第1章 分数阶信号处理的理论基础
在传统信号处理过程中，为了简化数学模型，我们经常假设被分析信号是独立同分布的平稳信号，且信号符合高斯模型。此外，为了简化分析过程，经常假设被分析信号不同时刻的数据点之间没有相关性或只存在短相关性。但是，在实际应用中，我们经常会遇到带有尖峰特性、重尾分布的非高斯信号[1-3]，以及具有长相关或局部相关特性的随机信号[4-8]。而这些特征（重尾分布、长相关、局部相关）的出现给我们的分析带来了困难。例如，复杂现象或复杂信号的产生原因，以及如何处理这些复杂信号以便得到有价值的信息等类似问题一直困扰着研究人员。
“独立同分布”是我们进行随机信号分析时经常用到的一种简化数学模型的假设。根据中心极限定理：只要和式中加项的个数充分多，独立同分布随机变量之和（其中各随机变量的方差存在）的近似分布就可以用正态（高斯）分布来近似。因此高斯模型在信号处理中被广泛应用。类似于方差和相关函数的二阶统计量也被广泛用来分析随机信号。然而，在现实世界中，许多随机信号明显带有尖峰或脉冲特性，如金融数据、通信数据和人体产生的生物信号等，都属于非高斯信号。为了建立这些非高斯信号的模型，人们通过扩展中心极限定理提出了广义中心极限定理[9，10]。广义中心极限定理指出：只要和式中加项的个数充分多，带有幂律递减重尾分布的随机变量之和，其分布便趋向于Alpha稳定分布[9，10]。广义化的高斯模型—Alpha稳定分布模型被广泛应用于非高斯、非平稳随机信号的建模和处理中[11]。
信号处理过程中，另一个经常用到的假设是：随着时间间隔的增大，不同时刻数据点的耦合性迅速衰减，即随机信号是短相关的。基于这种假设，许多短相关随机模型被建立，例如，自回归移动平均（autoregressive moving average，ARMA）模型、自回归条件异方差（autoregressive conditional heteroskedasticity，ARCH）模型等[12，13]。因此，短相关随机模型在随机信号分析、处理中被广泛应用。然而，水文学家Hurst在对尼罗河水位的长期变化分析的过程中发现，水文数据的自协方差函数的递减速度明显慢于指数衰减速度，数据具有明显的长相关特性。为了衡量尼罗河水位数据的长相关特性，Hurst提出了一个不同于传统统计特征（例如，均值和方差等）的重要参数，并设计了一个R/S估计器来估计数据的相关程度[14]。根据Hurst对长相关数据分析的重要贡献，这个用于衡量长相关程度的参数被称为Hurst参数。自此，长相关随机信号的分析得到了广泛关注，许多用于估计Hurst参数的估计器和长相关随机模型相继被提出，例如，分数阶自回归移动平均（fractional autoregressive integrated moving average，FARIMA）模型[15-18]、分数阶广义自回归条件异方差（fractional integrated generalized autoregressive conditional heteroskedasticity，FIGARCH）模型等[19]。这些模型的重要特征在于其捕捉长相关或长记忆特性的能力，因此，这些模型可以很好地描述随机信号的长相关和短相关特性。长相关数据分析已经被大量应用于金融、水文、网络通信等多个领域[4-6]。
长相关理论建立在平稳随机信号或增量平稳随机信号的基础上，因此这种分析技术无法有效地分析非平稳随机信号。1995年，Peltier和Vehel在一个研究报告中提出阶次可变分数阶布朗运动的概念[20]。在报告中，带有常值Hurst参数的长相关随机过程被广义化为带有时变局部H？lder指数的局部记忆随机过程。局部H？lder指数可以捕获随机信号的局部尺度特性，并且可以概括非平稳随机信号的时变特性[5，21]。应用局部相关（局部记忆）理论，带有局部记忆特性的广义化随机过程模型被提出并应用，例如，可变阶次分数阶自回归移动平均模型和可变阶次分数阶广义自回归条件异方差模型等[22]。局部相关理论为非平稳信号提供了一种新的、更为有效的分析与处理技术。
长相关、局部相关和重尾分布的共同特征是“幂律”现象。稳定分布（重尾分布）随机信号的主要特征是幂律递减的概率密度分布函数；长相关随机信号的主要特征是幂律递减的自相关函数，而局部相关随机信号的主要特征是局部幂律递减的自相关函数。另外，幂律现象与分形、自相似等现象紧密相关，因此幂律现象被认为是自然界中复杂现象的一种重要本质特征。例如，噪声的自相关函数呈现幂律衰减，在频域噪声的功率谱同样表现为一种幂律衰减。此外，很多自然现象也表现为幂律形式[23，24]。因此，幂律现象的起源及其潜在的意义成为学者研究的一个热点。
幂律现象是如何产生的呢？学者从分数阶微积分理论中获得了一些重要结论[25，26]。分数阶微积分是用于计算函数的任意阶次积分及微分的数学理论。众所周知，线性整数阶微分方程的解析解是指数函数的线性组合，而线性分数阶微分方程的解析解是呈现幂律递减的Mittag-Leffler方程的线性组合[27-29]。因此，线性分数阶微分方程的解析解大多表现为幂律递减形式。很多具有幂律特征的复杂物理模型可以用分数阶微分方程准确描述，因此分数阶微积分理论被认为是幂律现象的一种合理解释。学者还惊奇地发现，Alpha稳定分布幂律递减的概率密度函数可以表达为分数阶扩散方程的解析解[30，31]。长相关随机信号可以理解为分数阶微分方程描述的分数阶系统输出的随机信号。因此，固定阶次分数阶微积分被广泛应用于幂律递减概率密度分布以及幂律递减自相关函数的随机信号分析[32-35]。
与固定阶次分数阶微积分相比，可变阶次分数阶微积分理论为局部自相似非平稳随机信号提供了更为有效的分析方法。Samko首先提出了可变阶次分数阶微积分的概念[36]，Lorenzo和Hartley进一步讨论了可变阶次分数阶微积分定义，并对其性质进行了研究[37]。由于其对非平稳局部自相似随机信号的准确描述，可变阶次分数阶理论被广泛研究、应用[38，39]。可变阶次分数阶微积分理论是固定阶次分数阶微积分的扩展。在可变阶次分数阶微积分理论发展的基础上，可变阶次分数阶微分方程被大量应用于复杂系统的建模和分析中[40]。并且，可变阶次分数阶微积分在分数阶随机信号的研究中受到越来越多的重视[41]。此外，Caputo提出了分布阶次分数阶微分方程的思想[7]，分布阶次分数阶微分方程是固定阶次分数阶微分方程的另一种广义化形式[42]。分布阶次分数阶理论已经成功应用于复杂非线性系统、网络结构、多谱现象等复杂物理现象的分析研究中[43-47]。尤其，分布阶次分数阶微积分理论在信号处理应用方面的巨大潜力正逐步显现。
幂律递减的概率密度分布、幂律递减的自相关函数和局部幂律递减的自相关函数等特征并不总是独立出现的。一些随机信号不仅具有幂律递减的概率密度函数，同时还具有幂律递减的自相关函数，此外，还有一些随机信号同时呈现出幂律递减的概率密度函数以及局部幂律递减的自相关函数。本书将这类随机信号统称为分数阶随机信号。这些分数阶随机信号具有特殊的性质，因此我们很难准确估计这类随机过程的统计特性，并从中获取有价值的信息。而分数阶微积分、Alpha稳定分布和分数阶傅里叶变换等理论为这些随机信号的分析提供了重要的理论基础。本书着重研究用于分析分数阶随机信号的处理方法，包括分数阶信号合成、分数阶系统物理实现、分数阶滤波器和*优分数阶阻尼器实现技术。
分数阶信号处理技术是在整数阶随机过程和整数阶信号处理技术的基础上发展起来的，并且随着分数阶微积分的提出而出现并逐步发展。早在1695年Bernoulli写给Leibnitz的信中就提出了将微分阶次从整数推广到分数的问题。这也使人们首次认识到可以利用分数阶微分方程描述复杂系统。但当时分数阶微积分仅仅被认为是一种纯粹的数学工具，而没有在其他领域广泛研究。直到19世纪20年代，分数阶微积分才逐渐在其他科学领域中进行研究。同时，Alpha稳定分布的概念由Lévy于1925年在研究广义中心极限定理时提出，分数阶傅里叶变换的概念于1929年被提出[48]。从此，分数阶信号处理技术逐渐发展，*近30年中，分数阶信号处理技术的研究和应用领域迅速扩大。而分数阶信号处理技术中的可变阶次分数阶信号处理技术和分布阶次分数阶信号处理技术是在近些年才兴起的。在我国，分数阶信号处理技术的研究和应用还相对落后，2006年才出版了第一本有关分数阶信号处理的学术专著[35]，但内容仅仅局限于固定阶次分数阶信号处理技术。在我国，可变阶次分数阶信号处理技术和分布阶次分数阶信号处理技术还很少有学者涉足。本书为了填补国内可变阶次分数阶信号处理技术和分布阶次分数阶信号处理技术的空缺，对可变阶次分数阶信号合成、可变阶次分数阶系统实现，以及分布阶次分数阶滤波器进行了深入研究。
本书主要的研究内容包括分数阶随机信号、分数阶信号处理技术及其应用。分数阶随机信号的主要特征是重尾（长拖尾）分布、幂律递减的自相关函数，以及局部幂律递减的自相关函数。重尾数据分析、处理的主要理论基础是Alpha稳定分布，而分数阶微积分是长相关和局部相关分析工具的重要理论基础。分数阶微积分可以划分为固定阶次分数阶微积分、可变阶次分数阶微积分和分布阶次分数阶微积分。另外，分数阶傅里叶变换理论也为长记忆随机序列提供了有效的分析方法。书中所有分数阶信号处理技术都是基于上述三个基础理论的，即分数阶微积分、Alpha稳定分布和分数阶傅里叶变换理论。分数阶信号处理技术为分数阶随机信号提供了有效的分析方法。
1.1 分数阶微积分
分数阶微积分是一门用于计算函数的任意实数或复数阶次微分和积分的数学学科[49-52]。分数阶微积分的出现已经有300多年的历史，然而，分数阶微积分由于缺少明确的物理意义且应用前景不明朗而发展缓慢，直到1974年以后，由于在应用数学、材料力学、生物物理学等方面的研究和应用，分数阶微积分才被人们重视，20世纪90年代，分数阶微积分作为分形几何和分数维动力学的基础与有力工具才获得了飞跃发展并在松弛、振荡、控制系统、扩散和输运理论、生物组织、高分子材料的解链、混沌与湍流、随机游走、统计与随机过程、黏弹性力学及非牛顿流体力学、电化学等诸多领域得以应用[49-52]。许多有关分数阶微积分的专著[49-52]对分数阶的数学理论、应用及发展状况进行了详细的介绍。人们逐渐认识到，现实中大量的物理系统可以用分数阶微分方程或包含分数阶微/积分单元的系统更为准确地描述[53，54]。分数阶系统分析和分数阶信号处理技术在金融数据处理、网络流量分析、生物医学信号处理中逐渐被研究并应用[49，50，55-59]。
1.固定阶次分数阶微积分
可积函数的分数阶积分定义为[51]
（1.1）
式中，是Gamma函数；是阶积分；分别是分数阶积分的下限和上限。函数的阶的Riemann-Liouville分数阶微分定义为[51]
（1.2）
式中，代表的整数部分。函数的阶的Caputo分数阶微分定义为[7]
（1.3）
式中，。
2.分布阶次分数阶微积分
Caputo提出了分布阶次分数阶微积分的思想[7]并且讨论了分布阶次分数阶微分方程的解析解[42]。Lorenzo和Hartley探讨了两种类型的分布阶次分数阶微积分定义，即直接型和独立型分布阶次分数阶微积分[37]。简而言之，分布阶次分数阶微积分主要用于处理类似于
（1.4）
形式的运算，式中，是权值。
3.可变阶次分数阶微积分
Samko首先讨论了可变阶次分数阶微积分的概念[36]，随后，Lorenzo和Hartley进一步探讨了可变阶次分数阶算子的性质[37]。可变阶次分数阶微
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