托尼˙罗宾（TonyRobbin），美国画家。1965年毕业于哥伦比亚大学，1968年毕业于耶鲁

　　大学艺术学院，获艺术硕士学位。1974年在惠特尼美国艺术博物馆举办首次个展，此后其绘画、雕塑作品举办了二十六次个展，参加过一百余个群体展览。1993年在丹麦理工大学建造大型雕塑；2011年在奥兰多艺术博物馆举办回顾展。他是四维几何计算机可视化的先驱，著作有《四域：计算机、艺术与第四维》（1992）、《工程化新建筑》（1996）、《时空投影》（2006）等。

　　本书既是一部修正主义的数学史，也是一部修正主义的艺术史。在这部洞见迭出的书中，托尼˙罗宾探究了第四维的不同模型，以及这些模型在物理学和艺术中的应用。罗宾探讨了切片模型（平面国模型）与投影模型（影子模型）的区别，比较了这两种模型的历史及其在大众文化中的运用和误用。使用他的原创性的论证--毕加索利用投影模型发明了立体主义，闵可夫斯基构建狭义相对论时对四维射影几何学已胸有成竹，本书力排众议，以扭量、准晶、量子拓扑学等当代数学中的空间涉及的一系列创新思想，逐一呈现投影模型的优势。

　　罗宾提出，射影几何学在发展当下数学思想中的强大作用，我们对切片模型的依恋实际上是阻碍理解时空当代模型的一个概念障碍，进而梳理了射影思想如何成为艺术、数学、物理学和计算机科学中如今一些激动人心的发展之源。

　　罗宾的洞见，肯定属于引导我们科学、艺术和大众社会全新理解我们世界之列。

　　查尔斯˙H˙沙伊（CharlesH.Scheim）

　　哈特威克学院教授

　　罗宾对毕加索1910年作品《手里捧着书的女子》的讨论，令人激动和耳目一新。

　　简˙舒尔（JanSchall）

　　纳尔逊-阿特金斯艺术博物馆策展人

　　这本书是什么？它是艺术、艺术史、科学、数学及其各自历史的整合；它就是哲学，令人脑洞打开。

　　斯科特˙卡特（ScottCarter）

　　南阿拉巴马大学数学教授

　　本书是穿过超空间的高能旅行。罗宾练就了他的偏好，借助投影和射影几何学理解高维空间。他的旅程，从20世纪初伴随狭义相对论和四维空间思想出发，转向立体主义降临，量子理论兴起，直至准晶，罗杰˙彭罗斯的自旋网络、扭量理论，量子非局域性的现代观点，高级范畴理论的几何学与拓扑学。

　　刘易斯˙H˙考夫曼（LouisH.Kauffman）

　　伊利诺伊大学芝加哥分校数学、统计学和计算机科学系荣休教授

　　《纽结与物理学》作者

　　我们此时此地在行走，但存在一个外部空间，一个影响我们自己

　　无限空间的空间，或换个夸张说法，一个完全应用在我们空间或插入

　　我们空间的空间吗？也许我们留存着从子宫中的记忆里突然进入的冰

　　冷的无限空间中的记忆，这些记忆培养了我们的信念，即这样一个超

　　越空间的空间是可能的。数学可以界定和征服那个额外空间，把四维

　　几何（four-dimensionalgeometry）变成一个可感世界，或许甚至可能

　　和三维世界一样可感。在19世纪，数学家和哲学家们用两种数学模型

　　来探索和理解这种困难的思想：平面国模型（切片模型）和影子模型

　　（投影模型）。

　　我们可以通过思考椅子不同的二维表现形式，来理解这两个四维

　　空间的隐喻。平面国模型（Flatlandmodel）假设观察者是漂浮在水面

　　上的浮渣。当椅子滑进他们的表面世界时，椅子的连续切片会被湿润。

　　首先，四条腿看起来像四个圆圈；然后，座椅看起来是一个正方形；

　　然后，当椅背接近水的时候，又出现了两个圆圈；最后，椅子后部那

　　薄薄的长方形出现在二维世界中。但是在影子模型（shadowmodel）

　　中，如果太阳把椅子在一个光滑海滩的表面上投下影子，整个椅子就

　　将出现在生活于那个海滩上的任何二维生物面前。的确，在阴影下，

　　各部分之间的长度或角度可能被投影扭曲，但椅子的连续性得以保持，

　　且保持了椅子各部件之间的关系。

　　切片模型（slicingmodel）的力量在于它以微积分为基础，它强

　　化了这样一种观念，即切片代表实在（reality），捕捉无限薄片的空

　　间，然后将它们叠加在一起来定义运动。此外，每个时刻所有空间的

　　堆叠是时间的定义；人们经常听到时间是第四维度的说法。切片模型

　　在数学上是自洽的，因此是正确的，它通常被认为是四维实在（fourdimensionalreality）的精确、完整和专有性的表示。这似乎是故事的结尾，但"平面国"隐喻（Flatlandmetaphor）既能解放思想，同时又束缚了思想。

　　投影模型（projectionmodel）是一种与切片模型同时发展起来

　　的同样清晰、强大的结构直觉。与流行的论述相反，正是投影模型

　　在20世纪初形成了革命性的理念。作为这一投影隐喻（projection

　　mataphor）的一部分，那些发展起来的理念仍然是当代数学和物理学

　　最先进思想的基础。与基于微积分的切片模型一样，投影模型也是自

　　洽的和数学上正确的；它得到射影几何学的支持。射影几何学是一种

　　优雅、强大的数学，它和微积分一样，在19世纪蓬勃发展。在射影几

　　何学中，无穷远点位于射影直线上，是直线的一部分，这种使无穷远

　　成为空间一部分的简单调整，极大地改变和丰富了几何学，使之更像

　　空间的方式。投影图形是整体的，切片图形不是整体的，而平面国空

　　间模型的不连通性更存在问题。即使是时间，也不能这么简单地描述

　　成一系列的切片。

　　巴勃罗˙毕加索（PabloPicasso）发明立体主义（cubism）时，不

　　仅研究了一本数学书中四维立方体的投影，而且阅读了诸多文本，既

　　包括图像，还包括思想。赫尔曼·闵可夫斯基（HermannMinkowski）

　　用四维几何学整理狭义相对论（specialrelativity）时，脑海中有投

　　影模型；仔细阅读他的文本，就会发现这一点。尼古拉斯·德布罗

　　金（NicolaasdeBruijn）生成准晶的投影算法，革命性地改变了数学

　　家对模式和晶格（包括使物质变得坚实的原子晶格）的思考方式。罗

　　杰·彭罗斯（RogerPenrose）指出，光线更像是投影直线，而不是空

　　间中的规则线，由此产生的扭量纲领（twistorprogram）是自阿尔伯

　　特·爱因斯坦（AlbertEinstein）的发现以来物理学中最具挑衅性、最

　　深刻的结构调整。射影几何学如今正被应用于量子信息论（Quantum

　　InformationTheory）的佯谬中，而在量子物理学中，正四维几何图形

　　的投影正以一种最令人惊讶的方式被观察到。为了研究量子泡沫，我

　　们使用投影方法攀登维度阶梯，这是对量子世界空间的激动人心的最

　　新尝试。这种新的投影模型，为我们提供了无法在不引发绝望佯谬的

　　情况下被简化为平面国模型的一种理解。这些投影模型的新应用，发

　　生在计算机图形学对高维对象全新的运动图像之时。高维图形可视化

　　的计算机革命，将在第10章介绍。

　　射影几何学开始于艺术家们试图在二维表面上创造空间和三维

　　形式的错觉。①数学家将这些透视法推广到任何方向，并最终在任意

　　维数中研究那些对象，从而建立了广义投影。同时，透视演变为射

　　影变换，在这种情况下，对象和空间有着视觉一致性，因为结构是

　　通过一系列来来回回的投影操作（包括那些投影对象到自身）形成

　　的。最后，射影表示由齐次坐标定义的系统，其中度量维、方向等

　　概念失去了所有传统含义，但获得了与现代理解相关的丰富性。透

　　视（perspective）、投影（projection）、射影变换（projectivity）、射影

　　（projective）--这些微妙的概念相互促进，建立更高层次的抽象，直

　　到它们定义了包含在高维框架中的自引、内聚的结构。这样的高维框

　　架，随着它们变得越来越熟悉，随着文化稳定它们的外观，现在开始

　　有越来越多的实在性。

　　我在这个旅程上行走了三十多年。在本书中，我愉快地回顾了第

　　一次出现四维几何投影模型的时候。我更了解华盛顿˙欧文˙斯特林

　　厄姆（WashingtonIrvingStringham），19世纪数学家，他的四维图形

　　在欧洲和美国引起了轰动。我发现了奇人T.P.霍尔（T.P.Hall），他

　　在75年前就预料到了计算机生成四维图形的行为。我看到了毕加索

　　发明真正的立体主义那一刻，如果没有这种回顾目光，我就永远不会

　　遇到在毕加索的四维空间中探索的缪斯--尤物爱丽丝˙德兰（Alice

　　Derain）。我一直想更好地了解闵可夫斯基的心态。很高兴能在哥伦比

　　亚大学科学与数学图书馆、克拉克大学档案馆那布满灰尘的书库里发

　　掘，我也对美国和欧洲新的电子邮件伙伴、档案管理员表示感谢。

　　中文版序..................................................1

　　前言..................................................3

　　致谢..................................................7

　　第一部分射影模型的过去运用

　　第1章四维几何的起源.....................................13

　　第2章四维空间的遐想.....................................38

　　第3章绘画中的第四维.....................................55

　　第4章现实...............................................73

　　间奏曲

　　第5章射影几何速成课.....................................91

　　第二部分射影模型的当前运用

　　第6章模式、晶体与投影...................................105

　　第7章扭量和投影.........................................122

　　第8章纠缠、量子几何和射影实在...........................140

　　第9章范畴论、高维代数与维度阶梯.........................155

　　第10章四维几何中的计算机革命............................173

　　第11章结语：艺术、数学与技法绘图........................189

　　附录..................................................197

　　注释..................................................198

　　参考文献..................................................202