第1章 矩阵论基础
这一章主要介绍矩阵分解、矩阵特征值理论、实对称矩阵、非负矩阵、矩阵广义逆、分块矩阵与Schur补等基础知识，为后续章节提供理论基础.
1.1 矩阵分解
令Cm×n和Rm×n分别表示复数域C和实数域R上所有m×n矩阵的集合，Cn和Rn分别表示n维复向量空间和n维实向量空间.令I和In分别表示单位阵和n阶单位阵，令rank(A)表示矩阵A的秩.首先介绍矩阵的等价分解.
引理1.1 [21]对任意A∈Cm×n，存在非奇异矩阵使得
其中r=rank(A).
对于A∈Cm×n，令A.和A.分别表示A的转置和共轭转置.设rank(A)= r并且λ1，λ2， ，λr是AA.的非零特征值.由于AA.是半正定的，因此λ1，λ2， ，λr>0.称，为A的奇异值.
对于A∈Cn×n，如果，则称A为酉矩阵，也简称为酉阵.实的酉阵即为正交阵.下面介绍矩阵的奇异值分解.
引理1.2 [21]对任意，存在酉阵使得，
其中Δ为正对角阵，其对角元素为A的奇异值.
由方阵的Jordan标准形可得到下面的引理，即方阵的核心–幂零分解.
引理1.3 [126]对任意A∈Cn×n，存在非奇异矩阵P∈Cn×n使得
其中Δ可逆，N是幂零阵.
下面是方阵的Schur引理.
引理1.4 [82]对任意A∈Cn×n，存在酉阵U∈Cn×n使得，其中B是上三角阵.
由Schur引理可得到实对称矩阵的如下性质.
引理1.5 对任意实对称矩阵A，存在正交阵P使得，其中B是实的对角矩阵.
引理1.5中的分解形式既是实对称矩阵A的核心–幂零分解，也是A的奇异值分解.下面介绍实对称矩阵的谱分解.
引理1.6 [41]任意实对称矩阵A有谱分解，
其中θ1， ，θm是A的所有相异特征值，Pi表示θi的特征子空间上的正交投影矩阵，并且P1， ，Pm满足
*后介绍整数矩阵的Smith标准形.
引理1.7 [16]设A是一个n阶整数矩阵，则存在行列式为±1的整数矩阵
P，Q和整数s1， ，sn使得
其中s1， ，sn满足如下性质：
(1)si能整除，并且.
(2)是A的所有k阶子式的*大公因数(k=1， ，rank(A)).
1.2 矩阵特征值
对于表示A的第i行所有非对角元的模和，σ(A)表示A的所有特征值的集合.下面是1931年Ger.gorin给出的矩阵特征值包含集，即特征值的Ger.gorin圆盘定理.
定理1.8[64] 令矩阵，则
证明设λ是A的任意特征值，为λ对应的特征向量，并且令.由特征方程Ax=λx可得.
由于，因此.
故.
令det(A)表示方阵A的行列式.对于，如果对所有i都成立，则称A对角占优(强对角占优).由定理1.8可得到以下两个推论.
推论1.9 如果是强对角占优矩阵，则.
推论1.10 设是具有非负对角元素的实对称矩阵.如果A对角占优(强对角占优)，则A半正定(正定).
下面是一个改进型的特征值包含集.
定理1.11 设矩阵的每一行都至少有一个非对角的非零元素，则，
其中G是定理1.8中定义的集合.
证明设λ是A的任意特征值.当λ等于A的某个对角元素时有λ∈B.下面考虑λ不等于A的任意对角元素的情况.令为λ对应的特征向量，由特征方程可得.
令xi是模*大的分量，则|xi|>0.由于λ不等于A的任意对角元素，因此存在分量使得且.
因此
故.
接下来证明.对任意z∈B，如果，则
此时对任意，有，
与z∈B矛盾.因此z∈G，即.
由定理1.11可得到以下两个推论.
推论1.12 设矩阵的每一行都至少有一个非对角的非零元素.如果对任意均有，则.
推论1.13 设是具有非负对角元素的对称矩阵，且每一行都至少有一个非对角的非零元素.如果对任意均有，则A正定.
设V和E分别是有向图D的顶点集和弧集.对于u∈V，它的出邻域表示为. D的有向路是由互不相同的顶点构成的序列i0，i1， ，ik，其中的有向圈是一个顶点序列，其中j1，j2， ， jk是互不相同的顶点，并且.对于D的任意两个顶点u和v，如果从u到v和从v到u都存在有向道路，则称D是强连通的.如果D的每个顶点都属于D的某个有向圈，则称D弱连通.
矩阵的伴随有向图D(A)具有顶点集和弧集.令C(A)表示D(A)的所有有向圈的集合.
1982年，Brualdi利用矩阵的伴随有向图给出了如下特征值包含集.
定理1.14 [17]设，并且D(A)弱连通，则
其中G是定理1.8中定义的集合.
证明设λ是A的任意特征值.由于D(A)弱连通，因此当λ等于A的某个对角元素时有λ∈D.下面考虑λ不等于A的任意对角元素的情况.令为λ对应的特征向量，令Γ0为D(A)的导出子图，其顶点集是所有满足xi.=0的顶点i的集合.由特征方程Ax=λx可得
(1.1)
由于，由等式(1.1)可知，对Γ0的每个顶点i，非空.中存在一个有向圈使得对任，有.
由等式(1.1)可得
由于，由等式(1.1)可知，对Γ0的每个顶点i，Ni(Γ0)非空.Γ0中存在一个有向圈使得对任意，有.
由等式(1.1)可得.
因此
由于并且，因此
即.
接下来证明D.G.对任意z∈D，如果，则对任意i均有.
此时对任意γ∈C(A)，有，
与z∈D矛盾.因此z∈G，即.
由定理1.14可以得到关于矩阵非奇异性的如下判定条件.
推论1.15 [17]设，并且D(A)弱连通.如果对C(A)中的每一个有向圈γ，都有，则.
证明假设det(A)=0，则0是A的特征值.由定理1.14可知，存在γ∈C(A)使得，
与矛盾.因此.
由定理1.14还可以得到关于矩阵正定性的如下判定条件.
推论1.16 设是具有非负对角元素的对称矩阵，并且D(A)弱连通.如果对每个γ∈C(A)，都有，则A正定.
证明假设A不是正定阵，则A有一个特征值λ.0.由定理1.14可知，存在γ∈C(A)使得.
由于并且A的所有对角元素非负，因此，与矛盾.故A是正定阵.
定理1.17 [17]设，并且D(A)强连通.如果对C(A)中的每一个有向圈γ都有，并且至少有一个有向圈使得不等式严格成立，则.
证明由于D(A)强连通并且，因此A的所有对角元素均不为零.假设det(A)=0，即0是A的特征值.令为特征值0对应的特征向量，令为D(A)的诱导子图，其顶点集是所有满足的顶点i的集合.由定理1.14的证明可知，Γ0有一个有向圈满足，
并且对任意均有.
由于，因此.
由定理1.14的证明可知，对每个均有.
由于对某个γ∈C(A)有，因此D(A)至少有一个顶点不在γ1中.由于D(A)强连通，因此γ1的某个顶点ij到γ1外的某个顶点v有弧.
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