专栏3 到底转了几周
两个圆环，半径分别是1 厘米和2 厘米，小圆在大圆内部绕大圆圆周滚动1 周，问小圆自身转了几周？如果在大圆的外部，小圆自身要转几周呢？
因为大圆的半径是小圆半径的2 倍，所以根据圆的周长计算公式：
周长＝ π× 直径
所以，大圆的周长是小圆周长的2 倍。
因此我们得到这样一个结论：
无论小圆是在大圆内部沿着大圆圆周滚动还是在外部沿着大圆圆周滚动，都是滚动了小圆自身周长2 倍的距离。所以我们得出小圆自身转动了2 圈。
事实真的是这样吗？
如果把大圆看成一条线，把它剪断并拉直。那么小圆绕大圆圆周转1 周，不论是从内部还是外部都会变成从直线的一头滚至另一头。这时候直线长就是大圆的周长，是小圆周长的2 倍。在种假设的条件下，小圆要滚动2 圈。
但是当小圆不是沿直线而是沿大圆滚动，小圆在滚动的同时还会有一个动作，这个动作叫作自转。
当小圆沿大圆滚动时，小圆自身会随着滚动做自转。当小圆滚动1 周回到出发点时，小圆正好自转1 周。当小圆在大圆内部按顺时针方向滚动时，小圆自转的方向与绕大圆滚动的方向相反，所以小圆自身转了1 周。
当小圆在大圆外部按顺时针方向滚动时，小圆自转的方向与绕大圆滚动的方向相同，所以小圆自身转了3 周。
Q28 快递怎么才省钱
某一网店有3种商品，质量分别是230g、270g、290g。快递包邮的限额是3kg（如果超出3000g，就要额外付昂贵的运费）。现忽略包装的重量， 问如何选择3种商品的比例才能让总质量刚好是3kg？
参考答案
这个题目的解答，如果给出足够多的时间，我们用穷举的方法，是完全可以找到一个正确答案的。但是那就不叫解题了，那叫“凑”。
这个题目有没有解法呢？
我们先来做一个分析：
我们按最轻的商品来计算，3000g最多可以有：3000÷230=13…10，即13件。
再按最重的商品来计算，3000g最多可以有：3000÷290=10…100，即10件。
因此，可以得出一个结论：商品的总数最小为10件，最大为13件。
有了这个限制条件，我们来列一个方程组，假设三种商品的数量分别为x、y、z，则有：
230x+270y+290z=3000
x+y+z=S
将S=10、S=11、S=12、S=13分别代入上面的方程组，然后求解。
最后得到一组x、y、z的值均为正整数的解，便是此题的答案。
答案：230g的商品数量为7件，270g的商品数量为3件，290g的商品数量为2件。
Q29 谁是前三
有25位运动员参加100米跑步比赛，现场只有5条跑道。假定运动员每次跑出的成绩都是稳定的，问最少要比几轮才能决出冠军、亚军和季军？
（我们没有可以用来计时的秒表。）
参考答案
这个题目听起来很简单。
5条跑道，每次可以让5个运动员为一组参加比赛，决出第一名。5轮后可以得到5个小组第一名。
5个小组第一名再比一轮，决出冠军、亚军、季军。但事实真的是这样吗？
首先，我们来想想男足世界杯的比赛是如何进行的。一般是32支球队分8个小组，每个小组4支球队。小组赛淘汰2支球队，另外2支进入后面的比赛（1/8决赛）。为什么小组赛不是直接淘汰掉3支球队，让成绩最好的一支球队直接进入1/4决赛呢？
原因很简单：这个小组的第二名的水平很有可能比另一个小组的第一名的成绩还要好。
同样的道理，在5人小组赛中的第二名有可能比另外小组的第一名的成绩还要好。所以，直接用5个小组第一名来决出前3名是不科学的。
那怎么办呢？是不是要5个小组第二名再比第七轮？
似乎是没有意义的，因为我们无法去比较第七轮的第一名的成绩应该处在第六轮的哪个位置。
那怎么比？
为了更好地说明，我们假定把25个运动员分为5个小组，编号分别是：
第一小组A1、A2、A3、A4、A5。
第二小组B1、B2、B3、B4、B5。
第三小组C1、C2、C3、C4、C5。
第四小组D1、D2、D3、D4、D5。
第五小组E1、E2、E3、E4、E5。
我们假定前5轮小组赛结束后，5个小组第一名分别是：A1、B1、C1、D1、E1。
第六轮：让5个“小组第一名”进行比赛。
后，仍然假定比赛结果：前3名依次是：A1、B1、C1。好，问题来了。下一轮怎么比？
我们来进行倒推法，先把没有必要参加比赛的运动员淘汰：
C1目前暂时名列第三，并是C组的小组第一名。因此C组其他运动员不可能进入总排名的前三，可以淘汰。
B1目前暂时名列第二，并且是B组的小组第一名，因此B组的第三名及其以后的运动员不可能进入总排名的前三，可以淘汰。但B组的小组
第二名（假定是B2）有可能成绩好于C1，需要再次进行比赛。
A1目前名列第一，同时又是A组的小组第一名。因为已经是确认的冠军了。但A组的小组第二名（假定是A2）、小组第三名（假定是A3）成绩有可能好于B1，需要再次进行比赛。
因此第七轮比赛的阵容出来了：A2、A3、B1、B2、C1。冠军已经确定是A1。
第七轮比赛的前两名分别是亚军和季军。
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