亚当·布兰登勃格(Adam Brandenburger )：纽约大学斯特恩商学院教授。他主要从事博弈论领域的研究，是发展“认知博弈论”的先驱之一。“认知博弈论”是一种研究博弈中的参与者如何对彼此进行推理(包括他们对其他参与者的推理)，并对博弈产生怎样影响的方法。他与哈伯恩·斯图特一起提出了“双形博弈”概念，一种影响博弈中参与者创造价值的数量及其分配的策略模型。他与拜瑞·内勒巴夫的合著《合作竞争》中将这一理念应用于商业战略领域。最近，他又涉足量子信息领域，研究了让参与者获得量子信息而非经典信息资源的博弈论含义。

本书收集了亚当·布兰登勃格及其合作者在25年内撰写的八篇论文。这些论文是重建博弈论项目的一部分，目的是使参与者如何对博弈进行推理成为博弈论的一个核心特征。该项目现在称为认知博弈论，它扩展了博弈模型的经典定义，不仅包括博弈矩阵或博弈树，还包括参与者如何相互推理的描述（包括他们对其他参与者的推理的推理）。通过这个更丰富的数学框架，可以用来确定参与者如何推理博弈进程的含义。认知博弈论将传统的基于均衡的理论视作一种特例，但也考虑了广泛的非均衡行为。

认知性对比于本体性

让我们暂时回归纳什博弈论的发展。如果认知博弈论是用于描述和分析战略情况的广泛语言，那么我们要特别指出，我们应该能够用该语言表达纳什均衡的思想。 第5章试图做到这一点。

以下是一个具体的问题：博弈中在什么样的认知条件下参与者会选择纳什均衡？ 纯策略中有一个容易的答案，而混合策略中有一个更深层次的答案。 纯策略中，答案基本上是原来提及的 --- 每个参与者都知道其他参与者选择的策略。 在认知信念模型中，条件成为：每个参与者对其他参与者的策略选择要有一个正确的信念。也就是说，每个参与者将概率1分配给实际所选择的策略。 当然，每个参与者都是理性的也是条件之一。

这些条件适用于纯策略。他们也可以应用于混合策略的均衡，特别是当我们从经典角度考虑混合策略 - 也就是，在纯策略的随机集合中作选择。但是，这里自然地产生一个认知上的问题：混合战略是否会被滥用，而被视为代表其他参与者对该参与者选择纯粹战略的不确定性？

让我们从物理学中借鉴一些非常有用的术语，特别是在量子力学领域。 从”本体性“的角度来考虑，量子状态是指它描述了一个物理系统的客观现实，而“认知性”的角度来考虑，是指它描述了一个系统观察者的知识状态（见Spekkens [ 2007]）。

那我们又如何从认知性和本体性来考虑混合策略？正如认知博弈论的基础定理中，两个参与者博弈和三个或更多参与者的博弈之间的区别很大。 一个是与之前一样的原因：查理可以认为安和鲍勃的策略选择是独立或相关的。 与之前不同的另一个原因是，两名参与者可以同意或不同意他们分配给第三名参与者选的策略的概率：安和鲍勃可以同意或不同意查理。 为了达到纳什均衡，我们强加了促成独立性和协议的认知条件。对于每一个参与者，我们可以明确地将其他所有参与者对他所选的策略分配的概率分布合并，而且这些概率分布是独立地合并的。在理性上加上适当的认知条件，这些分布被视为混合策略，构成了纳什均衡。

对于均衡认知分析的一个明确的教训是其所涉及的条件是非常有限制性的。 关联和不一致是认知博弈论的普遍情况。 为了达到纳什均衡，我们必须通过找出这样认知条件的方式来排除关联和不一致。

传统博弈和认知博弈论的进行方式截然不同。 传统理论的出发点是所谓的解决方案概念 --- 几乎总是纳什均衡或其许多变体之一。 通常从某种程度上被称为“理性行为”的实例，这些解决方案的概念被用来分析博弈的情况。 在认知博弈论中，起始点更为基础。 理性行为的概念是必须被定义的。 （此外，我们已经看到，一旦认真地定义了，理性本身不会产生纳什均衡。还要有几个额外的条件）。我们还必须说明每个参与者对其他参与者的战略选择，信念，理性等的认知。 认知博弈比传统博弈论更明确地指出在一场博弈中对参与者的假设。

一个有趣的现象是在博弈论和量子力学的基础理论中都涉及本体性相对认知性的问题。 更重要的是，冯·诺依曼（1932）率先在量子力学中分析该问题。 另外，有点像在数学本身使用博弈论 --- 比如说集合论中关于确定性的话题 --- 博弈已经成为量子基础理论的有用手段。 （“猜猜你的邻居的输入”博弈是一个值得注意的例子，见阿尔梅达（Almeida 2010）。 ）由于认知博弈论特别关注了本体性与认知性的问题，也许这样博弈论将特别适用于量子力学。

不变性和可允许性

回到认知博弈论的基础定理。 有一个问题是：在理性的认知条件和RCBR条件下，博弈将如何进行？ 我们刚才在这个问题上所讨论的只是其表层。

斯尼斯考奇和巴提盖里（Battigalli and Siniscalchi 2002）取得了重大进展, 他们将研究问题从博弈矩阵扩展到博弈树。在认知博弈论中，博弈树展现了一个新层次的复杂性，因为参与者不仅拥有信念，信念的信念，等等，还可以随着博弈的进行而修改这些信念。 他们通过以博弈树中观察到的事件作限制来达到这一点。但他们的贡献还有更多。在概率论中，条件概率根据零概率事件值来定义。 然而，在认知博弈论中，零概率事件是不能忽视的，因为一个参与者可能认为是偶然性事件可能完全在另一个参与者的掌控之下。

例如，鲍勃可能会将概率1分配给安的一个无法达到他的举动（也就是不让他走下一步）。 在这种情况下，他对安随后的举动所分配的条件概率分布里，关于鲍勃有下一步的部分是未定义的。对于鲍勃来说这并不是问题，因为他的预期收益并不取决于他的举动。然而，现在假设安认为鲍勃把概率1分配给她不给他下一步的这个事件。她还要决定是否要给他下一步走 --- 这个事件是在她的控制之下。 她的决定将取决于她认为鲍勃如何会做出反应，而这取决于她认为鲍勃会如何更新他的概率分布，这又取决于她给予他的下一步的概率为0的事件。总而言之，安需要一个模型，来理解Bob如何分布条件性概率包括零概率事件。

我们详细说明了这一点，因为它表明在博弈论中需要一个扩展的非柯尔莫哥洛夫概率论。 事实证明，的确有这种量身定制的理论，因为瑞尼1955年的著作（Renyi 1955）。 （瑞尼的动机来自统计学和物理学。在他身前，博弈理论还没有发展到一定程度， 从而不能看出以博弈为的动机可能性。）这就是斯尼斯考奇和巴提盖里精彩地提出了这个理论并应用到博弈中。

所有这一切都是关于博弈树，参与者在博弈进行时观察并修改他们的信念。 但是，请记住，对于冯·诺依曼来说，策略概念是基础。 通过列出每个参与者可能的策略，我们将博弈树简化到博弈矩阵，然后在矩阵上进行分析（根据冯·诺依曼的研究，就是最大最小值分析）。

实际上，冯·诺依曼的做法的可行性并不是显而易见的。通常来说，多个博弈树可以简化到一个给定的游戏矩阵。也许，只考虑矩阵的话，关键信息就会丢失。也就是说，至少冯·诺依曼假设与战略相关的信息不会丢失。

一篇颇具影响力的论文中，克尔伯格和梅顿斯（Kohlberg and Mertens 1986）提出的不变性原理，也明确指出与战略相关的信息不会丢失。 他们认为，如果两棵博弈树减少到一个相同的矩阵，那么两棵博弈树的分析必须相同。 他们说，在矩阵转化的过程中不仅没有“战略上相关”的信息丢失，而且运用矩阵也是至关重要的。 否则，我们冒险单一地分析几个眼前战略上相当的博弈树。

那么，如何进行不变性分析？ 关键是可允许性概念（弱占优）。 在一个矩阵中，当且仅当一个策略在任何可以减少至该矩阵的博弈树中是理性的，那这个策略在该矩阵中是可允许的。

（关于这个说法更精准的陈述和证明，请参见Brandenburger [2007，p 488]）。因此，为了以满足克尔伯格和梅顿斯的不变性原理来构造认知博弈论，我们假设每个参与者都遵守可允许性条件。

现在让我们更仔细地研究可允许性。在决策理论中有以下一个标准结果，对安来说，

一个策略是可允许的只有当且仅当该策略在某个概率分布对鲍勃每个可能的策略选择都给予正概率中，且最大化安的预期收益。萨缪尔森（Samuelson 1992）首先提出这创造了一个难题。 假设鲍勃的一些策略是不可允许的（对他而言）。 那么，似乎如果安认为鲍勃坚持可允许性条件的，她将把这类策略的概率设为0。 假设安遵守可允许性要求（所以她应该将鲍勃所有的策略赋予正概率），这似乎与安认为鲍勃遵守可允许性条件的假设相矛盾（因为她将概率0分配给鲍勃的一些策略） 。那事实上，我们可以有具有可允许性的博弈理论吗？

第6章为这个难题提供了一个解决方案。 安对鲍勃的策略赋予了不止一个概率分布，而是一系列概率分布，我们称之为字典式概率系统（ lexicographic probability system - LPS）。 LPS用字典式的过程来确定最佳策略：在第一种概率分布下选择最大化预期收益的策略。在这个集合中，在第二个概率分布中选择最大化预期收益的策略。以此类推。在首要正概率分布中鲍勃的策略相比第二正概率分布中的策略有无穷多的可能，等等。（这可以用正式的公式表示，即使用无限小数）。这就是难题的解决方案。 安不需要将概率0分配给鲍勃的任何策略，但是她可以考虑其中一些比其它有无穷小的可能性。

这种方法让我们可以以标准的安斯考伯-奥曼（Anscombe - Aumann 1963）的预期收益标准公理为基础，来修改此公理以获得表示LPS的方式。 注意，我们再次为了做博弈理论扩展了柯尔莫哥洛夫概率论，--- 这次为了能以不变量形式来分析博弈理论。

第7章定义了一种认知条件，它是一个RCBR基本条件的字典式模拟。相对于LPS的理性是以刚刚解释的方式而定义的。 我们还需要一个概念来字典式模拟“分配概率1”，也就是信念在一般概率论中定义的。如果安认为一个事件中的所有状态都比不在事件中的所有状态要无限多地可能，那么安就“假定”（我们在字典式案例中的术语）这个一个事件。（当然，我们需要更多确切地定义无限空间。）通过这些组成部分，我们可以制定“理性和理性的共同假设”（rationality and common assumption of Rationality' - RCAR）的认知条件，并根据可行的策略进行描述。

特征描述的过程辨认出矩阵上一个新的解决方案概念 --- 称其为“自我允许集合”（self-admissible set - SAS）。 第8章中我们特别研究了这个解决方案的概念，展示了它在三个非常著名的博弈中的特性 - 蜈蚣博弈（Rosenthal [1981]），有限重复的囚徒困境博弈，和连锁店博弈（Selten [1978]）--- 确立各种普遍性质。

回到我们主题：目前出现了一个重要的不对称。 RCBR的基本认知条件的特征是迭代非劣势（IU）策略。 这是认知博弈论的基础定理。 RCAR的（更先进的）认知条件的特点是SAS。 但是，根据第一个结果类推，我们是不是应该接受RCAR的特点是迭代可允许（iteratively admissible - IA）策略？ 直觉上是类似的（因为我们已经解决了萨缪尔森的难题）。如果每个参与者都遵守可允许性条件，那么没有一个参与者会选择不可允许策略。然而，如果每个参与者也假定其他参与者遵守该条件，没有一个参与者会在原有的博弈里去除不可允许策略后选择一个不可允许策略。等等。在RCAR下，每位参与者将选择一个IA 策略。

最终这个假设是错的。IA集合是博弈中的SAS之一，但通常博弈中还有其他（不同的）SAS。 以下是解释为什么这样的一个角度，与占优性不同，关于可允许性的概念涉及到一个根本的非单调性。

为了从认知博弈论本身获得IA战略，我们不能任意一个信念模型中制定RCAR条件，而是在前面我们在“原则上的限制”讨论中的“大”信念模型之一中制定。此外，第7章的结果表明，在一个大的信念模型（当“大”的概念被适当地定义），对于任何有限整数m，“理性和第m级理性假设”条件的特点是进行 （m + 1) 轮消除不可允许策略。（一轮是为了理性假设，而m轮是为m级理性的假设）。然而，在这样的结构中不可能有（无限级别的）RCAR。在某种意义上，参与者被要求考虑太多了。似乎认知博弈论在强加了另一个博弈推理的原则上的限制。话虽如此，最近的一些文章（特别是Keisler and Lee [2011]）测试了这种不可能性结果的鲁棒性。这是认知博弈论中另一个非常开放的领域。

研究课题及方向

随着认知博弈论的发展，它引发了一些关于博弈理论的非常基础而又具挑战性的问题。 其中一个问题是：什么是一个真正的博弈模型？

传统的博弈理论说博弈模型是博弈矩阵或树。 认知博弈论否认了这点 --- 提出这只是模型的一部分。 一个完整的博弈模型由一个矩阵或树以及一个信念模型组成 --- 即，可能的信念空间，对每个参与者的信念的信念， 等等。 换句话说，在认知博弈论中，博弈模型由传统意义上的博弈组成，但还有一个包含信念的模型，每个参与者可能拥有的信念的信念， 等等。 认知博弈论尊重决策理论的“三部曲”：策略，收益和概率。 一个博弈模型应该包括参与者对他们策略，收益公式以及不确定事件的概率分布。

传统博弈理论中可以被看作是输出的是认知博弈论中的输入。通常，我们从纳什均衡开始 --- 比如说，其中安选择策略 ，鲍勃选择策略 。我们可以将信念与这对策略联系起来：，对于鲍勃选择 ，安将其概率设为1，鲍勃将概率1分配给安的选择 。（纳什均衡的定义并不要求我们进行这种关联，但这是自然而然的）。 解决概念被解释为告诉我们参与者拥有什么样的信念。 简而言之，信念作为分析的一个输出。

在认知博弈论中，在我们指定了参与者的信念前我们甚至不能开始分析。 只有我们一旦这样做了，才能缩小战略选择。 这次，信念是分析的重要输入。

我们在哪里寻找这个输入？ 信念模式里面究竟是什么？ 为此，我们应该看看外部因素，如策略互动所在的环境，参与者的先前经历，他们的个性等。在这个方向上，博弈论变得不再是以前那个自成体系的学科了。

这个方向导致了一些混合效应。 对于某些人来说，这是认知博弈论的一大缺点：这不是一个完整的理论。 对另一些人来说，这个想在“纯理性”的基础上试图建立一个完整的战略互动理论， 一个可疑方向的一个可喜的结局。诸如背景和历史等方面，现在被认为是重要的。这个问题从早期就分裂了博弈理论家。冯·诺依曼和摩根斯坦（1944）坚定地站在第二阵营：

“在大多数情况下，我们将会观察到多种解决方案。 考虑到我们所说的将解决方案解释为稳定的“行为标准”，在相同的实体背景下，可以建立不同的“既定的社会秩序”或“接受的行为标准”，那么这具有简单而不是无理的意义。”

（诚然，这是以合作理论为背景下写的，但请记住，合作理论是n个参与者博弈的一般理论。）如果我们理解术语“物理背景”来指代游戏矩阵（或树） ，那么冯·诺依曼和摩根斯坦认为，博弈理论不应仅仅基于这个模型试图给出一个独特的答案。 纳什（1950）采用了完全相反的观点，并特别寻找了矩阵中的独特答案：

“我们用以下问题来继续调查：在一个博弈中，什么样可期望的理性行为是可以被理性地预测到的？通过使用以下原则：理性预测应该是独一无二，参与者应该能够推断和利用它，这样的知识，指每个参与者对其他参与者的预测，是不应该把他带出可预测的行为范围的，而是可以达到之前定义的解决方案的概念，即纳什均衡。 （Nash [1950]）”

我们可以这样总结一下目前的状况：仅仅在矩阵上建立的博弈理论是具不确定性的（冯·诺依曼 - 摩根斯坦）或具确定性的（纳什）。 认知博弈论显然是指第一种理论。

以下是另一个关于博弈论基本成分的问题：什么是参与者？或者，更准确地问，什么是适当的行为单位？冯·诺依曼 - 摩根斯坦再一次和纳什选择了不同的路径。在冯·诺依曼 - 摩根斯坦所写的合作理论中，几个参与者共同行动的概念是基本的。而在纳什的非合作理论中，个人行为是基本的。在第一种情况下，行为单位是一个群体，而在第二种情况下，是个体。 认知博弈论指出，非合作理论与合作理论之间的界限比人们想象的要模糊。在“认知博弈论的基础定理“章节中，我们解释了，个人行为可以通过信念的相互关联而变得相关。我们还指出，迭代非劣势（IU）策略 --- 非合作博弈论中的一个非常基本的课题 --- 含有比这种方式更多的相关性。什么是额外的相关性？就是参与者的联合行动。 （第4章有关于这点的更多细节。）结果非合作博弈理论其实是被包含在一个通常被认为是合作理论独有的特征中。博弈理论的两个分支之间的界限似乎没有以前想象的那么明确。

现在让我们回到关于博弈论参与者的决策标准这个问题上来。 到目前为止，该领域几乎总是假设预期收益最大化的行为。 其主要原因是“一时一新”哲学。 认知博弈论与古典博弈论完全不同的是它拒绝以均衡作为分析的起点。 如果认知博弈论同时进行其他变更，那就很难清楚地看到这一转变的影响。 由于在古典博弈论中几乎总是假设预期收益最大化，所以认知博弈论也将保持这个假设。 我们可以将这种方法看作是进行一个可控制的实验，其中一个变量在其他变量不变的情况下被改变。 即使保持古典决策标准的情况下，认知博弈论也与古典博弈论截然不同，而这点我们已经预见了，在本书的其余部分这点将分析得更加清晰。

然而，我们十分希望探索如果使用非经典决策标准情况会如何。 幸运的是，相对于所使用的决策标准，认知博弈论看起来相当模块化。 我们希望是，即使“插入”不同的决策标准，认知博弈论的大部分架构 - 类型的概念，理性的归纳定义，信念理性等都应该继续工作。我们可以通过使用更好的有实证基础的决策理论，将实证内容添加到认知博弈论的这种扩展中。

在本导言的不同章节中，我们指出了几个认知博弈论可以进一步发展的方向。 这个领域还很年轻，我们已经指出一些非常基本的未解问题。 我们也看到了使用这种方法的一些意想不到的后果：认知博弈论促使我们询问---或重新询问一些关于整个博弈理论架构的基本问题。 我们认为这是认知论方法的另一个优点。

前言 ix

致谢 xvii

引言 xix

第1章一个关于博弈中信念的不可能性悖论 1

亚当•布兰登勃格 和 杰瑞•凯瑟勒

1引言 

2完全信念模型中现有的问题 

3信念模型 

4完全信念模型 

5不可能性结果 

6模态逻辑中的假设 

7模态形式下的不可能性 

8策略性的信念模型 

9弱完全和半完全模型 

10 正面的和拓扑上的完全模型 

11博弈论中的其他模型 

参考文献 

第二章 信念和共同知识的谱系

亚当•布兰登勃格 和 艾迪•戴克

1引言

2类型的构造

3与标准微分信息模型的关系

参考文献

第三章 可理性化和相关均衡

亚当•布兰登勃格 和艾迪•戴克

1引言

2相关可理性化和一个后验均衡

3独立的可理性化和一个条件性独立的后验均衡

4客观解概念

参考文献

第四章 博弈中内在的相关性

亚当•布兰登勃格 和 阿嫚达•富登伯格 

1 引言

2 比较内在和外在相关性

3 比较

4 章节的组织结构

5 类型结构

6 主要结果

7 比较继续

8 正式介绍

9条件独立性和满足充分性的公式化

10理性认知条件和理性共同信念的公式化

11 主要结果的公式化

12 总结

附录

参考文献

第五章 纳什均衡的认知条件

罗伯特·奥曼 和亚当•布兰登勃格 

1 引言

2 互动信念系统

3 举例说明

4 结果的公式化陈述及证明

5 结果的紧密度

6 普遍（无限）信念系统

7 探讨

参考文献

第六章 字典式概率及不确定性条件下的选择

拉里•布卢姆, 亚当•布兰登勃格和艾迪•戴克

1 引言

2 在有限状态空间上的主观期望效用

3 字典式概率系统和非阿基米德性质的主观期望效用理论

4 可允许性和条件概率

5 字典式条件概率系统

6 非阿基米德性质的主观期望效用理论的一个数字化的表达

7 随机独立性和乘积测度

附录

参考文献

第七章 博弈中的可允许性

亚当•布兰登勃格，阿嫚达•富登伯格和杰罗姆•凯瑟勒

1 引言

2 启发式处理

3自我允许集合和迭代可允许集合

4 字典式概率系统

5 假设

6 假设的特性

7 类型结构

8 理性和理性的共同假设的特性

9 完全结构里，理性及第m层理性假设的特性

10 一个负面结果

11 探讨

附录

参考文献

第八章 自我允许集合

亚当•布兰登勃格 和 阿嫚达•富登伯格

1 引言

2 预览

3自我允许集合

4 应用

5自我允许集合策略形式特性

6自我允许集合扩展形式特性

7 完美信息博弈

8 讨论

附录

参考文献