第1章 控制理论发展史简介
控制论是一门年轻的学科，但自动装置和控制论的思想与基本概念在古代就已产生并获得一定的发展.公元前14～前11世纪，中国、埃及和巴比伦出现了自动计时装置—–漏壶，为人类研制和使用自动装置之始.
公元1世纪，亚历山大的希罗发明开闭庙门和分发圣水的自动装置.公元2世纪，张衡发明了对天体运行情况自动仿真的漏水转浑天仪和自动检测地震征兆的候风地动仪.在中国的三国时期，就使用了自动指向的指南车;晋朝时就有记载的记里鼓车.公元1088年，北宋人苏颂建造了水运仪象台，它把浑仪(天文观测仪器)、浑象(天文表演仪器)和自动计时装置结合在一起.然而这类早期控制装置均没有得到广泛的应用，更没有导致控制理论的产生.
1642年，法国物理学家帕斯卡发明了能自动进位的加法器.1657年，荷兰机械师C.惠更斯发明钟表，提出钟摆理论，并利用锥形摆作调速器.1745年，英国机械师E.李发明带有风向控制的风磨，可利用尾翼来使主翼对准风向.1765年，俄国机械师И.И.波尔祖诺夫年发明浮子阀门式水位调节器，用于蒸汽锅炉水位的自动控制.
1788年，英国机械师J.瓦特发明离心式调速器(又称飞球调速器)，并把它与蒸汽机的阀门连接起来.这是一个保证蒸汽机正常运转的自动控制装置.瓦特的这项发明开启了近代自动调节装置应用的新纪元，也是人类自动调节与自动控制的开始.从此以后，人们能够自由地控制蒸汽机的速度，蒸汽机开始广泛应用于纺织、火车、轮船、机械加工等行业.这样人类大量使用自然原动力终于成为现实，它对第一次工业革命及后来控制理论的发展有非常重要的影响.
此后大约100年内，控制研究关注的重点是对蒸汽系统中的温度、压力、液面及机器转速的控制.然而伴随着工业革命的深入，由19世纪中期至20世纪初，控制研究开启了新一轮大发展，控制理论也开始逐渐成形.
1854年，俄国机械学家和电工学家K.И.康斯坦丁诺夫发明电磁调速器.由于大型船舶开始使用，舵面转向因流体动力学的改变变得更加复杂，同时操作机构与舵面之间传动机构的增多增大导致动作响应时间更加缓慢.为解决此问题，1868年，法国工程师J.法尔科发明反馈调节器，并把它与蒸汽阀连接起来，操纵蒸汽船的舵.经后人改进，他的发明被称为伺服机构.
继蒸汽机之后陀螺仪是又一个重要的自动控制装置.1907年，美国人E.A.Sperry在一艘船舶上安装了陀螺仪.1908年，德国人安休斯制成了第一架可以用于航行的陀螺仪.1914年6月18日，法国航空俱乐部举行的飞行器自动导航比赛中，L.Sperry驾驶单翼飞行器作低飞表演，他本人可以双手离开驾驶轮，直立于驾驶舱，他的飞行工程师则在主翼上来回漫步——增加横向干扰.这次飞行赢得了举世瞩目，同时也使世人了解了自动驾驶的可行性和安全性.1922年俄裔美国工程师米诺斯基在对船舶驾驶控制的研究中，率先提出了PID控制方法(proportional-integral-derivative控制).之后迅速广泛应用于各种工业系统的自动控制中.据统计目前工业上90%以上的控制回路采用PID控制.
由于瓦特发明的离心式调速器有时会造成系统的不稳定，使蒸汽机产生剧烈的振荡.之后又发现船舶上自动操舵机也有稳定性问题.这就促使一些数学家开始用微分方程来描述和分析系统的稳定性问题.在解决这些问题的过程中，数学家提出了判定系统稳定性的判据，从而积累了设计和使用自动调节器的丰富经验.
1868年，英国数学物理学家J.C.麦克斯韦发表《论调速器》，总结了无稳态偏差调速器理论.1876年，俄国机械学家И.А.维什涅格拉茨基在法国科学院院报上发表《论调节器的一般理论》，进一步总结了调节器的理论.1877年，英国数学家E.J.Routh提出代数稳定判据，即著名的Routh稳定判据.1895年，德国数学家A.Hurwitz提出代数稳定判据的另一种形式，即著名的Hurwitz稳定判据.Routh-Hurwitz稳定判据是当时能事先判定调节器稳定性的重要判据.1892年，俄国数学家李雅普诺夫发表《论运动稳定性的一般问题》的专著，从数学方面给运动稳定性的概念下了严格的定义，并研究出解决稳定性问题的两种方法.
上面方法基本上满足了20世纪初期控制工程师的需求，奠定了经典控制理论中的时域分析法.随着通信及信息处理技术的迅速发展，电气工程师们发展了以实验为基础的频域响应分析法.
1932年，美国物理学家H．奈奎斯特研究了长距离电话线信号传输中出现的失真问题，运用复变函数理论建立了以频率特性为基础的稳定性判据，奠定了频率响应法的基础.随后，H．W．伯德和N．B．尼柯尔斯在20世纪30年代末和40年代初进一步将频率响应法加以发展，形成了经典控制理论的频域分析法。1948年，美国科学家W．R．伊万斯创立了根轨迹分析方法，为分析系统性能随系统参数变化的规律性提供了有力工具，被广泛应用于反馈控制系统的分析、设计中.至此以传递函数作为描述系统的数学模型，以时域分析法、根轨迹法和频域分析法为主要分析设计工具，构成了经典控制理论的基本框架.
1948年，N.维纳发表《控制论，或关于在动物和机器中控制和通讯的科学》.该书阐述了控制理论的一般方法，推广了反馈的概念，奠定了控制论的基础，标志了控制论的诞生.1954年，我国科学家钱学森在美国运用控制论思想和方法，用英文出版《工程控制论》，首先把控制论推广到工程技术领域.
20世纪50年代中期，科学技术及生产力的发展，特别是空间技术的发展，迫切需要解决更复杂的多变量系统、非线性系统中的*优控制问题，如火箭和航天器的导航、跟踪和着陆过程中的高精度、低消耗控制，到达目标所需控制时间*小等.实践的需求推动了控制理论的进步，同时计算机技术的迅速发展也为控制理论的发展提供了必要条件，适合于描述航天器运动规律且便于计算机求解的状态空间模型又成为描述系统运动规律的主要模型.
1956年，美国数学家贝尔曼创立动态规划，同年苏联数学家庞特里亚金提出极大值原理，并于1961年证明并发表了极大值原理.1959年，美国数学家R.E.卡尔曼等提出了著名的卡尔曼滤波器，1960年，卡尔曼又提出能控性和能观测性两个概念，建立控制系统的状态空间理论.这样，以状态方程作为描述系统的数学模型，以*优控制和卡尔曼滤波为核心的控制系统分析、设计原理和方法的现代控制理论应运而生。
20世纪70年代至今，控制理论不断涌现出了新的成果.非线性控制、鲁棒控制、自适应控制、随机控制等理论与方法竞相争艳.从传递函数到状态空间，从PID控制到卡尔曼滤波，从蒸汽时代到电气时代再到信息时代，控制理论的发展始终与人类社会的发展紧密相连，并伴随着其他科学技术的发展，极大地改变了整个世界，是现代科学技术发展史的真实缩影.目前全球对先进制造、智能交通、医疗、能源和水资源等系统存在巨大的需求，而且这些系统必须在资源有限的条件下进行设计，这对控制理论提出了许多巨大的挑战.未来控制理论也必将在迎接这些挑战的过程中不断向前发展和创造新的人类文明.
第2章 预备知识
2.1 线性代数基础
2.1.1 方阵与特征值
定义2.1 数λ0称为方阵A的特征值，如果存在一个非零的向量ξ，使得
Aξ=λ0ξ(2.1.1)
且ξ称为方阵A的属于特征值λ0的一个特征向量.
n阶方阵记为A=(aij)n×n.实方阵记为A∈Rn×n.复方阵记为A∈Cn×n.
定理2.1 (1)方阵A的全体特征值之和为，称为A的迹，记为trA.A的全体特征值之积为det(A).
(2)令是A特征多项式，则
上面第二条称为Caylay-Hamilton定理.由此知对任意n阶方阵A总可以找到一个多项式f(λ)使得f(A)=0，此时我们称f(λ)以A为根.当然，以A为根的多项式很多，其中次数*低且首项为1的以A为根的多项式称为A的*小多项式，记为m(λ).A称为循环方阵，如果m(λ)=f(λ)，即*小多项式m(λ)的次数为n.
2.1.2 矩阵的Kronecker积
定义2.2 设，则称如下矩阵为A与B的Kronecker积，也称张量积.
性质2.1 设，则有以下表示.
(1)数乘.
(2)分配律:设A，B的阶数相同，C为任一矩阵，则.
(3)结合律.
(4)转置.
(5)混合积:设，则.
(6)逆:设，若A.1，B.1存在，则也存在且
(7)迹:设，有
下面的矩阵行展开和列展开都是指按行或列的次序把矩阵元素重排得到一个向量.
定义2.3 (1)行展开(拉直).
(2)列展开(拉直).
性质2.2 (1)转置.
(2)积的展开:如果矩阵A，B，X符合乘法的阶数，则
证明:我们只需要证明.1.令矩阵的第i行为，则有
(2.1.3)
于是
可类似证明.
2.1.3 矩阵函数
设f(s)是变量s的函数且在s0附近解析，则f(X)可以展成一致收敛的幂级数.又设方阵X∈Cn×n，我们按幂级数方式定义矩阵函数f(X)为
(2.1.4)
为简单起见，考虑函数在原点展开，设.当(ρ为收敛半径)，幂级数收敛，则对矩阵幂级数来说，当X的所有特征值的模都小于ρ时，收敛;当X有一个特征值的模大于ρ时，就发散.特别地，我们有以下成立.
(1)对任意方阵X都收敛.
(2)当X的所有特征值的模小于1时该幂级数方阵收敛.
(3)X的所有特征值的模小于1时，收敛.
2.1.4 矩阵微分方程与矩阵方程
如果函数矩阵
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