《证明的教学：从幼儿园到大学的视角》的作者是E. Knuth（克努特）、 D. Stylianou、 M. Blanton（布兰顿），由Sense出版社出版。本书提供了学校课程中当前研究的诸多案例，对美国在该领域的现状进行了说明。从一个广阔的视角阐述了数学证明的涵义，并试图更好地将它纳入数学教育的范畴。作者为大家提供了能促进学生能力发展的具体做法，也提供了学生数学思考的机会。为读者展现了证明教学的发展趋势、课堂使用的数学问题和当前面临的挑战。为今后的研究指明了努力的方向——应当更加深入地致力于数学教学的研究。

　　第1章我希望我的学生关于证明

　　都知道些什么？

　　鲁宾?赫什

　　作为一位大学的数学教师，我会希望我的学生对数学“证明”有一个什么样的理解呢？显然，研究人员和职业数学家眼里的“证明”不是一个固定的概念，它是在一个教育体系中逐步发展起来的，从小学低年级，直到大学的高年级和研究生阶段。

　　对于大学的数学教师来说，证明的教学起始于微积分。有些学生在高中阶段已经学过微积分，在那里他们已经见识过了许多的“证明”。在大学的微积分课程中，我们同样提供了许多的“证明”，这些证明也许和高中阶段的不完全一样。但不幸的是，那些已经学过微积分的学生至多只具备了形式的或者算术的证明概念。他们会求多项式，甚至有理函数、三角函数、指数函数的导数，但却不理解什么是曲线的切线斜率或函数的变化率，实际上，这些概念才是微积分的意义和兴趣所在。关于概念理解的练习替换与“证明”的存在与否有关吗？在微积分课程之后，当学生进一步学习线性代数的时候，他们才开始认识到：证明并不只是那些在10年级几何课程和12年级微积分课程中学习的东西，证明也并不是和算术或者代数没有关系的，而是数学的本质，是区分数学思想与人类其他思想的标志。问题是，学生通常只有在学习了大学高年级的数学课程以后才能达到这样的认识，那么，在高中阶段，甚至更低的年级，他们是否可以做到呢？这里，我们首先要对“证明”和“推理”两个概念进行区分，虽然大学数学教师对这种区分也许从来不在意，但它有助于我们澄清本章要讨论的问题。我曾经针对我所在的新墨西哥大学的学习高年级数学课程的学生做过一次调查，结果发现，在学生的眼里，“推理”是中小学的一个普遍概念，但“证明”却是10年级以后才出现的事情。在他们看来，“证明”意味着系统的、清晰的、一步一步的推理，而那些非形式的、虽然也可以是很精致的推导都只不过是一些“推理”。上述这种区分实际上涉及“认识论”和“方法论”的问题。对于数学家而言，证明就是一个终结性的判断，可以让任何理解相关概念的人信服，可以排除任何的反例。这种解释的一个问题是，我们必须先假设存在某个公正的由数学家组成的裁决团，让他们来决定什么是可以接受的，什么应该质疑，什么必须拒绝。那么，他们做决定的逻辑基础又是什么呢？但这通常不是明显的，几乎所有的场合都有一些非显然的过程，这些过程对于年轻学生（包括他们的中小学数学教师）来说是不容易理解的。因此，数学专业水平上对证明的定义并不适合所有学生。

　　好在我们还有“推理”！

　　例如，当儿童学会整数的加法和乘法以后，就可以用位值的概念来帮助他们解释“乘法的交换律”，即两个数相乘，不管哪个因数放在前面，结果是一样的。为什么呢？因为97排每排24个硬币的总数与24排每排97个硬币的总数一样多，这只要换一个角度去看就可以了。这种解释实际上就是一种“推理”，那么可以算“证明”吗？我认为应该算。当然，到了大学阶段，我们还是应该对乘法交换律给出基于数学归纳法的严格的证明，而不只是借助于直观图形，因为图形是很容易迷惑人的。

　　到了10年级，欧几里得（Euclid）的第一定理是给定边长构造等边三角形。这里，运用两个圆弧来确定第三个顶点的直观“证明”是可以让人信服的，因为你可以“看到”两条圆弧一定是相交的（在所给线段的上方和下方各有一个交点）。但这种做法，按照现代数学的严格意义是不能被接受的，因为这不是从欧氏公理系统出发推导出来的，公理系统并没有说这样的两条圆弧一定相交，我们只是从图形上看出它们是相交的。那么，这是否可以算“证明”呢？我们是否需要像希尔伯特（Hilbert）那样为欧氏公理系统填补漏洞？或者误导孩子们，强迫他们咽下一个错误的证明？毕竟图形是可以误导的。我们再来看一个更基本的问题，那就是单位正方形的对角线与边长的不可公度问题，这最终导致了无理数槡2的产生。由于在无理数产生之前，我们只有有理数的概念，因此，从逻辑上我们只能说单位正方形的对角线是不可度量的。实际上，伟大的哲学家毕晓普·伯克利（BishopBerkeley）却对此进行过论证，他认为，既然我们可以接受连续的概念，那么就一定存在一个最小的长度单位，使得所有的线段都是可以度量的，当然也包括单位正方形的对角线。虽然从今天来看，伯克利的论证是有问题的，但在逻辑上他并没有犯错误，他只是依据了不同的公理系统，也就是后来的实数理论。在实数理论中，我们可以填补有理数留下的所有空缺。由于实数理论是大学阶段的课程，因此，在高中阶段，大多数学生只是被动地接受了无理数的“存在性”，只有极少数思维深刻的学生才会质疑这种“存在性”。大学的微积分教师总是抱怨高中的微积分课程太肤浅，其中没有包含（或者没有掌握）一些重要的数学证明，但实际上，今天多数大学的一年级微积分课程也并非都是“严格的”。我们常常在微分时并不考虑导数的存在性；我们常常默认实数系统是完备的而不去管它是否可能存在矛盾。既然在大学阶段我们可以在“需要的时候再来考虑”，那么，高中阶段的证明与大学阶段的证明在本质上又有什么区别呢？

　　我想，并没有多大的区别，真的！

　　尽管如此，我还是希望我的学生在大学之前已经知道证明不只是那些标准化的、写成双栏、10年级几何里做的事（所谓双栏式证明就是在左边每写一个判断，右边就要配上相应的定理或以前的结论，由此推出左边的下一个判断）。证明就是一种“推理”，一种精细的、批判性的推理，旨在填补缝隙和排除例外，而且这种推理可以在所有数学中看到，其中包括算术、代数和几何。也许我们还不能要求学生去理解证明的恰当与否是与讨论的背景相关的。在一种背景下被认可的证明到了更高级的、更复杂的阶段可能需要重新认定。在经过了大学一年级的初步微积分的学习之后，学生到了大三阶段才开始用“一种正确的方式”重新学习高级微积分课程。的确，让大学新生就掌握那些复杂的证明技巧是不切实际的，但至少我希望学生对证明有一个更宽阔的理解，让他们知道精细的数学推理可以导致可靠的定义和结论，这才是数学的本质。证明不是一件令人讨厌的、与问题解决不相关的事，证明与所有的数学都相关。我希望我的学生已经明白这一点。

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