复杂性维度视角下多层网络研究进展综述*
方德斌1，余谦2，魏忠俊2
（1. 武汉大学 经济与管理学院，武汉 430072；2. 武汉理工大学 经济学院，武汉 430070）
摘要：在复杂网络的研究中，学者已经注意到传统的复杂网络模型对现实世界进行了高度抽象，舍弃了很多在复杂世界运行中起着重要作用的细节。为探索复杂世界的规律，从不同维度衍生出了多种具有不同复杂属性的多层网络模型。本文尝试从多样性、层次性、动态性、多元性、高阶性等复杂性维度梳理多层网络模型的各种扩展形式，即从结构（节点和链接）的多样性、系统的层次性、网络形成的时间性、网络关系的多元性及节点间关系的间接高阶依赖性等方面对多层网络研究框架进行梳理。*后，给出了统一的多层网络框架，并对未来多层网络构建进行展望。
关键词：复杂网络；多层网络；复杂性维度
1 引言
人类无时无刻不处于众多规模不一且具有强弱相互联系的复杂系统中，小到由数千个分子组成的细胞，大到由数十亿个个体相互作用形成的社会，此外还包括气候、基础设施、经济金融以及创新等诸多领域的复杂系统[1～3]。在网络科学中描述和分析这些复杂系统的有力工具是复杂网络，其产生于图理论的演进过程中，随后在各种复杂性维度上得以发展，并逐渐成为系统科学、复杂性科学和统计物理学研究的焦点。
网络研究起源于数学上对图（graph）的研究。1960年随机图（random graph）理论的提出对网络科学研究产生了较为深远的影响。传统图论模型假设网络中的节点数是固定的且链接是随机分布的。然而，这与1998年发现的小世界网络（small world networks）[4]和1999年发现的无标度网络（scale free networks）[5]等真实网络上节点数可变且遵循优先连接机制相悖。特别地，这两类网络的发现推动了网络科学研究从简单规则网络向复杂网络的转变，标志着复杂网络研究新纪元的到来，并掀起了空前的复杂网络研究浪潮。*初，大多数复杂网络都是通过对复杂系统进行简单抽象得来。将系统表示为普通网络，其中节点表示个体，个体间的联系用静态、未加权的单个链接表示[6]，这种建模方法在过去已被成功用来说明许多真实网络具有高节点中心性[2， 3]、小世界性[4， 7]、无标度性[5]、重尾度分布[5， 8]和模块化结构[9]等特性。随着复杂网络研究的日趋深入，学者也考虑了关联关系的有向性[10]、权重或强度[11]以及在时间维度上的存在性[12]等方面。网络复杂性维度的持续提升不断丰富和完善了复杂网络理论。
近年来，随着网络科学的蓬勃发展，基于高度复杂且彼此作用的现实系统，学者认识到单一网络在很多方面都受到极强的限制[13]。譬如，单一网络同质化对待网络中所有的链接或节点，可能会导致无法完全捕捉到现实生活中的一些细微之处，进而引起对现实世界中某些现象的错误认知[14]。因此，学者基于更高层次的网络复杂性维度在社会学、物理学以及经济学等众多领域开展了多层复杂网络研究并形成了大量的分析工具。下面将梳理多层网络在社会领域中的应用（社交网络、基础设施网络、经济金融网络、创新网络等）和在自然领域中的应用（分子网络、脑网络、生态网络、气候网络等），从而深刻认识多层网络复杂性维度提升的异质性视角。
在社交网络研究中，学者为分析Facebook、Twitter、Youtube等在线社交平台上用户之间的多样性交互及其交互的时间特性[15]，构建了多重网络、多切片时效网络等多层网络。Lancichinetti和Fortunato[16]构建出反映合作关系的多切片时效网络并进行了实证研究。Magnani等[17]构建了奥尔胡斯大学计算机科学系61名员工在线和离线社交互动的多重网络，研究了个体识别重要集群的能力变化。在基础设施网络研究中，学者在分析航空运输、城市交通以及电力系统等方面的交互时，建立了多重网络和相互连接网络。Cardillo等[18]构建了一个由37个不同层组成的欧洲的航空运输网络（air transportation network，ATN），分析了不同机场在欧洲航运交通中的作用，并用于设计和建立新的航班链接和经济伙伴关系。De Domenico等[19]构建了伦敦地铁、公共汽车和码头区轻轨三层多重交通网络，描述了多重网络中的扩散现象并揭示了扩散模式的新特征。Brummitt等[20]分析了美国西部、东部和得克萨斯州三个地区电网之间的相互作用，并估计了它们的*佳互连水平。
在经济与金融网络研究中，学者为研究不同商品贸易和银行间信用风险传播而构建了多重网络。Barigozzi等[21]分析了世界各国之间特定商品贸易的多重贸易网络（multiplex trade network）的拓扑结构性质。Bargigli等[22， 23]基于意大利2008～2012年银行间市场数据建立了相应的多重网络，分析了银行间信用风险传播问题。在创新网络研究中，学者基于双层耦合网络和超网络模型分析了创新扩散问题。Yu等[24]将创新扩散中个体的行为区分为信息感知和决策两个过程，构建了“信息—行为”双层网络模型，研究了双层网络上的创新扩散行为。Wang等[25]使用科学论文合作关系构建了改进的知识扩散超网络（improved knowledge diffusion hypernetwork，IKDH）模型，研究了创新扩散的影响因素。Brennecke和Rank[26]构建了知识网络与建议网络耦合的双层网络，借助多水平随机指数图模型（multilevel exponential random graph model，mERGM）分析了研究人员之间建议关系的影响因素。
在分子网络研究中，学者为发现癌症驱动基因、基因表达作用以及物种间蛋白质共存模块而构建了多层网络。Cantini等[27]专注于胃、肺、胰腺和结肠直肠等肿瘤组织，提出一种新的基于多层网络的策略来整合不同层次的基因组信息，并以协调的方式来识别驱动癌症的基因。Bennett等[28]基于给定基因的激活子和抑制子的调控网络以及共表达网络的三层多重网络，研究基因表达谱之间相关性对衍生群体功能凝聚力的影响。Michoel和Nachtergaele[29]采用多层网络方法发现了不同物种间蛋白质相互作用网络的保存模块。在脑网络研究中，学者基于多重网络探索了脑网络中的特定区域以及脑结构与功能间的关系。Nicosia和Latora[30]在神经元水平上将秀丽隐杆线虫（Caenorhabditis elegans，C. elegans）的脑网络构建为化学单元/多元链接和电链接的三层多重网络，揭示了网络中胺能和神经肽信号调节突触活动的位置。Bullmore和Sporns[31]利用网络理论工具研究了脑功能网络和脑结构网络之间的关系。
在生态网络研究中，学者为分析群落中物种间的营养关系和相互作用而建立了相应多层网络。Kéfi等[32， 33]构建了智利中部潮间带海岸的生态群落的食物网多层网络，研究发现不同层之间存在着很强的联系。Melián等[34]研究了西班牙南部所有植物物种之间互惠性和对抗性的相互作用的生态网络。在气候网络研究中，学者为研究气候的时间演化以及海气耦合模式而建立了多切片时效网络和多重网络。Yamasaki等[35]利用时效网络框架分析气候网络的时间变化，发现世界上具有相同温度记录的不同地理区域的气候网络动力学受到厄尔尼诺（El Ni？o）振荡的显著影响。Feng等[36]基于海温场和高度场的内部及交叉双重相互作用构建海气双层耦合网络，识别出海气相互作用的三维模式。
综上所述，由于探索复杂世界的需要，复杂网络的研究从不同维度衍生出了多种具有不同复杂属性的多层网络模型，并已在众多领域产生了丰硕成果。本文尝试从复杂性维度的视角，梳理多层网络在各方向上的研究进展，以期为构建统一的多层网络分析框架提供启示。
2 复杂性维度下的多层网络类型
在复杂网络的研究中，学者已经注意到传统的复杂网络模型对现实世界进行了高度抽象，舍弃了很多在复杂世界运行中起着重要作用的细节。例如，尚未考虑复杂系统中个体及个体间的关系存在性质差异；复杂系统中也存在着鲜明的层次结构；时间方面也会影响网络模型的构建；复杂系统中个体间的关联关系除二元关系外还会形成于多元之间；复杂系统中个体间具有间接依赖关系等重要方面。因此，在这些方面对多层复杂网络的研究进行了广泛的探索。
由于复杂性所代表的广泛含义在时间的演化过程中不断地改变和丰富，当我们谈到复杂性时，很难给出一个精确的定义。本文仅尝试从多样性、多元性、层次性、动态性、高阶性等复杂性维度梳理多层网络模型的各种扩展形式，即从结构（节点和链接）的多样性、系统的层次性、网络形成的时间性、网络关系的多元性、节点间的间接高阶依赖性等方面梳理多层网络的研究框架。
第一，当仅考虑单层网络中结构（节点及其节点间链接）属性或性质方面的异质性，即存在不同类别的多重结构属性时，可从现有文献中总结归纳出四种主要的多层网络，分别是多路复用网络（multiplex networks，又被称为多重关系网络，multi-relational networks）[37， 38]、多维度网络（multi-dimentional networks）[39]、相互依存网络（interdependent networks）[40， 41]、相互连接网络（interconnected networks，又被称为相互作用网络，interacting networks）[19， 42]。前两种多层网络又被称为边着色的网络（edge-colored networks），而后两种多层网络又被称为点着色的网络（node-colored networks）。一个多路复用网络的典型例子是社会网络，其中不同的层表示不同类型的社会关系（友谊、家庭和同事等）[2， 43]。其他例子包括基因共表达网络和交通运输网络等。在基因共表达网络中，每一层可以表示不同的组织类型或环境[44]。在多路复用运输网络中，如航空网络的每一层包含来自单个航空公司的航线[18]；航运网络中不同层上对应不同类型船只[45]；地面运输网络中每一层包括来自某一运输模式的链接。此外，多维度网络的典型例子为城市交通多维网络，其中节点代表城市，每种交通工具为一个维度，则每个城市可以通过飞机、公共汽车、火车、轮渡或任何其他可用的交通方式与从它出发且能到达的所有其他城市相连[46]。在线社交网络中，人们可能在多个社交平台（如Twitter、Facebook、Wechat等）中创建自己的用户ID，如果整合每个用户的所有ID，则可构建一个多维社交网络，其中任何一对用户都可以通过他们共同所在的一维网络中的友谊关系连接起来。相互依存网络的典型实例是2003年9月28日影响意大利大部分地区的停电事件所涉及的电力网络和互联网网络（一个监督控制和数据采集系统）。这两个网络具有双向依赖性，电站依赖通信节点进行控制，通信节点依赖电站进行供电[40]。相互连接网络的典型例子为城市的交通网络，一层是公交车站网络，另一层是地铁网络或是有轨电车网络，人们利用两者的*优组合路径从城市一个地方到另一个地方[19]。
第二，当考虑单层网络中系统层次方面的异质性时，从当前已有研究中可梳理出多层次网络（multi-level networks，或称为多水平网络）[47， 48]。社会网络中通常存在不同的群体或层次，即存在几类不同类型的节点，如通过成员的性别、年龄结构、组织归属等方面来划分，基于此构建的多层网络称为多层次网络。一个例子是当同时参加工作小组和运动小组的两个人存在某种关系时，我们必须强调这种关系是来自同一工作小组，还是同一运动小组。类似的情况也存在于公共交通系统中，如属于几个交通线路的两个车站之间的链接可以作为不同线路的一部分出现。此外，多层次网络也广泛存在
展开
