第1章 有限差分正演基础
　　地震波方程的离散化必会涉及地震波场的数值逼近问题。地震波场的数值模拟精度，一方面依赖于剖分网格的形状和大小，另一方面取决于离散波场的时间微分和空间微分的逼近误差。
　　1.1 规则网格高阶精度有限差分系数计算公式
　　1.1.1 一阶导数的2L阶精度差分公式
　　任意2L阶精度中心有限差分系数计算公式推导如下：设有2L+1阶导数，则在处的2L+1阶泰勒展开式为
　　(1-1)
　　又有
　　(1-2)
　　由于一阶导数2L阶精度中心差分近似式可表示为
　　(1-3)
　　将L个方程代入、化简，有
　　(1-4)
　　式中，差分系数由以下方程确定：
　　(1-5)
　　解系数方程[式(1-5)]可得
　　(1-6)
　　由式(1-6)可以得到一阶导数不同差分精度的差分权系数(表1-1)。
　　表1-1 一阶导数对应于各阶精度的差分权系数值
　　中心差分近似的截断误差系数为
　　(1-7)
　　中心差分近似的极限，即时，有
　　(1-8)
　　于是有
　　(1-9)
　　式中，一阶导数的中心差分算子长度为2L。
　　1.1.2 二阶导数的各阶精度差分公式
　　在此仅对关于x的空间微商进行讨论，并假设差商具有的截断误差为，L是大于1的数。
　　(1-10)
　　(1-11)
　　(1-12a1)
　　(1-12a2)
　　(1-12aL)
　　令
　　(1-13)
　　由式(1-12a1)～式(1-12aL)，结合上述规定，可得如下方程组：
　　(1-14)
　　求解此线性方程组即可得到，我们仅需a1即得，因此存在下式：
　　(1-15)
　　由此，得到规则网格二阶导数各阶精度的权系数值(表1-2)。
　　表1-2 规则网格二阶导数对应于各阶精度的权系数值
　　1.1.3 混合偏导数的各阶差分格式
　　空间混合偏导数可以首先沿一个方向(如x)求取偏导数，再对其结果沿另一个方向(如z)求取偏导数得到。若函数u(x， z)的某阶混合偏导数连续，则该导数的结果与求导顺序无关。以二阶混合偏导数为例，可以写成
　　(1-16)
　　式中，、为一阶导数对应的权系数值(同表1-1)，显然满足
　　(1-17)
　　1.2 交错网格任意2L阶精度有限差分系数计算公式
　　在交错网格技术中，变量的导数是在相应的变量网格点之间的半程上计算的。为此，可采用式(1-18)计算一阶空间导数。
　　设有阶导数，则在处阶泰勒展开式为
　　(1-18)
　　由于交错网格一阶导数2L阶精度差分近似式可表示为
　　(1-19)
　　将上述L个方程代入、化简，有
　　(1-20)
　　式中，待定系数由以下方程确定：
　　(1-21)
　　由系数方程[式(1-21)]计算可得如下结果。
　　(1)时，。
　　(2)时，；。
　　(3)时，有
　　(1-22)
　　由此可得到交错网格不同差分精度的差分权系数值(表1-3)。
　　表1-3 交错网格一阶导数对应于各阶精度的权系数值
　　1.3 改进差分系数
　　网格频散是有限差分方法离散化求解波动方程产生的固有本质特征，频散会降低模拟结果的分辨率，而差分系数是影响频散效果的重要因素。目前，泰勒(Taylor)系数使用较广泛，此外，Tam和Webb(1993)引入*小二乘思想得到同位网格下线性欧拉方程的DRP(dispersion relation preserving)差分系数；沿用Tam和Webb(1993)的思路，Ye和Bernd(2005)推导了非均匀网格二阶偏导的DRP系数并将其应用到声波数值模拟中；McGarry等(2011)提出交错网格一阶微分的DRC(dispersion reducing coefficients)系数，改善了频散现象。在前人的基础上，雍鹏等(2016)将Taylor级数展开方法与*小二乘思想结合得到新的频散改进差分系数，降低了Taylor系数对空间间距的依赖，使在大网格间距下仍然具有较高的模拟精度，从而节约内存和计算量，并且模型数据越大，该算子的优势越明显。
　　有限差分正演模拟的基本思想就是用M阶差分算子代替波动方程中的偏微分，通过求取波动方程差分形式的数值解来近似偏微分方程的解析解，偏微分的M阶差分形式可以表示为
　　(1-23)
　　可以看出，当差分精度M固定时，式(1-23)的近似精度取决于差分系数及空间间隔。现在广泛采用的是Taylor差分系数，首先对(1-23)式进行傅里叶变换，由欧拉公式得到一个关于波数与的近似式：

目录
前言
第1章 有限差分正演基础 1
1.1 规则网格高阶精度有限差分系数计算公式 1
1.1.1 一阶导数的2L阶精度差分公式 1
1.1.2 二阶导数的各阶精度差分公式 2
1.1.3 混合偏导数的各阶差分格式 5
1.2 交错网格任意2L阶精度有限差分系数计算公式 5
1.3 改进差分系数 6
1.4 震源加载方式 8
参考文献 11
第2章 非均匀各向同性声波、弹性介质数值模拟 12
2.1 声波介质数值模拟 12
2.1.1 均匀介质声波方程规则网格高阶有限差分数值解 12
2.1.2 非均匀介质中声波方程交错网格高阶有限差分数值解 12
2.1.3 数值模拟算例 13
2.2 弹性波方程及其交错网格高阶差分格式 17
2.2.1 一阶速度-应力弹性波方程公式推导 17
2.2.2 交错网格高阶差分格式 19
2.2.3 正演模拟的模型试算 20
2.3 弹性波波场分离 26
2.3.1 方法原理 27
2.3.2 模型试算 29
参考文献 31
第3章 非均匀各向同性黏性介质正演模拟 32
3.1 黏弹性介质的基本理论 32
3.1.1 黏弹性介质的基本特点 32
3.1.2 黏弹性介质中波的传播特点 33
3.1.3 黏弹性介质模型的构建 33
3.1.4 品质因子 35
3.2 黏声介质正演模拟 36
3.2.1 线性黏弹模型基本理论 36
3.2.2 黏声介质常Q拟合 37
3.2.3 黏声介质有限差分正演模拟 38
3.3 黏弹性介质正演模拟 40
3.3.1 黏弹性介质常Q拟合 40
3.3.2 黏弹性介质有限差分正演模拟 42
3.4 黏弹性介质中纵、横波分离的正演模拟 46
3.4.1 基本原理 46
3.4.2 数值模拟 49
第4章 非均匀各向异性介质正演模拟 54
4.1 引言 54
4.2 TTI介质LG有限差分数值模拟 55
4.2.1 LG机制下波动方程的有限差分格式 55
4.2.2 计算实例 56
4.3 TTI介质LG与SSG耦合有限差分数值模拟 59
4.3.1 SSGS与LS耦合机制下波动方程的有限差分格式 59
4.3.2 计算实例 67
参考文献 70
第5章 时空双变网格策略 71
5.1 引言 71
5.2 时空双变基本原理 72
5.2.1 速度场的多尺度网格离散策略 72
5.2.2 弹性波波动方程的离散化 73
5.2.3 局部时间采样变化（LVTS)思想 77
5.3 典型模型试算 80
5.3.1 复杂模型 80
5.3.2 低降速带模型 84
5.3.3 小结 85
5.4 双变网格优化 86
5.4.1 压制虚假反射——Lanczos滤波 86
5.4.2 分块变网格原理 91
5.4.3 多级变网格原理 92
5.4.4 小结 94
参考文献 95
第6章 起伏地表正演模拟 96
6.1 常规有限差分弹性波起伏地表正演 96
6.2 坐标变换法弹性波起伏地表正演 104
6.2.1 曲坐标系下速度-应力弹性波波动方程 104
6.2.2 曲坐标系自由边界条件 106
6.2.3 模型试算 108
6.3 基于时空双变网格的起伏地表变坐标系正演模拟方法 109
6.3.1 原理 109
6.3.2 模型试算 111
6.4 分层坐标变换弹性波正演模拟方法 117
6.4.1 原理 117
6.4.2 模型试算 120
6.5 贴体网格起伏地表正演模拟 125
6.5.1 贴体网格 125
6.5.2 二维正交曲网格的生成 127
6.5.3 数值模拟 136
参考文献 138
第7章 高斯束正演模拟 139
7.1 高斯射线束正演方法理论推导 139
7.1.1 二维高斯射线束表达式 139
7.1.2 运动学射线追踪 141
7.1.3 动力学射线追踪 144
7.1.4 高斯射线束合成地震记录 145
7.1.5 二维均匀介质线性界面高斯射线束合成记录各参数求取 148
7.2 高斯射线束算法实现及实例分析 160
7.2.1 高斯射线束算法实现 160
7.2.2 模型实例分析 161
7.3 三维起伏地表的高斯束正演模拟方法 170
7.3.1 三维起伏地表高斯束正演模拟原理 171
7.3.2 数值算例 175
7.3.3 结论和讨论 178
7.4 基于投影菲涅耳波带的三维起伏地表高斯束正演模拟方法 178
7.4.1 三维高斯束正演模拟原理 179
7.4.2 数值算例 183
7.4.3 结论及讨论 187
参考文献 187
第8章 边界条件的设置 189
8.1 衰减边界条件 189
8.2 完全匹配层边界条件 190
8.2.1 PML边界条件的基本思想 190
8.2.2 PML边界条件的基本原理 190
8.3 卷积完全匹配层边界条件 193
8.4 多轴完全匹配层边界条件 194
8.5 多轴卷积完全匹配层边界条件 195
8.6 模型试算与应用 196
参考文献 203