第1章 火箭飞行力学基础
顾名思义，“火箭发动机原理”这门课程是与火箭相关的。现代意义上的火箭发动机仅是火箭的多个组成部分中的一个，故学习火箭发动机之前宜先认识火箭整体的轮廓。
火箭与飞机是不同的飞行器，描述其间的差别，可以从对“推进”这个术语的解释来切入。
1.1 喷气推进概念
“推进”的含义为何？从一个比较宽泛的意义上讲，推进指对飞行器施加一个机械力的作用，使其运动状态发生改变。进一步考察该力作用于飞行器的效果，可能有三种。
(1)飞行器之前静止(当然是相对于某一参考系)，受到推进作用后运动起来。
(2)飞行器之前已经在运动，受到推进作用后速度(注意它是矢量)变化。
(3)推进作用与飞行器正在接触的介质(如大气层内的气体)的阻滞作用互相抵消，使飞行器维持运动状态不变。
从当前中学生能够认识的水平上看，意欲对大气层内或者太空中的飞行器施加一个力的作用，这不是一件能够一目了然地看清途径的事情。但是对于如下描述的效果，仅需依据经典力学的动量定理即可理解：从飞行器上向外抛射物质，飞行器将受到一个反作用力。进一步为获得连续、稳定的反作用力，需以气流的形式向外抛射物质。这就自然地引出了“喷气推进”的概念：通过向外喷射气体使飞行器受到一个反作用力，用以改变飞行器的速度或者克服飞行器受到的阻力。
火箭推进是一种喷气推进，指所喷射的气体全部来源于飞行器自身携带的物质。一般将采用火箭推进的飞行器称为火箭。另一种喷气推进是吸空气式推进，指所喷射的气体的全部或者部分来源于飞行器从大气层吸入的空气。通常所说的喷气式飞机即吸空气式推进的飞机。
至此，可以从一个角度说，火箭发动机是将飞行器自身携带的用于推进的物质转化成向外喷射的高速气流的装置。这些用于推进的物质称为推进剂。下面仅从质点运动力学的角度探讨火箭速度增量方程的意义。
1.2 火箭速度增量方程
如前所述，火箭发动机因向外喷射气体而产生作用于飞行器的反力，姑且笼统地称飞行器受到一个推力，用 F表示。向外喷射的气体的速度是以飞行器为参照物来描述的，用 c表示。以符号表示流出火箭的质量流率，根据动量定理，火箭受到的推力为
(1-1)
注意，质量流率 m.与火箭的外部环境及飞行状态均无关，这是火箭不同于飞机的一个属性。
关于气体喷射的速度c，这里需要补充说明。若细致考虑气体流出飞行器产生的推力，必须计及气体在出口面上对火箭内气体的压力反作用；若该压力反作用小到可忽略的地步，火箭的出口面处气体必然已经极大膨胀，气体分子之间近乎无作用力。如此可将c理解为气体等效地以质点系形式离开飞行器的速度，各质点的速度相同。
考虑从地球表面向上竖直(“竖直”指沿着地球重力或者笼统地称为引力的方向)飞行的火箭，用 g表示重力加速度。对于某一时刻的火箭，其质量表示为 m，速度表示为 u，依牛顿第二定律得
(1-2)
前面引入的排出气体的质量流率m.与火箭质量m的变化率的关系为
式(1-2)可变换为
(1-3)
式(1-3)积分为
(1-4)
式中，h为海拔；为海拔g h处的重力加速度。和均为海拔的函数。后面将详述，海拔对实际火箭发动机的等效气体喷射速度是有影响的，是通过大气压强(记为 pa)显现的。(实际上，大气压强随海拔变化对飞机飞行特性的影响更显著。
大气压强随海拔变化的关系近似表示为
(1-5)
式中，h的取值单位为 km，重力加速度随海拔变化的关系，近似表示为
(1-6)
式中，为地球海平面处的重力加速度；为等效的地球半径。若将和均视为常量，则有
(1-7)
式(1-7)为在地球表面低空域、短暂、竖直飞行且忽略了空气阻力的火箭速度增量方程。在宇航领域，更常用的齐奥尔科夫斯基方程是无引力、无阻力空间中火箭直线飞行的速度增量与其质量变化之间的约束关系，表示为
(1-8)
式中，uf为对应于质量变化到mf时的飞行速度。式(1-8)表明：速度增量.u与等效的气体喷射速度c成正比，且与初-终态质量比(mm)的自然对数成正比。可见，初-终态质量比的影响效果因被取对数而削弱。
1.3运载火箭重力损失和*优加速度
现在分析发射航天器进入低地球轨道(low earth orbit，LEO)的任务。执行上述任务的火箭称为运载火箭。
补充一个假设：气体喷射的质量流率为常量。利用式(1-1)，将飞行中火箭质量变化表示为
(1-9)
式中，a0为初始推力加速度，其值等于推力除以火箭初始质量。欲使火箭能离开地面，需要。组合式(1-7)和式(1-9)消去t，得
(1-10)
式(1-10)将终-初态质量比表示为速度增量与气体喷射速度的比值(简称速度增量比)的隐函数，并且以初始的推力加速度 a0作为参数。式(1-10)等号的右手侧的第二项常称为重力损失，即对应于相同的火箭初-终态质量比，有重力环境与无重力环境相比少获得的速度增量。当初始推力加速度增大时，要求气体质量流率 m.增大，达到相同的初-终态质量比所需要的时间缩短，因而重力损失相应减小，所获得的速度增量变大。
由此引发一个问题：为何不采用非常大的初始推力加速度 a0来获取尽可能大的速度增量呢？欲厘清此问题，必须检视加速度对发动机质量的影响。可将火箭的初始质量分解为如下部分：
(1-11)
式中，mstru为结构质量；meng为发动机质量；mpay 为有效载荷质量；mprop为推进剂质量。
记全部推进剂被消耗的时刻为tb ，此时的质量比为
(1-12)
式中，m.为推进剂占火箭初始质量的份额。显然，越小或者等价地，越接近1，火箭所能达到的速度增量比越大。然而，速度增量比有上限，这个上限是由*小的终-初态质量比决定的。*小的终-初态质量比为
(1-13)
仅由式(1-13)分析，人们期望在给定有效载荷质量分数前提下，尽力发掘技术潜力，使火箭结构和发动机的质量分数( m.与m.)达到*小值。现在引入.表示发动机的重量strueng与其所产生的推力之比：
(1-14)
式中，为初始推力加速度与重力加速度之比。现在有
(1-15)
对应于时刻ttb，由式(1-10)得
(1-16)
式(1-16)等号右手侧的表达式中，为表征技术水平的发动机重量与推力的比例关系的常量；为设计可选择的变量。就影响趋势而言，对数项(理想速度增量)随n的nag增大而减小，但同时重力损失项也随 n的增大而减小。因此，存在对 n进行选择以获得*大速度增量的机会。式(1-16)等号右手侧的表达式对 n取导数，并令导数为0，得
(1-17)
由上述关于变量n满足的二次方程，求得*优值为
(1-18)
关于火箭结构质量分数与发动机的重量-推力比，在当前技术水平上，合理的估计值为.
利用上述数值，依式(1-18)，可绘制以有效载荷质量分数为参变量的火箭可达速度增量比随其初始推力加速度与重力加速度比值变化的函数图像，如图1.1所示。以有效载荷质量分数为变量，绘制 nopt与*大的火箭速度增量比之间的函数图像，如图1.2所示。
图1.1 火箭可达速度增量比随初始推力加速度与重力加速度比值的变化
图1.2 *优的初始推力加速度与重力加速度比和*大速度增量比随有效载荷质量分数的变化
有趣的结果是， n取值范围很小，为3～4。现实中的速度增量是由任务决定的，例如，发射低地球轨道人造opt卫星的任务所需速度增量约为8km/s。图1.2所示，若所需要的任务速度增量大于火箭的喷气速度，火箭所能运载的有效载荷质量分数是很小的；或者从另一角度讲，即使有效载荷质量分数趋于0，所能达到的速度增量比*大状态为。
上述结论建立在仅仅考虑重力影响的基础上。若考虑更多的因素，如空气阻力，则结果将出现较大差异。因为 nag的大数值意味着在低海拔达到大的飞行速度，这个空域的空气密度大，阻力损失大。
1.4 火箭分级
首先解释“级”的概念。
级是包括推进剂、发动机、装载推进剂的储箱、储箱和发动机的连接件的装置，是具备飞行功能的*小火箭。此处所言，*小火箭指无有效载荷，飞行功能不包含导航、制导与控制功能。级和与其固连飞行的其他部分合称为火箭。火箭的级之外的部分称为火箭的有效载荷。
本节为简化分析，将发动机、装载推进剂的储箱、储箱和发动机的连接件这三部分归并为级的结构，如此级的质量由两部分组成：推进剂和结构。一个发射人造地球卫星的火箭通常包含多个级。按照工作先后次序，将这些级区分为第一级、第二级等。如图1.3所示，第二级(初始总质量记为)和有效载荷(卫星与整流罩的组合体)称为第二级火箭；完整的第二级火箭(总质量记为)又可以看作第一级(初始总质量记为的有效载荷，二者构成第一级火箭总质量记为。
图1.3 火箭分级示意图
火箭分级的目的在于避免加速空的储箱。为简单起见，考虑一个两级的火箭。第一级和第二级的质量比例是一个需要优化的量：若第一级偏小，第二级的储箱就会较重，它将被加速到*终的速度；若第一级偏大，第一级的重储箱也将被加速很长时间。下面的分析将说明：在火箭两级的气体喷射速度和结构质量分数都相等的条件下，理想的对称分级是使两级各自产生的速度增量相等。这种做法对于一般的情况是一个较好的近似。
以图1.3所示火箭为对象，利用忽略重力损失的理想火箭速度增量方程分析各级质量分配问题。将火箭的结构质量分数简记为，对于两级中的任一级，它是一个常量(都是用本级火箭的初始质量去除本级火箭的结构质量所得数值)；同时假设两级的气体喷射速度也相等(现实中第一级的气体喷射速度稍小而推力更大)。*终的有效载荷质量为
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