对数的发明
数学中的许多计算都是很复杂的。当今时代我们可以使用计算机帮助我们计算，但是古代的人们怎么办呢？数学家们发明了一种重要的计算工具来帮助简化计算，这种工具就是对数。
当初首创“对数”这种高级运算的，数学史上一般认为是16世纪末到17世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier，1550一1617）。
纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，天文学成为当时的热门学科。可是由于当时数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了许多宝贵时间。纳皮尔也是一位天文爱好者。为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数。
纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样。在纳皮尔那个时代，人们还不知道“指数”这个概念。纳皮尔没有办法像现在的教科书那样，通过指数来引出对数。他是利用几何的比例原理得出对数概念的。
纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法。让我们来看看下面这个例子：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14……1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，2048，4096，8192，16384……
这两行数字第一行表示2的指数，第二行表示2的相应次幂。如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现。
比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6，256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6+8=14；第一行中的14，对应到第二行中的16384，所以，我们不需要计算便可以得知：
64×256=16384。
纳皮尔的这种计算方法，实际上已经是现代数学中“对数运算”的思想了。我们学习运用对数简化计算的时候，采用的正是这种思路：计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了。
这种“化乘除为加减”，进而达到简化计算的思路，正是对数运算的典型特征。虽然这里只使用了2的幂次，但这是一个开始。有了第一步就会有后来的不断发展。借助于几何的说明，纳皮尔不断地将乘除法转变成加减法，不断地把复杂的计算转化成简单的计算。
经过多年的探索，纳皮尔于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点。
对数可以大大地缩短人们的计算时间。法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”。即使在现代数学中，对数函数也是一种重要的数学工具。纳皮尔作为当之无愧的“对数缔造者”，将永留数学史册。
蜘蛛的贡献
关于蜘蛛的伟大贡献，传说中有这么一个故事：
有一天，笛卡尔（Reile Descartes，1596-1650，法国哲学家、数学家、物理学家）生病了。他身体躺在床上，头脑却一直没有休息。他在反复思考着一个问题：几何图形是直观的，而代数方程式则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程式呢？关键是如何把组成几何图形的点和满足方程式的每一组“数”挂上钩。他使劲琢磨着：通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来呢？
突然，笛卡尔看见了一只蜘蛛。蜘蛛从屋顶角上拉着丝垂了下来，一会儿又顺着丝爬了上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”，使他豁然开朗。
笛卡尔想，可以把蜘蛛看成一个点。它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？
他又想，屋子里相邻的两面墙与地面相交有三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把相交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？
反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如（3，2，1），也可以用空间中的一个点来表示。同样地，用一组数（a，b）也可以表示平面上的一个点；平面上的一个点也可以用一组两个有顺序的数来表示。于是，在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。
这个有趣的传说无论可靠性如何，它都说明笛卡尔在创建直角坐标系的过程中，很可能是受到周围一些事物的启发，触发了灵感。
笛卡尔在创建直角坐标系的基础上，创造了使用代数方法来研究几何的数学分支：解析几何。他的设想是：只要把几何图形看成是动点的运动轨迹，就可以把几何图形看成是由具有某种共同特性的点组成的图形。
比如，我们把圆看成是一个动点对定点0作等距离运动的轨迹，也可以把圆看成是由无数到定点0的距离相等的点组成的。我们把点看成是形成图形的基本元素，把数看成是组成方程式的基本元素，只要把点和数挂上钩，就可以把几何和代数挂上钩。直角坐标系的创建，给代数和几何架起了一座桥梁。它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达。这样便可将先进的代数方法应用于几何学的研究中。
把图形看成点的运动轨迹，这个想法很重要。它从指导思想上，改变了传统的几何方法。笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明。
坐标方法在日常生活中用得也很多。例如中国象棋、国际象棋中棋子的定位；电影院、剧院、体育馆的看台、火车车厢的座位及高层建筑的房间编号等都用到坐标的概念。随着人们知识的不断深入，坐标方法的应用会更加广泛。
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