第1章 绪论
在先进制造工业过程中，如半导体制造、材料工程、化学工程、工业热过程等，都属于典型的分布参数系统(distributed parameter system， DPS)[1-4]。这些过程的输入、输出，甚至是过程当中的一些参数不仅随着时间的变化而变化，也根据空间位置的不同而不同[5，6]。典型的分布参数系统有工业热过程[7，8]、流体过程[9-11]、对流扩散反应过程[12-14]、柔性悬臂梁系统[15-17]、化学气相沉积过程[18，19]等。近年来，传感器技术、控制器技术和计算机技术等的飞跃发展，使得对这类分布参数系统的研究越来越热门[4]。关于分布参数系统的建模与控制方面的研究取得了重大进展[20-25]，并且这些成果已成功地应用到了一些先进的工业过程当中。分布参数系统的建模是对系统进行集中分析、控制、优化设计及在线应用的基础。因此，本章着重介绍分布参数系统的建模方法。
1.1 工业热过程介绍
本书主要针对工业上广泛存在的三种热过程，即化学反应棒、芯片固化炉和锂离子电池，研究新型时空智能建模方法及其在这些过程中的应用。关于这三个过程的介绍如下。
1.化学反应棒
化学反应棒是化学工业中一个典型的一维热过程，如图1.1所示，该过程是一个运输-扩散反应过程。均匀反应棒AB放置在绝热容器内，反应物从A端进入，在均匀反应棒AB上完成反应后，生成物从B端输出，这是一个放热过程[26]。反应棒上的温度不仅随时间的变化而变化，也随空间的变化而变化。因此，均匀反应棒AB上的热分布属于分布参数系统。
图1.1 化学反应棒
2.芯片固化炉
图1.2为ASM公司生产的一种快速芯片固化炉。当对芯片进行封装时，固化过程是其中*重要的过程之一。芯片封装材料固化质量直接影响*终成品的质量及其使用寿命。芯片封装材料固化所使用的设备即为芯片固化炉[27]。该固化炉的内部有一个拱形的加热板，它的作用是使炉腔内的温度场在同一水平面保持一致。炉腔下端有一个冷却板，它的作用是使炉腔内的温度在上下方向上形成一个温度梯度，这样可以满足芯片在不同固化阶段所需的不同温度的要求。氮气预热板与加热板直接相连，固化过程开始之前，从炉子上方通入氮气进行预热。通入氮气的作用是使得炉腔内的温度均匀分布，并且在固化过程中防止固化材料在高温条件下被氧化。当芯片固化开始时，需要固化的芯片通过入口进入炉腔，并且放置在载物台上面，载物台可以上下移动。芯片固化完成后，便通过出口输出腔体外。芯片固化质量对温度的分布要求非常高，因此获得固化炉内的温度分布模型具有重要意义。
图1.2 芯片固化炉结构示意图
3.锂离子电池
随着电池技术以及汽车工业的发展，电动汽车和混合动力汽车逐渐成为一种趋势。它们的使用可以有效节约能源以及减少污染物排放[28]。这类汽车主要使用锂离子电池作为动力源。锂离子电池的使用寿命、安全性等性能都与其热动态特性紧密相关[29]。锂离子电池的温度不仅与时间有关，还随着空间的变化而变化，因此锂离子电池的热动态过程属于典型的分布参数系统[30]。锂离子电池内部存在着极其复杂的电化学反应，仅仅依靠机理很难获得电池的精确偏微分描述，因此基于数据的时空建模方法对于锂离子电池热动态过程的研究非常关键。
以上介绍的三个热过程都属于典型的分布参数系统。对于锂离子电池等工业复杂热系统，很难获得它们的精确模型，主要原因可以总结如下。
(1)非线性时空耦合动态：热过程的物理方程一般用非线性偏微分方程来描述。这种时空耦合动态很难通过机理知识来直接获得，并且对于这种方程的直接计算或者离散处理计算代价很高。
(2)不确定性：由于环境因素、测量精度以及未知因素的影响(如电池的寿命)，系统存在未知动态的影响。对于一些复杂系统，往往会存在一些时变的动态，导致模型获取非常困难。
(3)非齐次边界条件：分布参数系统的非齐次边界条件很难获得。它们往往具有强非线性特征，并且随着外界因素的变化，存在一些未知边界条件。
1.2 分布参数系统建模研究现状
1.1节介绍的三种工业上广泛存在的热动态过程都属于分布参数系统，这类系统的输入、输出，甚至过程参数不仅随时间发生变化，还和空间分布有关。在数学上，这类系统可以用偏微分方程(partial differential equation， PDE)来描述[5]。由于这类系统具有空间分布的特性，本质上它们属于无限维的系统。这一特点使得这类系统的建模复杂度远远大于集中参数系统(lumped parameter system， LPS)。此外，无限维的分布参数系统不能够直接进行控制[31-33]，并且在测量系统的输出信号过程中只能安装有限个传感器，所以无限维的分布参数系统必须近似为一个有限维的分布参数系统。因此，模型递减技术对于分布参数系统建模非常重要。为了方便理解，假设分布参数系统的偏微分方程可以表达为
(1.1)
边界条件为
初始条件为
根据傅里叶变换原理，任意的非线性连续函数都可以用傅里叶级数来展开[34]。因此，时空变量y(x， t)可以沿一组空间基函数进行投影展开：
(1.2)
由上可知，时空变量可以分解成一系列的空间基函数及其相对应的时序模型。对于抛物型分布参数系统，空间基函数在空间频域上的序列是由慢到快排列的，由于快的序列对于分布参数系统的贡献非常小，一般可以忽略不计，这样前n个慢的序列将会用来近似整个系统的动态特性[35]。因此，在实际应用中，式(1.2)可以近似为
(1.3)
由上可知，分布参数系统的模型递减往往伴随着空间基函数的学习。在空间基函数学习好以后，便可以采用传统的集中参数建模方法来确定空间基函数所对应的低阶时序模型。*终通过时空集成，分布参数系统的时空动态特性可以重构获得。这种基于时空分离的分布参数系统建模框架如图1.3所示。综上所述，模型递减技术与空间基函数学习对分布参数系统模型的精度有着至关重要的影响。分布参数系统建模一般分为模型已知的分布参数系统建模和模型未知的分布参数系统建模两类。
图1.3 基于时空分离的分布参数系统建模框架
1.3 模型已知的分布参数系统建模
1.3.1 加权残值法
当分布参数系统模型已知时，加权残值法(weighted residual method， WRM)是使用*有效和*广泛的一种模型递减方法[35，36]。将式(1.3)代入模型(1.1)，偏微分方程的残值可以表示为
(1.4)
如图1.4所示，加权残值法的思想是使式(1.4)所表示的残值向权重函数的投影*小，其数学描述为
(1.5)
式中，是一组权重函数。
图1.4加权残值法的几何意义
式(1.4)的*小化残值可以转化为*小化权重函数方向的投影。加权残值法的精度对基函数与权重函数的选取依赖性很高，因此如何选择合适的基函数与权重函数非常重要[35]。有多种方法可以用来选取基函数与权重函数，*常用的方法是Galerkin方法和配点法。
1. Galerkin方法
如果权重函数选择为空间基函数，那么这种方法可以称为Galerkin方法[35，36]。这种方法的优点是残值与每一个空间基函数都是正交的，因此，方程(1.4)的*优解即为n个空间基函数。Galerkin方法*终只需确定空间基函数即可，所以具有简单有效的特点。
2.配点法
配点法所使用的权重函数为Dirac delta函数[36]。配点法的目标是使得残值在配置点处为0，因此，配置点的选择非常关键。幸运的是，许多数学理论证明这些配置点可以以一种*优的方式自动选择，如空间正交多项式的零点等[37，38]。
Galerkin方法和配点法都属于线性的模型递减方法，它们对于线性分布参数系统非常有效。由于快系统和慢系统具有一定的耦合作用，而在模型降阶过程中，我们往往直接忽略快系统的影响，因此也会形成与快系统耦合的一些慢系统特征。
3.近似惯性流形方法
为了提高建模精度，可采用近似惯性流形(approximated inertial manifold， AIM)等非线性模型递减方法[39]进行建模。值得注意的是，对于许多分布参数系统，惯性流形可能不存在，或者很难被找到。近似惯性流形方法可以把快系统看成慢系统的函数从而对慢系统进行补偿[40-42]，即使惯性流形不存在，或者很难找到，也比Galerkin方法和配点法更加有效。获得近似惯性流形的方法主要有以下三种。
(1)假设快系统处于伪稳定状态，可以得到稳定流形[43]，通过忽略快系统的动态信息，便可以用稳定流形来近似惯性流形。
(2)考虑到快系统的动态信息，可以用隐式欧拉方法对快系统在短时间尺度上进行积分来获得近似惯性流形[40]。
(3)为了进一步改善流形的近似精度，在某些特定条件下，基于奇异扰动理论的方法可以以任意精度来构造近似惯性流形[26，42]。
1.3.2 有限差分法
有限差分法(finite difference method， FDM)是用来求偏微分方程数值解的非常流行的方法[44，45]，它得到的空间基函数是局部的。采用有限差分法可以将时空变量在定义的时间和空间域内划分网格并进行离散化处理。如图1.5所示，将时空变量对空间和时间的偏导数在每个离散点附近使用泰勒级数进行前向、后向或
图1.5 有限差分法的几何表示
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