《CT图像重建算法（第二版）》是一本专门介绍CT图像重建算法的专著。作者结合从事CT图像重建算法理论研究与工业CT成像系统研究的科研成果和思考，对CT图像重建算法的理论到实践问题进行了全面系统地介绍。《CT图像重建算法（第二版）》内容涵盖了CT图像重建的两个分支——解析类重建算法和迭代类重建算法的**算法及*新研究成果，其中解析类重建算法中详细讲解了平行束、扇形束和锥形束图像重建算法的发展历程。在《CT图像重建算法（第二版）》的后半部分，结合作者的研究成果，以专题章节形式论述了当前CT图像重建实际应用中的热点、难点问题——不完全角度重建、局部重建和大视野重建，以及图像重建加速技术，基本涵盖了目前CT图像重建的主流研究课题，这是《CT图像重建算法（第二版）》的一大特色和亮点。着眼于新的成像技术的不断发展，《CT图像重建算法（第二版）》第二版中新增加了能谱重建算法和深度学习重建技术，为读者开展相关方向的研究提供了初步指引。同时《CT图像重建算法（第二版）》还提供国内外*新公开发表的重要文献，以供读者参考

第1章 引言
　　1.1 CT成像技术概述
　　图像有多种含义，其中*常见的定义是指各种图形和影像的总称。在日常生活中图像是必不可少的组成部分。俗话说“百闻不如一见”。据统计，至少有80%的外界信息经图像或视频(也可以看作连续播放的图像)获得。很多时候图像带给我们的信息量远比语言能够描述的要多得多。
　　这里主要讨论图像生成的过程，也就是成像过程。提到成像，我们日常生活中接触*多的就是可见光成像，利用可见光在物体上的反射获得物体表面的颜色、纹理、明暗等信息。眼睛就是我们在生活中使用*多的可见光成像系统。实际上，不单是可见光，大多数的物质波都可以用于成像，比如，红外成像、生物发光(bioluminescence)成像、荧光(fluorescence)成像、THz波成像、超声波成像、X射线成像、计算机断层成像(computed tomography，CT)、背散射成像、正电子发 射断层成像(positron emission tomography，PET)、单光子发射计算机断层成像(single photon emission computed tomography，SPECT)、核磁共振成像。所成的图像就是物质波和被成像物质相互作用结果的可视化。显然，不同的物质波与被成像物质的相互作用是不同的，因此，各种成像模态所成像的结果也是不同的，它反映了检测物体对该物质波所具有的某种特性的分布。
　　本书主要讨论X射线成像技术中的基本理论。1895年，德国科学家伦琴在进行阴极射线管实验时发现了X射线，这种射线能够穿透物体，并能使胶片感光。三天后，伦琴的夫人偶然看到了手的X射线影像，从此开创了用X射线进行医学诊断的放射学——X射线摄影术，也开创了工程技术与医学相结合的纪元。X射线*先被应用于医学诊断，继而又在工业领域得到广泛应用，对人类历史和科技发展产生了深远影响。1901年，伦琴因此获得*次颁发的诺贝尔物理学奖。
　　虽然X射线摄影术在诊断和检测方面起了划时代的作用，除了之后出现的超声检测方法以外，X射线摄影术是应用*为广泛的一种检测技术，但是它的缺点也是十分明显的，对三维物体进行成像得到的物体内部的图像是二维的，在深度方向上的信息重叠在一起，一方面，无法判断具体的位置信息，另一方面，降低了对比度。
　　能不能利用叠加的信息恢复出物体内部的三维信息呢？只有一幅投影信息显然是不行的，那么利用多个角度的投影信息是否可行呢？断层成像，也就是通过对物体进行不同角度的射线投影测量而获取物体横截面信息的成像技术应运而生。
　　所谓断层成像(tomography)，来源于希腊单词“tomos”，表示对物体的横断面进行成像。断层成像的概念*早由挪威物理学家Abel在1826年针对轴对称物体的横截面信息恢复而提出。
　　图1.1.1 直线及其极坐标表示
　　奥地利数学家Radon在1917年发展了Abel的思想，使成像对象扩展到任意形状的二维截面(Radon，1917)。Radon提出了投影图像重建的基本数学理论，为CT技术建立了数学理论基础。他指出任何物体均可用无限多个投影来表示；反之，如果知道无限多个投影，便可重建出该物体对象。从数学上证明了某种物理参量(如一个切面衰减系数的分布)的二维分布函数，由该函数在其定义域内的所有线积分完全确定。如图1.1.1所示，二维平面内一条直线L，原点到L垂线的长度为s，垂线与X轴的夹角是.，对于直线上的一点(x，y)可以用极坐标表示为(r，θ)。Radon证明了下述定理：
　　若已知函数f(x，y)=.f(r，θ)沿直线L的线积分为
　　p=ZLf(x，y)dl=ZL.f(r，θ)dl
　　变换
　　则
　　f(r，θ)反变换
　　Radon变换就是实际的射线投影p，Radon反变换就是根据投影p重建图像.f(r，θ)。可惜，此公式在发表后五十多年，直至20世纪70年代初才被发现。
　　由于70年代以前尚未发现Radon的论文，当代投影图像精确重建的数学方法是由美国物理学家Cormack(1963)确立的。1963年，Cormack*先提出用物体的多方向投影重建断层图像的代数计算方法，基本解决了投影图像重建的数学问题。1972年，英国EMI公司工程师Hounsfield研制成功**台临床用的CT扫描装置(Hounsfield，1973)，*次为一名妇女诊断出脑部的囊肿，取得了世界上**张CT照片。
　　CT的问世在放射学界引起了爆炸性的轰动，被认为是继伦琴发现X射线后，工程界对放射学诊断的又一划时代的贡献。鉴于Hounsfield和Cormack对CT研制工作的开创性杰出贡献，1979年，诺贝尔生理学或医学奖破例授予两位没有专门医学经历的科学家。从此，放射诊断进入CT时代。CT技术被公认为20世纪后期*伟大的科技成果之一。不但给医学诊断带来革命性的影响，还成功地应用于无损检测、逆向工程和材料组织分析等工业领域。
　　(1)在医学诊断领域，CT技术作为一种高性能的无损诊断技术，已在医学成像领域确立了不可动摇的地位。
　　(2)在工业无损检测领域，“明察秋毫”，已成为汽车、飞机、导弹、电子器件等工业产品的缺陷检测和质量控制的有力手段。
　　(3)农林业方面，已开展植物根系的生长、树木的年轮测定等应用。
　　(4)地球物理方面，可用于地球资源勘探(岩心的煤、石油的含量分析)、地震预测预报、地质构造分析、考古等领域。
　　针对不同应用，也可以利用不同的能量波和粒子束，比如超声、微波、γ射线、质子、中子、电子等与目标相互作用的信息来重建图像，因此超声CT、荧光CT、弹性波CT、SPECT、PET、微波CT也相继问世。应该指出，各类CT的功能是相互补充而不是相互替代的。在本书中，除非特殊声明，所指CT均指X射线透射CT。
　　虽然这些应用看起来各不相同，小到用电子显微镜得来的数据重建出噬菌体的分子结构，大到利用送往地球大气层外的火箭所采集的数据重建出超新残星的结构，但它们有着共同的数学基础和计算基础，本书就是讨论这些基础。
　　CT技术指利用X射线穿透物体的衰减信息进行重建来获得物体的断层图像信息的技术。从理论上讲，是一个从投影重建图像的反问题，因此重建算法是CT的核心理论和基础算法。
　　图像重建算法主要可以分为两类：一类是以Radon变换为理论基础的解析类重建算法，另一类是以解方程为主要思想的迭代类重建算法。
　　解析类重建算法从Radon变换开始，经过几十年的发展，已形成一套严密和完整的理论体系。根据扫描重建形式的不同，又可以分为二维图像重建和三维图像重建。
　　在二维图像重建算法中，傅里叶中心切片定理是理论基础。基于该定理进行不同的数学变换，可以得到平行束投影下的两种图像重建方法：直接傅里叶重建算法和滤波反投影算法。滤波反投影是目前*受学术界推崇且在业界广泛应用的图像重建算法，从本质上说它是Radon逆变换公式在图像重建中的具体应用。扇形束投影重建算法在平行束投影的基础上，经过适当加权修正或采用数据重排的方式，进行滤波反投影重建。
　　在三维图像重建算法中，分为近似图像重建算法和精确图像重建算法。近似图像重建算法中以Feldkamp-Davis-Kress (FDK)算法(Feldkamp et al.，1984)为代表，FDK算法是Feldkamp等在1984年提出的**个实用且众所周知的圆轨迹滤波反投影三维图像重建算法。该算法对小锥角的锥束投影进行适当的近似和修正，采用二维扇束方法进行处理，计算形式简单，便于硬件并行加速，因此在目前锥束CT系统中得到广泛应用，并扩展到螺旋轨迹和其他自由轨迹下的FDK重建算法。但是对于大锥角情况，算法的近似误差较大。1998年，Turbell等提出的PI方法是一种近似性能较好且适用于长物体重建的螺旋锥束重建算法(Turbell et al.，1998)，后来还派生出了一些改进的算法，如PI-slant算法(Turbell，1999)、PI-2D算法(Turbell et al.，2000)等。
　　三维图像精确重建算法方面，Kirillov于1961年给出了锥束几何复值函数的逆变换公式(Kirillov，1961)。基于Kirillov的工作，Tuy，Smith，Grangeat在20世纪80年代分别提出了三种锥束精确重建算法(垂直双圆或圆加直线扫描模式等)，其中Grangeat类型的算法(Grangeat，1991；Clacketal.，1994；Tam，1995；Schalleretal.，2000)由于数学上比较简单，计算机易于实现而成为研究的热点。该方法将锥束投影数据转换为三维Radon数据，重排数据之后进行三维Radon逆变换，得到精确重建结果。此外，Tuy还给出了三维精确重建的充要条件，即Tuy条件：每个与重建物体相交的平面都和射线源扫描轨迹至少有一个交点。这是CT发展史上的一个重要成果，它给人们寻找精确扫描方式提供了重要的先验条件。随后，Defrise，Clack等统一了上述的三种算法，提出了更加一般的算法(Defriseetal.，1994)。Kudo和Saito(1994)改进了Grangeat类型的算法，避免了数据重排，且对扫描轨迹具有很好的适应性。
　　但是，上述三维精确重建算法都隐含着一个条件，即锥束必须覆盖整个物体，不能解决投影截断(如长物体螺旋锥束扫描)的重建问题。在螺旋锥束CT重建算法发展过程中，真正具有里程碑意义的成果是2002～2004年Katsevich提出的螺旋锥束精确重建算法及其广义算法，基于Katsevich的研究成果，一系列基于标准螺旋锥束扫描和非标准螺旋锥束扫描的算法被提出(Katsevich，2002a，2002b，2004，2006)。其中*有代表性的是Zou等(2004a，2004b，2004c)提出的螺旋反投影滤波(BPF)重建算法，该算法成功解决了由沿探测器方向截断投影进行CT精确重建的问题。随后该方法也被成功应用到了扇束和平行束的情况。显然，该方法可以用于局部CT重建。
　　解析重建算法的优点是重建速度快；缺点是抗噪声性能较差，对数据的完备性要求较高。
　　迭代重建算法基本思想是由测量的投影数据建立一组未知向量的代数方程式，通过方程组求解未知图像向量。迭代重建算法分为代数迭代重建算法和统计迭代重建算法两大类，代数迭代重建中典型的算法有代数重建算法(代数重建技术，algebraic reconstruction technique，以下简称ART算法)(Gordon et al.，1970)、联合代数重建算法(联合代数重建技术，simultaneous algebraic reconstruction tech-nique，以下简称SART算法)(Andersenetal.，1984)等。统计迭代重建以优化理论为基础，从投影测量过程的随机性观点出发，把图像重建看成是一个参数估计问题，通过设计合理的目标函数寻求使目标函数达到*优值的参数向量。典型的算法有期望*大(EM)法(Dempster et al.，1977)、*小范数法(Herman et al.，1976；Artzy et al.，1979)、*大后验概率算法MAP(Wernecke et al.，1977)等。迭代算法的优点是抗噪声性能强，可加入先验知识，对数据的完备性要求不高；缺点是计算量大，重建速度慢，在实际系统中较少使用。
　　1.2 投影
　　在重建算法的研究过程中模拟投影数据是必不可少的一部分，一方面可以避免实测投影数据的误差，为后继CT重建算法提供理想的投影数据；另一方面也可以根据需要有选择地模拟失真如探测器偏移、旋转、响应不一致、射线源偏移等的投影数据，然后再使用这些模拟出来的数据研究适宜的重建算法对断层图像进行重建。
　　前面我们已经

目录
第1章 引言1
1.1 CT成像技术概述1
1.2 投影5
1.3 反投影14
1.4 本章小结22
第2章 平行束图像重建23
2.1 基础知识——傅里叶变换23
2.2 傅里叶中心切片定理29
2.3 平行束重建算法31
2.3.1 直接傅里叶重建算法31
2.3.2 滤波反投影算法31
2.3.3 滤波算子35
2.4 反投影滤波重建算法39
2.5 本章小结40
第3章 扇形束图像重建41
3.1 扇形束成像的几何描述41
3.2 数据重排算法42
3.3 扇形束重建算法45
3.3.1 等角度扇形束重建算法45
3.3.2 等间距扇形束重建算法48
3.4 本章小结51
第4章 锥形束图像重建算法52
4.1 FDK重建算法52
4.1.1 FDK重建算法的推导52
4.1.2 滤波窗函数53
4.1.3 FDK重建算法的离散实现56
4.2 Grangeat重建算法57
4.2.1 Grangeat重建算法理论58
4.2.2 Grangeat重建算法的具体实现60
4.3 Katsevich重建算法62
4.3.1 PI线63
4.3.2 Katsevich重建算法理论65
4.3.3 锥束螺旋Katsevich重建算法实现的几个关键问题69
4.4 BPF重建算法73
4.4.1 BPF重建算法理论74
4.4.2 BPF重建算法的显示表达式78
4.4.3 投影数据的求导81
4.5 本章小结82
第5章 迭代重建算法83
5.1 解线性方程组83
5.2 代数迭代重建算法86
5.2.1 ART算法86
5.2.2 SART算法89
5.3 统计迭代重建算法90
5.3.1 *大似然估计理论91
5.3.2 ML-EM算法93
5.3.3 OS-EM算法96
5.4 本章小结99
第6章 不完全角度重建算法100
6.1 不完全角度问题100
6.2 基于稀疏优化的重建算法102
6.2.1 TV*小化模型与重建算法103
6.2.2 其他正则化模型与重建算法106
6.3 结合投影域的重建算法108
6.4 奇异性刻画与采样条件分析110
6.4.1 有限角度问题的奇异性110
6.4.2 采样条件分析112
6.4.3 融入支集补先验的TV*小化重建算法116
6.4.4 多分辨率融合重建116
6.5 本章小结117
第7章 局部重建算法119
7.1 局部重建问题119
7.1.1 PI线的两个端点都在物体支撑外120
7.1.2 PI线的一个端点在物体支撑外123
7.1.3 PI线的两个端点都在物体支撑内125
7.2 基于数据重排的局部重建算法127
7.2.1 投影数据重排127
7.2.2 T-BPF算法的重建公式129
7.3 基于Radon逆变换的局部重建算法133
7.4 本章小结136
第8章 扩大视野重建算法138
8.1 大视野重建问题138
8.2 轴向视野扩展138
8.2.1 螺旋FDK重建算法139
8.2.2 PI-Method重建算法141
8.3 横向视野扩展143
8.3.1 RT扫描方式143
8.3.2 基于数据重排的滤波反投影型算法146
8.3.3 BPF型重建算法150
8.4 双向视野扩展151
8.5 本章小结156
第9章 图像重建并行加速技术157
9.1 并行加速技术概述157
9.2 FDK重建算法的并行性159
9.2.1 FDK重建算法关键步骤159
9.2.2 FDK重建算法并行性分析161
9.3 基于多核CPU的图像重建并行加速技术162
9.3.1 OpenMP介绍162
9.3.2 基于OpenMP的FDK重建算法并行加速策略163
9.3.3 基于OpenMP的FDK重建算法加速实验结果164
9.4 基于GPU的图像重建并行加速技术167
9.4.1 GPU加速FDK重建算法的关键技术167
9.4.2 GPU加速FDK重建算法的实验结果172
9.5 本章小结174
第10章 能谱CT重建算法175
10.1 X射线产生机制175
10.2 能谱CT成像基础176
10.2.1 观测过程的数学描述176
10.2.2 能谱成像分解模型177
10.2.3 材料重建方法分类178
10.3 投影域分解算法180
10.3.1 正向观测过程180
10.3.2 分解模型与求解182
10.3.3 实验验证184
10.4 图像域分解算法186
10.4.1 图像域分解模型186
10.4.2 正则化分解算法187
10.4.3 实验验证188
10.5 代数迭代重建算法189
10.5.1 E-SART算法189
10.5.2 单色图像引导加速192
10.5.3 实验验证194
10.6 统计迭代重建算法196
10.6.1 光子统计建模196
10.6.2 代理函数选择197
10.6.3 算法具体实现199
10.6.4 实验验证200
10.7 本章小结201
第11章 深度学习重建方法202
11.1 数据驱动重建202
11.1.1 神经网络模型202
11.1.2 数据驱动范式203
11.2 图像域后处理方法204
11.2.1 FBPConvNet205
11.2.2 WGAN-VGG208
11.3 直接投影深度学习重建方法211
11.3.1 基于流形近似的自动变换211
11.3.2 AUTOMAP基本结构212
11.4 迭代与深度学习融合方法213
11.4.1 参数化即插即用ADMM213
11.4.2 基于学习的原始对偶方法216
11.5 本章小结220
参考文献221
索引233