第1章 期权定价及隐含信息研究综述
1.1 期权定价模型的相关研究
近年来，随着我国资本市场的迅速发展，国际化与市场化进程的加快，金融机构对于精细化风险管理工具的需求大幅增加。各类衍生产品得到快速发展，产品类型不断丰富，规模持续增加。股票期权作为一种风险管理的工具，其非线性特征允许投资者自由地选择风险敞口，并转移不愿承担的风险。由于期权灵活的合约设计，拥有更多信息的投资者会选择期权市场进行交易。期权交易价格形成的隐含信息具有更高的信息质量。因此探究这些隐含信息能否预测未来的收益率，进而改善投资组合的选择具有重要的现实意义。
所以，本书关注的重点不是期权理论价格，相反，我们把市场交易价格作为给定的变量，然后从中提取有价值的隐含信息。简要回顾期权定价模型，主要是帮助我们建立理论和实证的桥梁。
对期权定价问题的研究可追溯到1973年，Black 和Scholes（1973）在有效市场理论基础上，首次采用几何布朗运动来刻画期权标的价格变化情况。通过无套利的复制方法，得到经典的Black-Scholes期权定价模型（以下简称B-S模型）。B-S模型的创新之处在于欧式期权的价值不再依赖于投资者的个人主观偏好，期权的合理价格与投资者的风险偏好无关。此外，B-S模型中变量的易于观察性使得该模型的使用非常方便。由于其推导过程的严密性、形式的优美性及计算的简单性，该模型被广泛地应用到实践中。除此之外，B-S模型还被广泛应用于其他金融衍生产品的定价问题中，如备兑权证、可转换债券、信用违约债券等。期权定价存在解析形式，以欧式看涨期权为例，看涨期权的价格可以表示为
（1.1）
其中， 。
可以说，B-S模型奠定了期权定价研究的基石，此后被学者们广泛应用到其他金融衍生产品的定价中，如可转债和信用违约债等。有效市场理论认为，金融市场的信息是充分披露的，即金融市场的每位投资者都可以掌握完全对称的信息，并且每位投资者都可以根据自己所掌握的信息迅速作出正确的投资决策，更为重要的是，该理论认为金融资产的价格能够反映市场上的所有信息。随着研究的不断深入，学者们发现现实金融市场中存在一些现象，有效市场却无法给出合理的解释。例如，金融资产价格的时间序列存在着显著的相关性；金融资产价格的对数收益率的分布呈现出“尖峰厚尾”的特征。除此之外，B-S模型中标的资产价格服从几何布朗运动、常数波动率、标的股票无股息配发和不存在交易费用等假设条件也明显不符合现实金融市场的实际情况，这导致利用B-S模型计算出来的期权价格与实际期权的市场价格存在差距，削弱其定价的效率、精度和适用性。因此，众多学者试图“放松”B-S模型的假设条件，寻求更加贴近市场真实条件的期权定价模型，并取得许多优秀的成果，这些研究具体表现在以下几个方面。
1. 对标的资产价格行为模式的改进
采用何种随机过程来刻画金融资产价格的变化是金融工程的重点问题。众多的研究主要集中在以下两个方面—分形随机过程和跳跃扩散过程，下面分别对其进行介绍。
1）分形随机过程下的期权定价研究
传统的有效市场假说假设期权标的资产的价格变化服从几何布朗运动，标的资产价格的对数收益率服从正态分布。然而，近年来对金融市场的大量研究表明，金融资产的对数收益率并非服从正态分布，而是服从一种“尖峰厚尾”的分布（谭政勋和张欠，2016；Mensi et al.，2019），而且金融资产价格之间也并非随机游走，而是存在显著的长期记忆性和自相似性等分形特征（Nguyen et al.，2019）。Peters（1989）提出的分形市场理论认为金融投资系统是一个错综复杂的系统，信息披露的不完全使得大多数投资者不能得到投资所需的全部信息，金融市场披露的信息除了影响投资者当前的决策外，还影响投资者未来的投资决策，这使得金融资产价格的变化存在着一定程度的长记忆性。此外，投资期限不同的投资者承担着相同的投资风险，这使不同投资期限上的收益率具有相似的频率分布，即投资者在时间尺度上具有自相似性，更为重要的是，分形市场理论认为金融资产价格的对数收益率分布具有“尖峰厚尾”等特征。
鉴于此，学者们基于分形市场理论对期权定价问题进行研究。分数布朗运动具有的加法不变性、长记忆性、自相似性等性质，使得分数布朗运动成为刻画金融资产价格变化过程的良好工具。Mandelbrot（1997）首次采用分数布朗运动来刻画金融资产价格的动态变化，构建分数布朗运动下的期权定价模型。由于分数布朗运动不是半鞅，直接采用分数布朗运动对金融资产价格进行建模将会产生套利机会（Cheridito，2001）。为了消除分数布朗运动产生套利的不足，Duncan等（2000）建立了关于分数布朗运动的Wick-Ito积分，在该积分下，Hu和ksendal（2003）、Necula（2008）、Elliott和van der Hoek（2008）及Elliott等（2009）分析分数布朗运动环境下的期权市场，并且给出分数布朗运动下的期权定价公式。Bjrk和Hult（2005）的研究表明以上学者对自融资概念的定义不能对金融市场作出合理的解释，并以此说明标的资产价格服从分数布朗运动的期权合约，不能采用无套利定价理论对其进行定价。Tudor（2007）首次提出次分数布朗运动的定义，次分数布朗运动是比分数布朗运动更为一般的高斯过程，除具有分数布朗运动的优良性质外，次分数布朗运动的收敛速度比分数布朗运动更快，特别是当赫斯特指数H∈（3/4，1）时，次分数布朗运动是一个半鞅，因此采用次分数布朗运动刻画金融资产价格的变化不会产生套利机会，并且次分数布朗运动模型可以解释金融资产价格波动具有的非线性、自相似性和长记忆性等有效市场理论无法解释的现象，所以当采用次分数布朗运动对金融资产价格的变动进行建模时，将会比几何布朗运动和分数布朗运动更加准确地刻画金融市场的真实特征。Necula（2008）、Rao（2017）及Xu和Zhou（2019）都研究了次分数布朗运动下金融衍生产品的定价问题。
张卫国等（2008）、孙玉东等（2012）、黄文礼和李胜宏（2011）、刘善存等（2011）也对分数布朗运动视角下的金融衍生产品的定价问题进行了研究。张卫国和肖炜麟（2013）、徐峰（2017）亦采用次分数布朗运动来刻画金融资产价格的动态变化情况，研究次分数布朗运动模型下的金融衍生产品的定价问题。其中，张卫国和肖炜麟（2013）研究次分数布朗运动视角下有关备兑权证的定价问题，徐峰（2017）研究次分数布朗运动模型下的广义交换期权的定价问题。研究结果均表明，次分数布朗运动可以消除分数布朗运动产生套利的不足，并且次分数布朗运动视角下的定价模型比分数布朗运动视角下的定价模型具有更高的精确度。郭精军和程志勇（2018）、程志勇等（2018）研究次分数布朗运动下支付红利的期权定价问题，他们的研究表明，当我们考虑标的股票支付红利对期权定价结果的影响时，只需要根据标的股票配发股息的大小将资产价格的收益率进行调整，就可以推导出支付红利的期权定价模型。
2）跳跃扩散过程下的期权定价研究
跳跃与波动率不同，波动率是刻画股票价格的长期平均偏差，而跳跃则是刻画股票价格在每一个瞬间都有可能严重偏离原来价格水平的现象，一旦这种跳跃发生后，股票价格又会回到原先的价格水平上，波动率是一种必然现象，而跳跃则是一种偶然现象。跳跃扩散过程是普通的（路径连续的）扩散过程和一个在随机时刻发生跳跃的（跳跃的幅度也是随机的）跳跃过程的结合，显然这种变化过程比单一的几何布朗运动、分数布朗运动及次分数布朗运动更能反映金融市场中资产价格的现实变化路径，对应的模型可以认为是考虑资产价格有不连续跳跃时对经典的B-S模型的推广。
Merton（1976）认为如果在股票价格的变化过程中的跳跃成分与整个市场无关，就属于可分散的风险，该部分风险不应该获得期望收益，故Merton利用几何布朗运动来描述由系统风险造成的资产价格的变动，采用泊松随机过程来描述产生非系统性风险的偶然的资产价格的跳跃，并且假定资产价格的跳跃幅度服从正态分布，通过求解随机微分方程可以得到期权的定价公式，这使得期权定价理论得到突破性的进展。随后，大量学者讨论跳跃扩散过程下的期权定价问题，如Lewis（2001）研究指数Lévy过程下的期权定价问题；Bakshi等（2008）将傅里叶变换引入指数Lévy过程中，研究傅里叶变换下的期权定价问题；Cai和Kou（2011）研究混合指数跳跃扩散模型下的期权定价问题，得到欧式期权价格满足的解析解。国内学者也对跳跃扩散模型下的期权定价问题进行研究，如杨智元和陈浪南（2001）、陈浪南和孙坚强（2010）研究跳跃模型下指数期权的定价问题；张利花等（2010）研究跳跃扩散模型下美式回望期权的定价问题；韩响楠和何春雄（2010）研究带跳跃成分的亚式期权的定价问题；巢文和邹辉文（2017）研究双指数跳跃扩散模型下的长寿债券定价问题；宫晓莉等（2018）研究广义双指数分布跳跃扩散模型下股指期货的定价问题。
2. 对常数无风险利率的改进
关于随机利率的期权定价模型已有学者进行了大量的研究，对随机利率的研究可以追溯到1973年，Merton认为利率具有显著的随机波动特征，故对B-S模型中利率是常数的假定进行改进，研究随机利率模型下的期权定价问题，但是该研究对利率的设定并不能完全刻画利率具有的非负和均值回复等特性，故Vasicek（1977）在B-S模型的基础上，提出采用几何布朗运动来刻画短期利率，得到债券价格的定价公式。Vasicek（1977）的短期利率定价模型可以表述为
（1.2）
其中， 为t时刻的利率； 为利率调整速度； 为波动率； 为长期回复均值； 为标准的布朗运动； 、 、 均为正的常数。
随后，Biger和Hull（1983）、Grabbe（1983）及Amin和Jarrow（1992）都研究了随机利率下的期权定价问题。Hilliard和Schwartz（1997）的研究结果表明随机利率模型比固定利率模型的定价效果要精确得多。Amin和Bodurtha（1995）发现随机利率模型中的参数对期权定价模型的定价效果有重要的影响。国内学者陈超等（2000）、张曙光等（2006）、孔文涛和张卫国（2012）都对随机利率模型的期权定价问题进行了深入的研究。
赵晶等（2015）基于中国和美国市场的月度国债收益率数据对上述利率期限结构模型的实证研究表明，这些模型在刻画利率期限结构的特征时存在较强的数据依赖性和能力不足的情况，如果直接采用这些模型对无风险利率进行建模将会使期权定价模型的稳健性遭到质疑。此外，鉴于无风险利率的变动主要影响期权的内在价值，而对期权时间价值的影响十分有限，故在欧美等证券市场发达的国家，学者们普遍采用短期国债利率或即期的长期国债利率作为无风险利率的替代。在本书中，我们采用一年期国债利率作为无风险利率的替代，不再考虑利率的期限结构问题。
3. 对常数波动率的改进
随机利率模型研究影响期权标的资产价格变动的外部变量，而随机波动率模型则研究期权标的资产自身波动的随机现象。此外，将期权合约的市场价格代入B-S模型中反解出的隐含波动率不是常数，具有波动率微笑的现象，这就在一定程度上暴露了B-S模型的缺点，即该模型不能反映出金融市场上期权价格波动率的变动，因此众多学者对随机波动率模型下的期权定价问题进行探究。随机波动率模型就是研究当波动率不是常数（可以为一个确定的函数，也可以为一个随机过程）时的期权价格。当波动率仅仅是股票价格和时间的确定性函数时，称该类模型为确定性波动率模型，如Cox和Ross（1976）提出的不变方差弹性（constant elasticity of variance，CEV）模型（以下简称CEV模型）及Dupire（1994）等提出的隐含波动率确
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