第1章质点动力学
　　1687年，牛顿在他的《自然哲学的数学原理》中提出了著名的力学三大定律。本章介绍单个质点的动力学。
　　1.1牛顿动力学方程
　　物质的运动离不开时间和空间。时间是人类用以描述物质运动过程的一个参数。空间是物质存在和运动的场所。牛顿三大定律给出了宏观低速物体机械运动所遵循的基本规律，其内容如下：
　　第一定律　任何一个物体在不受到其他物体的作用时，总是保持静止状态或匀速直线运动状态。
　　第二定律　物体的加速度和物体所受的合外力成正比，和物体的质量成反比，加速度的方向和合外力的方向相同。
　　第三定律　两个物体之间的作用力和反作用力，总是同时在同一条直线上，且大小相等，方向相反。
　　在以上三个定律中我们提到了力和质量的概念，它们的定义分别是：
　　（1）物体之间相互作用叫作力。当物体受其他物体的作用后，能使物体获得加速度（速度或动量发生变化）的都称为力。
　　（2）质量是物体惯性大小的量度，其定义详见文献[1]。严格地讲，此处的质量叫作惯性质量。
　　如果代表作用在质点上的外力，m表示质点的质量和分别代表位移，速度和加速度，则牛顿第二定律可以表示成
　　（1.1）
　　上式给出了质量、角速度和外力之间的关系，即质点的加速度和作用力F成正比，与质量成反比。一般情况下，力可以是坐标，速度和时间t的函数。一个质点的状态可以由来描述。
　　牛顿：英国物理学家、天文学家和数学家。牛顿在1676年首次公布他发明的二项式展开定理。1687年他完成《自然哲学的数学原理》巨作，提出牛顿三大定律。牛顿与莱布尼茨独立发展出微积分。牛顿也是光的微粒说的提出者，并于1704年完成著作《光学》。
　　1.2动量、角动量和能量
　　在这一节中，我们介绍力学中的基本物理量：量、角动量和能量等概念。
　　1.2.1动量与冲量
　　质点的动量定义为
　　（1.2）
　　根据牛顿第二定律式（1.1）可得
　　（1.3）
　　这就是动量定理，表示动量对时间的导数等于力。我们首先注意到上面公式比式（1.1）更一般。这里的质量可以依赖时间。
　　方程（1.3）可以写成微分形式
　　（1.4）
　　对上式两边从时间t1到t2积分可得（p1和p2分别是t1和t2时刻的动量）
　　（1.5）
　　上式的右边是一个力对时间的积分，叫作力F的冲量。我们注意到冲量也是一个矢量。式（1.5）的左边表示两个不同时刻的动量差，表明质点动量的变化等于冲量，这就是冲量定理。如果F=0，则在t1和t2时刻的动量相等（p2=p1），即动量守恒。
　　我们可以看出，冲量是一个过程量，表述了对质点作用一段时间的累积效果，而动量则是一个对质点某个时刻的描述量，是一个状态量，描述质点的平动状态。一个质点的状态可以由来描述，是六维空间中的一个点。这样的空间叫作相空间。
　　1.2.2角动量与力矩
　　对于任一矢量，它相对于空间中的一点具有一定的矢量矩，比如说我们最常见的力矩。质点的位移r和动量为p的叉乘，就是质点对坐标原点的角动量，又称为动量矩。利用矢量分析公式
　　（1.6）
　　我们有
　　（1.7）
　　这里我们利用了式（1.3）及从式（1.7）可知：质点角动量的变化率等于质点所受到力矩。这就是角动量定理。如果力矩，则，即角动量守恒。
　　方程（1.7）可以写成微分形式
　　（1.8）
　　对上式两边从时间t1到t2积分可得
　　（1.9）
　　上式的右边是一个力矩对时间的积分，也可以叫作力矩M的角冲量。
　　1.2.3能量与功
　　力学中的能量主要分为动能、势能和机械能，下面分别介绍。
　　1.动能
　　首先来看质点的动能，其定义为
　　（1.10）
　　由式（1.2），它也可以写成动量的函数，具体形式为
　　（1.11）
　　在上式中我们看到动能是一个标量。对式（1.10）两边同时对时间求导，并利用牛顿第二定律，可得（假设质量随时间不变）
　　（1.12）
　　上面推导利用矢量分析公式
　　（1.13）
　　方程（1.12）两边同时乘以时间的微分dt得
　　（1.14）
　　其中是力对质点所做的元功，通常记为。如果质点从位置r1运动到r2，则该力对质点做的总功为
　　（1.15）
　　结合式（1.14）和（1.15），通过积分可得
　　（1.16）
　　根据以上分析可以看到，力对物体所做的功等于动能的增加，此即动能定理。
　　2.势能
　　下面来介绍势能。首先复习一下梯度和旋度的定义。矢量算符r（nabla）定义为
　　（1.17）
　　其中，e1，e2，e3分别为沿x，y，z方向的三个正交的单位矢量，且是三个偏导数。我们还利用了Einstein求和约定：当指标出现两次，默认对指标求和。这个矢量算符将一个标量变成一个矢量。
　　下面介绍两个指标的克罗内克（Kronecker）符号δ（delta）和三个指标的Levi-Civita符号。克罗内克符号定义为
　　（1.18）
　　形式上看δ为单位矩阵。我们所考虑的坐标轴都是互相垂直的，三个单位矢量具有正交归一性，即
　　（1.19）
　　三个指标的Levi-Civita符号在理论物理中经常出现，其定义为
　　（1.20）
　　123，312，231叫作偶置换；132，321，213叫作奇置换。可参考群论中置换群的定义。容易发现满足反对称性质
　　（1.21）　
　　利用这个符号，我们有
　　（1.22）
　　指标k叫作哑指标。利用上式，两个矢量和的叉乘可以写成
　　（1.23）
　　我们现在回忆一下梯度和旋度的定义。梯度的定义是
　　（1.24）
　　旋度的定义是
　　（1.25）
　　这里我们利用了方程（1.23）。
　　定理　如果，则存在标量V，使得。反之亦成立。
　　证明　（1）必要性：如果，则F的旋度为零。证明如下：
　　其中，为哑指标。在上式推导中，我们利用了方程（1.25），（1.21）和以下对易关系
　　（1.26）
　　其中，对易子[A，B]定义为。例如（2）充分性：根据斯托克斯定理，线积分的计算可以换为面积分，如果力F的旋度为零，则
　　（1.27）
　　即力作用在质点上循环一个回路之后的总功为零。我们得到
　　（1.28）
　　其中，表示起点和终点相同的两条不同路径。上式表明无旋力在任意两点之间所做的功与路径无关，只与两个端点的坐标有关。于是力对质点所做的功表示为
　　（1.29）
　　在上式中第一个等号减去U（0）保证了r=0时等号两边都为零。最后可以得到
　　（1.30）
　　因为路径是任意的，故。假设，那么，证毕。
　　由式（1.29）和，我们还可以得到
　　（1.31）
　　所以只要知道保守力的具体表达式，即可由上式得到势能的表达式。
　　3.机械能
　　机械能是势能和动能之和。对于保守力，由式（1.14）和上面的定理可知
　　（1.32）