，都会有很大帮助。一本普及初等数学知识的好读本。

序 言

心脏“噗,噗,噗,……”地搏动。没有别的打搅,发觉周边如此幽静、和煦、顺畅,肢体没有半点动弹,精气充足,神志清醒,呼吸自然。无论站着,坐着,还是躺着,均能意识到自身的心脏在均匀地鼓动着,“噗,噗”鼓动着,自身与自身的心脏悄悄地话语。心中在数,细数着自己的心脏搏动的次数。“1,1,1……”“1,2,1,2,1,2……”数着;“1,2,3,1,2,3,……”;“1,2,3,4,1,2,3,4,……”数着;或许是“1,2,3,4,5,6,7,8,9,……”这样数着。数说和谐的心声,感知准确的节拍,欣赏无限优美的旋律,歌唱美好的生命。不断去倾听,不断去感知,不断地数,驱使重复,重复驱使。数,数数,……数久久,久数。觉得累了,不再留意数了。然而绝对不是没有数了,必定还有数,数着呀! 是在数着,还在数着。希望心脏永远在跳动,永远有数。这是最原始的生命之歌,生命文化的根本。

睁开眼睛,看到周边千姿万态的缤纷世界,自然美好的景物,各种各样光彩润色的图形。这些图形点点缀缀,直爽舒坦,曲径通幽,广袤无边。人的天赋造就思维与语言,意识到自身和外界。丰富的语言表达,丰富多彩的不同意境,不同思想情感,不同物质形态,不同性质图形,收发各种信息。眼下的景物和自身,有种种形象结构,有各种的事物,使人形成抽象意识。人们将尚未弄清的美好事物称为神,产生了神文化。随着生活,生产,社会和神文化的发展,人类进入文明社会。人们研究事物的性质、事物之间的联系,知觉到它们的长短,大小,多少,快慢,曲直,动静,变化,有相类似的,有相同的,也并不完全相类似,不相同的。它们之间存在什么关系? 怎样认识事物? 事物与事物之间有哪些联系? 有哪些特性? 有什么奥妙? 我们的语言中有了能准确区分事物之间的长短,大小,多少,快慢,曲直,动静等变化特征的数学语言,数学思维。这是精神财富,是艺术,是认识和解决问题的工具。数学的语言概念和方法能准确区分事物之间的关系,事物的特性。说一不二而又变化无穷的数与形,推理运算,数学的发展与研究,构成我们身上的数理,弄清其中的奥妙,创建我们的数学文化。

数(number)就是逐层点算并抽象计量。逐层指点的对象有实态的也有虚态的。一个一个地数石子得到若干数量的石子,从实态石子的多少转化成抽象的数量。心中有数,这其中点算的是虚拟的数。数英雄人物,这其中的数是从“英雄”这个抽象概念转化成具体人的多少量。数的过程为计量,构成数量、数据。数,有行为过程并且有结果。数码仅是利用数字符号,不讲层次,不讲过程和结果。

数,产生出明确的数字,数字的具体指向就产生数量。没有具体指向的数字是抽象的东西,尚未有意义。数目(amount)通过计量得到,计量的过程叫运算。

数学(mathematics),是研究数量、数据、结构、形状,空间、信息、变化等概念,性质以及关系的一门学科,从某种角度看属于形式科学的一种。数学是一门抽象的学科,而严谨的过程是数学抽象的关键。

数学的形式让人们深刻地认知世界。“1+2=3”是抽象的数学形式,这种形式反映同样数的一切状况。包括了,1棵树和2棵树,1只狗和2只狗,1条河和2条河,1架飞机和2架飞机,1位老师和2位老师,1安培电流强度(ampere)和2安培电流强度……“=”表示两边相等,一般前面复杂,后面简单明确。电流强度是人直觉不到的东西,数学形式将这种状况以数量准确表达出来。物理最小的单元称为量子。电子的能量是可量子化的。“量子化”指其物理量的数值会是一些特定的数值,而不是任意值。这种太小的东西不能看到摸着,只能通过数学的形式反映出来。

数学是将事物具体化的手段、方法。在2500年前,古希腊数学家、哲学家、音乐家毕达哥拉斯(Pythagoras)认为,无论是解说外在物质世界,还是描写内在精神世界,都不能没有数学。

理是客观事物本身的纹路、次序、规律。理是依照事物本身的规律用智慧对事物各种关系进行探究、处置,使事物本身的规律明确,理喻为将事物弄明白,让人们准确掌握和灵活运用。认为“不可理喻”的东西,经过倾听,阅读,思考认证即可弄明白。本书从数学的角度去观察,认知一些客观事物的规律,感受其中的奥妙。

数学在各个学科、各个领域都涉及,互相渗透。古代研究数学的人都在多种学科有建树。毕达哥拉斯是多种学科的奠基人。约公元前1100年的周公,是西周初期杰出的政治家、军事家、思想家、诗人、数学家、天文学家、教育家,被尊为“元圣”和儒学先驱。

当代数学揭示出外在的和隐蔽的模式以帮助我们认知周围世界。当代的数学已经远不止是算术和几何,而是一门丰富多彩的学科。当代数学所处理的内容包括:数据、数据分析、测量、推断、演绎证明、自然现象的数学模型、人类行为的数学模型、社会系统的数学模型,等等。

数学是人类在社会实践过程中获取的能力和创造的成果。数学渗入人们的认识、生活、生产和社会活动之中。每一个人的身上、身边都有数理,闪亮数学文化之光,文化程度和职业爱好只是使各个人的数学文化有差异。

本书让你感知、整理、深化你的数学,了解数学一些精髓,也让数学对你的认识、能力有良好影响,得到数学精髓的营养,享受数学的文化,希望对你的文化素养和处事能力有帮助。

第一章 说说0,1,-1 

第二章 自然数字之神的原本

第三章 受关注的一些数字

第四章 我们身上的数学文化

第五章 数学语言的作用力

第六章 数学推理与逻辑推理

第七章 数学思想方法

第八章 认知的一些特征

第九章 物与类聚

第十章 相等与不相等

第十一章 最优化的问题

第十二章 准确定位

第十三章 数学图像

第十四章 形的世界

第十五章 空间图形

第十六章 次序和估计的学问

第十七章 实施步骤与程序