第1章基本知识
　　本章所列的基本知识，是绝大多数高等代数教材中都会有的，属于高等代数最基本的内容.本书可供已经学习过高等代数的同学复习考研使用，结论作为常识，除特别原因，一般不重复列出证明.
　　1.1基本概念
　　定义1.1.1n阶行列式指的是数学记号.
　　它表示n!项的代数和，每一项是一切可能的取自不同行、不同列的n个元素的乘积a1j1a2j2 anjn.项a1j1a2j2 anjn带有符号，即
　　这里是对数码1，2， ，n构成的所有排列j1j2 jn求和.
　　有时用符号jaijj或det(aij)表示上述n阶行列式.一阶行列式jaj就是数a.
　　定义1.1.2设A是数域F上的n阶方阵，λ2F.如果存在F上的n维非零列向量α，使得
　　Aα=λα，
　　那么称λ是A的特征根，称α为矩阵A的属于特征根λ的特征向量.
　　定义1.1.3设A=(aij)2Mn(F).称n阶行列式为A的特征多项式.
　　将行列式det(xI A)展开，可得一个关于x的多项式:称fA(x)中xn.1的系数的相反数a11+a22++ann为矩阵A的迹，记作tr(A).
　　定义1.1.4设.如果存在可逆矩阵P2Mn(F)，使得，那么称矩阵A与B相似，记作AB.
　　矩阵的相似关系满足：自反性、对称性和传递性.
　　定义1.1.5设A是n阶实对称矩阵.如果A的正惯性指数p等于n，那么称A是正定矩阵.
　　显然正定矩阵的行列式大于零.
　　定义1.1.6设是实数域上的n元二次型.如果对变量x1，x2， ，xn任取一组不全为零的实数，实二次型f(x1，x2， ，xn)的函数值都是正数，那么就称二次型f(x1，x2， ，xn)是正定二次型.
　　定义1.1.7设F是一个数域，x是一个文字.数域F上关于文字x的一元多项式是指形式表达式，这里n是非负整数，并且a0，a1，a2， ，an.1，an都是F中的数.
　　通常，我们把多项式用f(x)，g(x)， 来表示.数域F上关于文字x的全体多项式的集合记为F[x].
　　规定x0=1，则一元多项式f(x)=a0+a1x++anxn可以表示为，其中aixi称为多项式f(x)的i次项，ai称为i次项的系数，零次项a0通常也称为f(x)的常数项.
　　各项系数都为0的多项式称为零多项式，记为0.
　　定义1.1.8在多项式中，如果an6=0，那么称n是f(x)的次数，记为degf(x)，并且称anxn为f(x)的首项，an为首项系数.如果an=1，就称f(x)为首一多项式.
　　零多项式是F[x]中唯一没有次数的多项式.
　　定义1.1.9设f(x)与g(x)是F[x]中的多项式.如果f(x)与g(x)的同次项的系数相等，那么就称f(x)与g(x)相等，记为f(x)=g(x).
　　定义1.1.10设f(x)，g(x)2F[x].若存在h(x)2F[x]，使得f(x)=g(x)h(x)，则称g(x)整除f(x)，记作g(x)jf(x).同时称g(x)为f(x)的因式，称f(x)为g(x)的倍式.
　　定义1.1.11设A是数域F上的n阶方阵.F[x]中使得p(A)=0的次数最低的首一非零多项式p(x)称为A的最小多项式.
　　定义1.1.12称多项式xn 1的n个不同的复数根ωk(0.k.n 1)为n次单位根.
　　定义1.1.13若所有的n次单位根ωk(0.k.n 1)都是某个给定的n次单位根ωm的幂，则称ωm为n次本原单位根.
　　定义1.1.14设A=(aij)是数域F上的n阶方阵，且.
　　取定A的第i1，i2， ，ik行和第i1，i2， ，ik列，位于这k行和k列交叉处的元素按照原来的位置构成的k阶行列式叫作矩阵A的一个k阶主子式，记为Δ(i1，i2， ，ik).
　　定义1.1.15设α1，α2， ，αr是数域F上向量空间V的r个向量.如果存在F中一组不全为零的数k1，k2， ，kr，使得k1α1+k2α2+ +krαr=0，那么称向量α1，α2， ，αr线性相关.若当且仅当k1=k2= =kr=0时上式才成立，则称向量α1，α2， ，αr线性无关.
　　定义1.1.16设向量组fαi1，αi2， ，αirg是向量组fα1，α2， ，αsg的部分组.称fαi1，αi2， ，αirg是fα1，α2， ，αsg的极大无关组，如果
　　(i)向量组fαi1，αi2， ，αirg线性无关;
　　(ii)fα1，α2， ，αsg中的任意r+1个向量(如果有的话)构成的向量组总是线性相关的.
　　定义1.1.17设W，W′都是向量空间V的子空间.若V=WW′，则称W′为W的一个余子空间(或补子空间)，也称W是W′的一个余子空间.
　　定义1.1.18齐次线性方程组的解空间的一个基叫作该方程组的一个基础解系.
　　定义1.1.19设λ2F，A2Mn(F)，λ是A的特征根.称Vλ为A的属于特征根λ的特征子空间.
　　定义1.1.20设λ2F，A2Mn(F).如果λ是A的特征根，那么λ作为A的特征多项式的根时的重数称为λ的代数重数，A的属于特征根λ的特征子空间Vλ的维数称为λ的几何重数.几何重数总是小于等于代数重数.
　　定义1.1.21设σ是F上向量空间V的线性变换，W是σ的不变子空间.若只考虑σ在W上的作用，就得到W的一个线性变换，记为σjW，即对任意.
　　若ξ62W，则σjW(ξ)就没有意义.σjW称为σ在W上的限制.
　　定义1.1.22设σ是向量空间V的一个线性变换.由V中全体向量在σ之下的像构成的集合称为σ的像(或σ的值域)，记作Imσ(或σ(V));由零向量在σ之下的全体原像构成的集合称为σ的核，记作Kerσ，即.
　　定义1.1.23称Imσ的维数为线性变换σ的秩，记作秩σ.称Kerσ的维数为线性变换σ的零度.
　　定义1.1.24设V是实数域R上的向量空间.如果有一个映射，为方便，将f(α，β)记作hα，βi，它具有以下三条性质，
　　那么hα，βi称为向量α与β的内积，V叫作对这个内积来说的一个欧几里得(Euclid)空间，简称欧氏空间.
　　(i)对称性：;
　　(ii)线性性;
　　(iii)非负性：对任意α2V，有hα，αi.0，当且仅当α=0时，hα，αi=0.
　　定义1.1.24中的(ii)线性性与以下两条等价：
　　(iv);
　　(v).
　　定义1.1.25设实系数线性方程组无解，即不论x1，x2， ，xs取哪一组实数值，s元实函数的值都大于零.设法找c1，c2， ，cs，使当x1=c1，x2=c2， ，xs=cs时，上式的值最小，这样的c1，c2， ，cs称为该方程组的最小二乘解，这种问题就叫作最小二乘法问题.
　　令A=(aij)n×s，X=(x1，x2， ，xs)T，B=(b1，b2， ，bn)T，则上述线性方程组可写成AX=B.
　　1.2基本结论
　　定理1.2.1在n阶行列式中取出n个元素作乘积ai1j1ai2j2 ainjn，这里i1i2 in和j1j2 jn都是1，2， ，n这n个数码的排列，则这一项在行列式中的符号是( 1)π(i1i2 in)+π(j1j2 jn).
　　定理1.2.2设A是数域F上的n阶方阵，λ是一个复数，则λ是A的特征根当且仅当λ满足等式det(λI A)=0.
　　定理1.2.2表明，一个复数λ是A的特征根当且仅当λ是A的特征多项式的根.
　　定理1.2.3设A是n阶实对称矩阵，则A是正定矩阵的充要条件是在实数域上A与n阶单位矩阵In合同.
　　定理1.2.4相似矩阵的特征根相等、迹相等、秩相等、行列式相等.
　　定理1.2.5设A=(aij)是n阶实对称矩阵，则A是正定矩阵的充要条件是是正定二次型.
　　定理1.2.6设A=(aij)是n阶实对称矩阵，则以下几条彼此等价：
　　(i)A是正定矩阵;
　　(ii)对任意的，且i1<i2< <ik，由A的第i1，i2， ，ik行和第i1，i2， ，ik列交叉处的元素按照原来的位置构成的A的k阶子式大于零;
　　(iii)对任意的k2f1，2， ，ng，由A的前k行与前k列交叉处的元素按照原来的位置构成的A的k阶子式大于零.
　　定理1.2.7设f(x)，g(x)是F[x]中的非零多项式，则
　　(i)当f(x)+g(x)6=0时，有;
　　(ii).
　　定理1.2.8设f(x)，g(x)，h(x)2F[x].
　　(i)如果f(x)g(x)=0，那么f(x)=0，或者g(x)=0;
　　(ii)如果f(x)g(x)=f(x)h(x)，且f(x)6=0，那么g(x)=h(x).
　　定理1.2.9(带余除法定理)设f(x)，g(x)2F[x]，且g(x)6=0，则
　　(i)存在q(x)，r(x)2F[x]，使得
　　f(x)=g(x)q(x)+r(x)，
　　这里r(x)=0，或者degr(x)<degg(x).
　　(ii)满足(i)中条件的多项式q(x)和r(x)都是唯一确定的.
　　我们把这种除法叫作带余除法.定理中的多项式q(x)，r(x)分别叫作用g(x)
　　去除f(x)所得的商式和余式，g(x)叫作除式，f(x)叫作被除式.
　　定理1.2.10在F[x]中，
　　(i)如果g(x)jf(x)，那么对F中任意非零常数c，总有cg(x)jf(x)，g(x)jcf(x);
　　(ii)如果h(x)jg(x)，g(x)jf(x)，那么h(x)jf(x);
　　(iii)如果g(x)jf(x)，g(x)jh(x)，那么g(x)j(f(x)h(x));
　　(iv)如果g(x)jf(x)，那么对F[x]中任意多项式h(x)，总有g(x)jf(x)h(x);
　　(v)如果g(x)jfi(x)，i=1，2， ，s，那么对F[x]中任意多项式hi(x)，i=1，2， ，s，总有;
　　(vi)设f(x)2F[x]，则对F中的任意非零常数c，总有cjf(x)，cf(x)jf(x);
　　(vii)如果f(x)jg(x)，g(x)jf(x)，那么存在F中的非零常数c，使得f(x)=cg(x).
　　定理1.2.11设fi(x)2F[x]，i=1，2， ，s.
　　(i)f1(x)，f2(x)， ，fs(x)的最大公因式总是存在的;
　　(ii)若d(x)是f1(x)，f2(x)， ，fs(x)的一个*大公因式，则存在ui(x)2F[x]，i=1，2， ，s，使得sXi=1ui(x)fi(x)=d(x).
　　定理1.2.12(因式分解及唯一性定理)设f(x)是数域F上的一个次数大于零的多项式，则(i)f(x)可分解为若干个F上的不可约多项式的乘积;
　　(ii)如果f(x)=p1(x)p2(x) pr(x)=q1(x)q2(x) qs(x)，
　　其中pi(x)，qj(x)(i=1，2， ，r;j=1，2， ，s)都是F上的不可约多项式，那么r=s，且适当地给q1(x)，q2(x)， ，qr(x)重新编号后