第3章控制系统的时域分析方法
学习要点
深刻理解系统稳定性的定义及其内涵，熟练使用劳斯判据判稳，了解系统误差的两种定义及其关系，掌握误差系数的定义和求法，会用终值定理求系统的稳态误差。理解内模原理的内容和结论，掌握系统型的概念，会用内模原理指导进行系统设计。熟记一阶、二阶无零点系统单位阶跃响应的表达式和性能指标的计算公式，了解附加零点、附加极点对系统阶跃响应性能指标的影响。了解高阶系统的响应特性，极点决定系统响应暂态过程的模态和收敛速度，零点则决定各模态的大小。理解高阶系统闭环主导极点和闭环偶极子的概念，了解有一对共轭主导极点时高阶系统阶跃响应性能指标的近似计算公式。熟练绘制系统的根轨迹，了解加入开环极点或零点对根轨迹的影响，掌握有开环零、极点相消时根轨迹的处理方法。
问答题及解答
问题31系统阶跃响应的超调量小，振荡次数少，表明系统的稳定性好，反之表明系统的稳定性差，这很容易理解。但教材中又指出，系统稳定性的好坏与系统响应波形的具体形状如何是两回事，这应该如何理解？
答： 根据稳定性的定义，系统起始于不同初始状态的响应t→+∞时收敛到一起，与初始条件无关，则这个响应过程就是稳定的。显然，稳定性的定义是定性的，而非定量的定义，这也带来一个问题，即如何评价两个不同的响应过程，哪个稳定性相对更好，哪个稳定性相对较差。
一般来讲，一个稳定的响应过程，收敛快，且单调无振荡或振荡趋势弱，被认为是稳定性好，否则被认为稳定性差。因为一个系统对指令信号的响应过程，具体波形不仅由系统本身的结构和参数决定，还与系统的初始条件、输入信号的形式和大小有关，这些都给从响应波形来判定系统稳定性的好坏增加了难度，要根据不同情况区别对待，但即使是线性定常系统，也很难单从系统的响应波形对系统的稳定性程度做出评价。
我们知道，零初始状态下无零点二阶振荡线性定常系统阶跃响应的拉氏变换为
C(s)=ω2ns2+2ξωns+ω2n1s
阻尼比ξ=0.707时，系统在快速性和稳定性方面可以得到很好的折中，超调量小σ=4.3%，调节时间短ts=3.5/(ξωn)。但同样的系统在非零初始状态下的阶跃响应，根据拉氏变换的微分定理将初始条件代入有
C(s)=c(0)s+2ξωnc(0)+c·(0)s2+2ξωns+ω2n+ω2ns2+2ξωns+ω2n1s
由于叠加上了系统的零输入响应，不同初始状态下的响应波形完全不同，无法使用零初始状态下阶跃响应的超调量等性能指标来描述它的收敛特性。或者，考虑其他输入信号时的响应过程，例如正弦输入信号的响应，即使在零初始状态下，也很难用阶跃响应的性能指标来描述它动态响应过程的稳定性的好坏，非零初始状态下的响应过程更是如此。
因此，对于给定的系统，不同初始条件、不同指令信号作用下的响应波形完全不同，系统稳定性的好坏与系统响应波形的具体形状如何是两回事。
对于线性定常系统，系统的响应过程是零输入响应和零状态响应的和，满足齐次性和叠加性，状态响应收敛过程的快慢和振荡特性完全由系统的特征根在复平面上的位置来决定，输入输出响应则由系统零、极点在左半开平面的分布来决定。
对于时变系统、非线性系统、开关控制系统等，要评价其稳定性的好坏更是一件十分困难和复杂的事情，简单地从系统对某个指令信号响应波形的具体形状如何来理解稳定性的好坏，太过教条，对今后的学习不利，要及时更正过来。
问题32单位反馈控制系统指令信号到系统输出，扰动信号到系统输出，传递函数只相差一个控制器的传递函数。还有，指令信号到系统输出，测量噪声信号到系统输出，传递函数只差一个负号。而系统输出对指令信号、扰动信号、测量噪声信号的响应特性要求是完全不同的。请老师给解释一下，这些不同的响应要求在设计中是如何满足的？
答： 你这个问题提得很好，是在控制理论课程学习中应该首先搞清楚的问题之一。对于图3.1所示的单位反馈控制系统，
图3.1典型的单位反馈控制系统框图
参考输入下系统的输出是
C1(s)=ΦRC(s)R(s)=Gc(s)G0(s)1+Gc(s)G0(s)R(s)
扰动输入下系统的输出是
C2(s)=ΦLC(s)L(s)=G0(s)1+Gc(s)G0(s)L(s)
测量噪声输入下系统的输出是
C3(s)=ΦNC(s)N(s)=-Gc(s)G0(s)1+Gc(s)G0(s)N(s)
指令信号到系统输出，等价到被控对象输入侧的扰动信号到系统输出，它们的传递函数只相差一个控制器传递函数的倍数，即
ΦLC(s)=1Gc(s)ΦRC(s)
指令信号到系统输出，测量噪声信号到系统输出，它们的传递函数也只差一个负号，即
ΦNC(s)=-ΦRC(s)
既要使得系统输出快速复现指令输入R(s)，又要使得系统输出少受负载扰动L(s)的影响，在输入信号和负载扰动信号的频宽范围内(它们往往有相同的频宽)，控制器的增益就应该足够大，以使得ΦRC(s)≈1的同时ΦLC(s)1。
另一方面，传感器的测量噪声一般是零均值的高频信号，只要在测量噪声信号频带范围内，系统开环传递函数的增益足够小，即Gc(s)G0(s)1，则有
-Gc(s)G0(s)1+Gc(s)G0(s)N(s)≈-Gc(s)G0(s)N(s)
传感器高频测量噪声对系统输出的影响就会得到充分抑制。一般来说，被控对象高频段的增益会随信号频率的增加快速减小，即具有高频滤波特性，只要测量噪声的频带范围在系统设计频宽的范围以外，抑制测量噪声影响的设计目的就可以达到。
问题33位置误差系数、速度误差系数、加速度误差系数的概念适用于从输入端定义的误差信号，也适用于从输出端定义的误差信号吗？计算出的误差分别是位置误差、速度误差和加速度误差吗？
答： 位置误差系数、速度误差系数、加速度误差系数的概念只适合于从输入端定义的误差信号，并不适合于从输出端定义的误差信号，除非是单位反馈系统。
但另一方面，如教材中指出的，从输入端定义的误差信号和从输出端定义的误差信号又是统一的，即从输出端定义的误差信号乘以反馈通路的传递函数等于从输入端定义的误差信号，因此，对于比例反馈系统来说，二者只相差一个比例。
应用误差系数的概念计算阶跃输入、斜坡输入、抛物线输入下系统的稳态误差，得到的都是稳态位置误差，即用输入信号减去反馈信号得到的误差信号的稳态值，而非误差信号的位置误差、速度误差和加速度误差值，请注意理解。
问题34请能简单地解释一下内模原理的基本结论和它的工作原理。要克服扰动对系统输出的影响，用被控对象的零点去对消扰动输入函数拉氏变换在虚轴或右半平面的极点可以吗？为什么？
答： 内模原理的基本内容是，要做到参考输入、扰动输入共同作用下系统的稳态误差等于零，就要将参考输入、扰动输入拉氏变换在虚轴或右半开平面的极点设置为调节器的极点。内模原理依据的基本事实是，如果控制器的传递函数有位于原点、虚轴或右半开复平面上的极点，由于它是不稳定的，在控制器的输入为零时仍然可以维持一个和其极点模态相同的输出。例如，积分环节在原点有一个极点，在输入信号等于零以后，其输出仍然可以维持在一个非零常值，具体数值由过去历程的积分值决定。两积分器串联环节在原点有两个极点，输入信号等于零以后，可以维持一个斜坡输出，斜率的大小由前面一个积分环节对过去历程的积分值决定。振荡环节在虚轴上有一对共轭虚根，输入信号等于零以后，可以维持一个稳定的正弦振荡输出，振荡角频率等于共轭虚根的无阻尼自然振荡频率，幅值和相位由过去的输入信号决定，等等。只要闭环系统稳定，则系统在完成动态调节过程进入稳态，稳态误差为零时，控制器仍然可以维持一个输出，在抵消扰动输入后，去激励被控对象产生希望的输出，实现无静差控制。
内模原理还可以从另一个角度来解释，即以参考指令、扰动作用作为输入，误差信号作为输出，调节器位于反馈通路，而反馈通路传递函数的极点是参考指令、扰动作用到误差信号闭环传递函数的零点。按照内模原理设计控制器，控制器的极点作为参考指令、扰动作用到误差信号闭环传递函数的零点，与参考指令、扰动作用拉氏变换的不稳定极点形成对消，使得稳态误差为零。
按上述解释会产生一个问题，即被控对象的零点也是扰动作用到误差信号闭环传递函数的零点，是否可以用被控对象的零点去对消扰动输入
图3.2单位反馈系统的典型框
信号拉氏变换不稳定的极点，以消除扰动输入对系统稳态输出的影响呢？下面结合单位反馈系统的典型框图3.2，以参考输入和扰动输入为单位阶跃信号为例，来说明为什么这样做是不行的。
参考输入作用下系统的输出为
C1(s)=ΦRC(s)R(s)=Gc(s)G0(s)1+Gc(s)G0(s)R(s)=Bc(s)B0(s)Ac(s)A0(s)+Bc(s)B0(s)1s
扰动输入作用下系统的输出为
C2(s)=ΦLC(s)L(s)=G0(s)1+Gc(s)G0(s)L(s)=Ac(s)B0(s)Ac(s)A0(s)+Bc(s)B0(s)1s
容易看出，如果被控对象传递函数的分子多项式B0(s)中含有因子s与扰动输入函数拉氏变换的分母对消，则同样的对消也会出现在被控对象分子多项式B0(s)和参考输入之间，这将导致阶跃指令输入下系统的稳态输出为零。而且，如果根据内模原理设计控制器，它的分母Ac(s)含有因子s，因为B0(s)中也有相同的因子，就会出现开环传递函数
Gc(s)G0(s)=Bc(s)B0(s)Ac(s)A0(s)
和闭环传递函数
Gc(s)G0(s)1+Gc(s)G0(s)=Bc(s)B0(s)Ac(s)A0(s)1+Bc(s)B0(s)Ac(s)A0(s)=Bc(s)B0(s)Ac(s)A0(s)+Bc(s)B0(s)
不稳定零、极点的对消，这是系统稳定性设计不允许的。因此，被控对象零点对消扰动输入函数拉氏变换不稳定极点的情况，在设计中一般不允许出现。
单变量反馈控制系统的上述设计原则，也适用于多变量系统。
问题35老师，为什么用终值定理求正弦输入下系统的稳态响应或稳态误差得到的结果不对？应该如何求正弦输入下系统的稳态响应？
答： 如果t→∞时系统的稳态响应是随时间变化的，不是常数值，就不能用终值定理求系统的稳态响应，输出响应如此，误差响应也如此。
应用内模原理设计控制系统，调节器将指令和扰动输入信号拉氏变换所有位于原点、虚轴和右半开平面上的极点作为它的极点，因而也是指令和扰动输入到误差闭环传递函数的零点，与指令和扰动输入信号拉氏变换的不稳定极点形成对消，此时可以用终值定理并得到零稳态误差。系统输出总是要跟踪指令输入，与指令输入、扰动输入到误差不同，指令输入到系统输出的闭环传递函数的零点不会出现与输入信号拉氏变换不稳定极点对消的情况，否则系统的稳态输出就会是零，因此除常值输入外，一般不能用终值定理来求系统的稳态输出。
正弦输入下系统的稳态输出，应该根据频率特性的知识来求，即设系统的闭环传递函数为G(s)，它是稳定的，正弦信号Asin(ωt+φ0)作用下系统的稳态输出为G(jω)Asin［ωt+φ0+∠G(jω)］。
问题36采用积分控制，阶跃输入下系统的稳态输出等于输入，稳态误差等于零，系统的静态增益为1。在正弦输入下，按内模原理设计系统，系统的稳态输出也等于输入，稳态误差也等于零，可是求系统的稳态增益怎么不等于1呢？请老师解释一下原因。
答： 静态增益是指常值输入下，系统稳态常值输出与输入的比值。这里所谓的稳态应该理解为输入、输出信号为常值，它们的各阶导数等于零，终值定理中s→0的运算正是这个含义。
在上一个问题中已经指出，对于稳定的系统，传递函数的极点全在左半开复平面，除阶跃输入外(其拉氏变换只有原点的单重极点)，一般不能用终值定理来求系统的稳态输出。按内模原理设计系统，在斜坡输入或正弦输入下，系统的稳态输出等于输入，稳态误差等于零，可以应用终值定理求系统的稳态误差，但不能用终值定理求系统的稳态输出，在时变指令输入时也不能由稳态误差等于零推出输入输出间传递函数的稳态增益等于1的结论。
问题37请老师简单说明一下通过绘制根轨迹进行系统设计的步骤，由根轨迹的一般特性我们可以得到哪些有用的结论？
答： 对于单变量系统，当开环传递函数的零、极点一定时，应用绘制根轨迹的方法，可以得到改变开环放大倍数时闭环根的变化情况，进行闭环极点或闭环主导极点的设计。同样，应用广义根轨迹，也可以了解系统中某一个设计参数或对象参数变化时对闭环极点的影响。
在系统设计中，一般先根据被控对象零、极点的分布情况，系统的动、静态设计要求，选定控制器的形式，并预选控制器的零、极点，得到开环传递函数。通过绘制系统的根轨迹，若发现仅改变系统的开环放大倍数就能使闭环系统的动、静态指标全部达到设计要求，则完成设计，否则就需要对控制器的零、极点位置进行调整。静态指标不能满足要求时，增加滞后调节的力度，即使得滞后调节器的零、极点更靠近原点，提供更大的静态增益，动态稳定性或快速性不满足要求时，增加超前调节的力度，即移动超前调节器的零、极点的位置，提供更大的超前相角，使根轨迹的主分支向左移动，或选择其他更复杂的控制器，根据新的开环零、极点重新绘制根轨迹，直至动、静态指标全部满足设计要求为止。
由根轨迹的一般特性我们知道，闭环根轨迹总是起始于系统的开环极点，所以开环不稳定系统在设计中总是要尽量避免的。开环不稳定是导致闭环系统条件稳定的主要原因之一。在工程实际中，如果被控对象不稳定，往往先通过改造使其稳定，然后再进行反馈控制系统的设计。否则，当控制器饱和时，控制器的输出将维持在饱和值上，等价于系统运行在开环状态下，稳定性无法保证。当开环传递函数在原点有三个或三个以上极点时，闭环系统将很难稳定或至少是条件稳定的。因此，在实际中除Ⅰ型和Ⅱ型系统外，很少采用Ⅲ型或Ⅲ型以上系统。彼此靠近的开环零、极点附近总要出现一个闭环极点，因此开环偶极子不能出现在右半复平面，不能通过设计控制器的零点或极点去对消被控对象不稳定的极点或零点，否则将导致闭环系统不稳定。被控对象的不稳定零点必然保留在闭环传递函数的零点中，被控对象不稳定零点给系统性能带来的影响无法用反馈控制的方法和对指令信号设置滤波器的方法消除。对于单变量系统，为简化设计计算，得到闭环主导极点设计，用控制器的零、极点去对消被控对象特性不好但稳定的极、零点，消除它们对闭环系统的影响，是经常采用的方法。
问题38请应用根轨迹的方法证明开环传递函数在原点有三个极点的闭环系统要么不稳定，要么是条件稳定的，并由此说明控制系统一般只做到一阶或二阶无差，即对阶跃和斜波输入信号无静差。
答： 由根轨迹起始角的计算公式，对于最小相位系统，起始于原点开环极点的根轨迹分支，起始角与系统开环传递函数的零点以及其他极点(它们都分布在左半开复平面，且对称于横轴分布)无关，设系统开环传递函数在原点有三个极点p1、p2、p3，则起始于p1、p2、p3的三条根轨迹分支，起始角恒等于
θp1~p3=13(2k+1)×180°+∑mi=1∠-zi-∑nj=3+1∠-pj
=(2k+1)×180°3=60°，120°，300°
式中，k=0,1,2。因此，无论开环传递函数零点及系统其他开环极点在左半复平面如何分布，开环增益充分小时，总有闭环极点位于右半复平面，因此闭环系统要么不稳定，要么是条件稳定的。因此，控制系统一般只做到两阶无差，即对阶跃和斜波输入信号静态无差。
对于非最小相位系统，情况会更为复杂，但结果是一样的，即起始于原点的三个开环极点的根轨迹分支，它们的起始角将平分360°，因此开环增益充分小时，至少有一个闭环根会在右半复平面，闭环系统要么不稳定，要么是条件稳定的。
问题39什么是根轨迹的连续性？了解根轨迹连续性的意义是什么？
答： 设闭环系统的根轨迹方程为
∏nj=1(s-pj)+k*∏mi=1(s-zi)=0
k*1是根轨迹增益的某个定值，它可以大于零，也可以小于零，定义k～*=k*-k*1，从根轨迹方程有
∏nj=1(s-pj)+k*∏mi=1(s-zi)=∏nj=1(s-pj)+(k～*+k*1)∏mi=1(s-zi)
=∏nj=1(s-pj)+k*1∏mi=1(s-zi)+k～*∏mi=1(s-zi)=0
上式中，大括号内多项式的根即k*=k*1时系统的闭环根。若将k*=k*1时系统的闭环根作为新的开环传递函数的极点，开环传递函数的零点保持不变，则新开环传递函数k～*从0→+∞变化的根轨迹与原系统k*从k*1→+∞变化的根轨迹段是重合的，如图3.3所示。
图3.3根轨迹的连续性
设k*2是根轨迹增益的另一个定值，k*2>k*1，类似的讨论容易看出，若以k*=k*1时的闭环根为新的开环极点，以k*=k*2时的闭环根为新的开环零点，则新开环传递函数根轨迹增益k^*=(k*-k*1)/(k*2-k*)从0→+∞变化时的根轨迹，与原开环传递函数根轨迹增益k*由k*1到k*2变化时的根轨迹段相重合，如图3.4所示。
图3.4根轨迹的连续性
上述性质称为根轨迹的连续性。根轨迹的连续性给出了不同开环零、极点分布根轨迹的相互联系和包含关系，理解和掌握根轨迹的连续性，对于快速、准确地绘制根轨迹是很有帮助的。
问题310如果不限制调节器的阶次，可以任意配置反馈控制系统的极点吗？零点呢？请老师就相关结果给以简单介绍。
答： 首先，如果不限制串联调节器的阶次，可以任意配置反馈控制系统的极点。对于图3.5所示单位反馈系统，设被控对象传递函数的阶次为n，分子多项式β(s)=βn-1sn-1+βn-2sn-2+…+β1s+β0和分母多项式α(s)=sn+αn-1sn-1+…+α1s+α0间没有因子相消，串联调节器传递函数的分母多项式b(s)=bksk+bk-1sk-1+…+b1s+b0和分母多项式a(s)=sk+ak-1sk-1+…+a1s+a0的阶次都为k，则有下面的结论：
当k=n-1时，可以通过串联调节器传递函数分母、分子多项式系数的选择，任意配置闭环系统的2n-1个极点。设γ(s)=s2n-1+γ2n-2s2n-2+…+γ1s+γ0是希望的闭环特征方程，则调节器传递函数分母、分子多项式系数的取值由下式给出
a
b=L-1η
式中
a=a0
a1
an-2，b=b0
b1
bn-1，L=β0α0
β1
αn-2…α0
βn-1β0αn-1
β11αn-2
αn-1
βn-11，η=γ0
γn-2
γn-1-α0
γ2n-2-αn-1
展开
