乔·博勒（Jo Boaler），斯坦福大学数学教育专业教授，www.youcubed.org创始人。曾任英国苏塞克斯大学居里夫人学院数学教育学专业教授，伦敦国王学院研究员。她常年担任美国和英国大型刊物及电视频道特约撰稿人，其中包括《华尔街日报》和《时代周刊》（伦敦版）。其研究成果被广泛刊载于各国学术期刊、报纸。她曾因在"数学教育领域的卓越贡献"而受邀赴美国白宫发表演讲，并应邀担任国际经合组织国际学生评估项目顾问。

　　你喜欢数学吗？

　　据统计，40%以上的人不喜欢数学，甚至对数学怀有深深的厌恶和恐惧。这种情感来源于传统的数学教学模式，即老师站在黑板前讲解数学定理及方法，学生则在下面将老师的板书抄下来，再做大量的习题来巩固。这种教学模式往往形成学生只要记住相关知识就能将其彻底掌握的假象，却掩盖了他们数学能力低下的事实。

　　如果学生能够以一种不同的方式去学习数学，那么他们将来很可能在数学领域取得成功。为了改变学生对数学的负面印象，不再把数学看成一堆稀奇古怪的图形，乔·博勒教授对几千名美国和英国的中学生进行了为期数年的纵向调研，重点分析学生如何开展数学学习，以便找出高效的教学方法。

　　这本书的写作目的，就是为数学老师们提供数学教育的新方法、新思路，以帮助孩子们更好地掌握知识并快乐成长。同时也为家长们提供一些数学基础知识，以便他们间接地帮助提升课堂教学质量。

　　希望这本书能够使被数学"伤害过"的学生重新点燃兴趣；鼓舞热爱数学的人继续努力；为从事数学教育的人指明前进方向。

　　“什么是数学？”在我开展诸多有关教育的调查研究中，我每次都会询问那些接受过传统教育的学生这个问题。他们的回答多半是：“数字运算”或是“一堆定理”。而当我把这个问题抛给数学家时，他们多半会回答：数学是一种“研究方法”或者一套“思想体系”。学生们在谈到其他学科时，比如英语课和科技课，他们所理解的学科核心内容与常年从事该领域研究的专业人士所持观点基本一致。那么为何学生与数学家对数学这门学科的认知反差如此之大呢？学生们又是如何形成了如此偏离于数学学科本质的认知呢？

　　著名的哲学家和数学家Reuben Hersh曾写过一本名为《数学是什么，真的是这样吗？》的著作。在这本书中他探寻了数学的真正核心，并得到了一个重要观点：人们之所以不喜欢数学，很大程度上是由于课堂教学对于数学本来面目的歪曲。数百万美国人在学校学习数学时使用的都是极其缺乏学科内涵的数学教材，这使得人们在课堂对于数学的认识，与生活及工作中所接触的数学大相径庭，与数学家们所追求的数学比较的话更是相去甚远。

　　什么是数学，真的是这样吗？

　　数学可以定义为“描述人类活动、刻画社会现象、解释现实世界并勾勒出未来发展趋势的一种量化方法”，是我们人类文明重要的一部分。在著名作家Dan Brown的畅销小说《达·芬奇密码》中，作者谈到了关于“黄金分割率”方面的知识，这一比率通常用希腊字母φ表示。“黄金分割”最早记录于公元前6世纪，1202年又因为数学家斐波那契的传播而闻名于世。关于“黄金分割”，斐波那契曾提及一道有趣的数学题，具体是这样的：

　　某人把1对兔子放置在四周都有围栏的区域中养殖。假设每对兔子在出生的两个月后就能繁殖出另外1对兔子，且1对兔子每个月只能生出1对兔子来，那么按照这种规律，在1年之内总共可以繁殖多少对兔子？

　　将每个月计算得出的结果依顺序排列，就得到了我们所熟知的斐波那契数列：

　　1，1，2，3，5，8，13，21，34……

　　随着数列的逐级递推，我们会发现数列的第n+1项与第n项的比值（n=1，2……）与1.618这一数值越来越接近，而这一数值恰好等于“黄金分割率”。

　　最让我们感到惊讶的是，这一比值广泛存在于自然界的万物生长规律之中：比如鲜花的种子以其特定的螺旋方式排列，生长比值接近1.618。贝壳、松果还有凤梨等植物外壳纹路的排列方式也具有类似的特征。

　　下面以图片来举例来说明：如果你仔细观察图片中的雏菊，就会发现雏菊的种子以花盘中央为圆心呈螺旋状排列，只是不过每一层种子排列的旋转方向或左或右。

　　如果你仔细沿着图中雏菊种子的排列轨迹描绘出曲线，你就会发现靠近花盘圆心的里层可以画出21条逆时针旋转的曲线，而远离圆心的外层可以画出34条顺时针旋转的曲线。这些数字恰好是斐波那契数列中的某一项。

更为有趣的是，通过测量人体的某些身体结构也可以发现类似的“黄金分割率”。比如：人类身高与肚脐至地面距离的比值；肩膀到指尖距离与手肘到指尖距离的比值等。因为满足“黄金分割率”的图形或物体可以让眼睛感到舒适，因此这一比例普遍存在于许多艺术作品和建筑物中，甚至联合国的大楼、雅典的帕特农神殿、埃及的金字塔都应用到了类似的比例特征。

　　应该说那些有机会去见识数学“本来面目”的孩子是非常幸运的，因为这有助于他们的未来发展。负责《纽约时报》科学版面记者的MargaretWertheim回忆起自己童年时曾有幸跟着一位来自澳大利亚的老师在课堂上学习数学，她认为正是这位老师的数学课转变了自己的世界观：

　　我在10岁那年经历了一次可以称之为“非常奇妙”的数学体验。记得那堂数学课我们主要学习圆形，作为优秀的数学教师，Marshall先生带领我们自主地去探索隐藏在这个简单图形中的奥秘：无理数π（亦称超越数）。对于年幼无知的我来说，那时的感觉就好像得到了神的指引之后，在浩瀚无边的宇宙中发现了一处宝藏一样兴奋。无论在何时何地，每当我看到圆形图案时，内心都会不自觉地联想到π这个神秘的数字。它几乎存在于世间万物当中：在太阳、月亮、地球中；在蘑菇、向日葵、橙子、珍珠中；在车轮、表盘、瓦罐、电话拨号盘中……以上所有这些客观事物都可以经由π联系到一起，显然π作为一种共同属性是超越这些客观事物的存在。我对此感到无比震撼，仿佛得到了指引，使我透过眼前的景象瞥见了神奇数学王国的真面目。也就是从那个时候起，我便下定决心开始去寻找隐藏在身边的数学奥秘。

　　在经历过美国的数学课堂教育后，有多少学生能够像Wertheim那样来刻画属于自己心中的数学呢？为什么学生们并没有像Wertheim那样，被数学的奇妙所震撼并陶醉于其中，怀着一颗求索之心去寻找数学与现实世界的关联呢？这恰恰是因为他们被课堂上所建立起的数学假象误导了，因而没能亲身体验真正的数学到底是个什么样子。出版过多部数学专著的数学家Keith Devlin指出，数学家其实并不精于计算，事实上他们的工作重心并不在于此。数学家会把数学作为一种“研究客观世界的一种方法”。

01 引言 数学教育改革迫在眉睫

什么是数学？ 

为什么我们都离不开数学？ 

人们之所以不喜欢数学，很大程度上是由于课堂教学对于数学本来面目的歪曲。 

02 数学课堂教学的问题 

新旧教学模式之争

那些强行将数学条件融入现实生活背景的数学题在短时间来看可能是个小问题，但是长此以往将对学生的数学学习兴趣产生毁灭性影响。 

03 美好的愿景 

提高课堂教学的方法

学生们需要积极地参与到数学课程教学当中，他们需要去掌握与数学有关的诸多技巧，比如方法 实际应用、阐述与表明自己观点。 

04 征服"数学考试"这头怪兽 

能够激励数学学习的新模式

当用考试分数而不是以数学学习能力来评判学生时，一方面不能提供客观可靠的评价信息，另一方面也有可能 严重伤害到学学生的信心。学生的信心。 

05 把教育驶入"慢行道" 

美国分层式教学为何效率如此低下 

数学课上除了可以建立或摧毁学生的自信心外，还会在很大程度上引导学生如何正确评价他人。 

06 作为糖与香料的代价 

女性为何与数学渐行渐远

为何女性群体对于知识深入学习需求如此强烈这一问题，并没有我们应该如何为她们提供一个合适的教育环境来得重要。 

07 数学应该怎样学 

关键策略与辅助教学方法

高水平的学生真正去刻意记住的知识也许不多，但是他们却以一种独有的方式在学习，而且他们在面对数字运算时能够灵活地运用思维去拆分与组合数字。 

08 给孩子最好的数学启蒙 

兴趣活动和教育建议

家长培养孩子对数学学习感兴趣最好的方式，就是提供一种数学熏陶的环境，最好是和孩子一起去探寻数学中的各式概念和思想。 

09 让孩子爱上数学 

开启学校数学教育的新模式 

鉴于美国孩子的数学教育现状，家长要做的就是和老师一起合作，而不是站在他们的对立面。

卷尾语

致谢 

注释

附录 书中数学问题的解答