第1章 优化控制研究概述与关键问题分析
陈杰1，刘淑君2，辛斌3，4
（1．同济大学；2．四川大学数学学院；3．北京理工大学自动化学院；4．复杂系统智能控制与决策国家重点实验室）
摘要：本章从优化问题和优化方法两个角度概述了控制系统的优化面临的若干问题和当前的研究热点与难点，并重点从智能优化和极值搜索两个方面对国内外的相关优化控制方法与应用研究进行了介绍和分析.
关键词：优化控制，智能优化，极值搜索
1.1 引言
对于任何系统，只要在设计开发或运行管理等方面有指标要求，就必然有优化问题存在.将优化方法应用于控制系统的各个环节和层面来实现控制系统的分析、设计与管理，我们称之为优化控制（optimized control）.与*优控制（optimal control）相比，二者的主要差别在于，优化控制不纯粹追求*优性（optimality），而是注重有限时间的可解性和解的满意度.而且，*优控制在一般意义上指的是控制策略的优化，这一研究方向的发展过程基本上是沿着贝尔曼（R. R. Bellman）、庞特里亚金（L. S. Pontryagin）、卡尔曼（R. E. Kalman）这三位学者在20世纪50年代的开创性研究发展的.我们把这种通过对控制策略的优化而实现的控制称为狭义优化控制，而把更一般的控制系统的优化控制称为广义优化控制.当系统采用的方法（无论是优化方法还是控制方法）属于智能方法时，称为智能优化控制（intelligent optimized control）.文献［1］对智能优化控制的相关研究进行了介绍，并分析了智能优化、智能控制、智能优化控制、优化控制这些基本概念之间的联系与区别.
无论是控制系统中的优化问题，还是其他领域中更一般的优化问题，其求解思路总体上都可以分为三种典型类型：
（1）理想情况下通过*优性条件可以得到解析*优解；
（2）在难以得到解析解的情况下可以通过搜索的方法得到*优解或满意解；
（3）当难以得到解析解且存在较强的计算实时性要求时，可以利用问题领域知识建立构造性方法直接构造出可行解.
另外，优化问题的求解还与优化问题的建模密切相关，通过模型的变换、逼近、简化等手段使问题可以采用较为成熟的优化方法进行求解也是一种典型的思路，如非线性函数分段线性化或凸化、整数变量松弛为实数等.但其具体实现也可以归结为上述三类思路.
我们可以根据优化问题的三要素—“优化变量”“目标函数”和“约束”，对各种优化问题进行分类，控制系统中的优化问题也不例外.
从优化变量来看，问题的解可以是连续变量或离散变量，甚至是二者的混合形式，对应的优化问题分别称作连续优化、离散优化、混合变量优化.在控制系统中，与控制器、传感器、执行器相关的参数设计主要是连续优化问题，而系统中各种资源的部署、分配、调度等决策层面的问题则往往体现为离散优化或者混合变量优化，复杂系统中的优化控制问题往往同时包含连续变量与离散变量的优化.在*优控制问题中，问题的解往往以泛函形式体现，通过变分法、极大值原理等分析工具确定*佳控制策略，从而得到解析*优解.但是，在工程实际中，随着对象和任务环境的复杂化、非线性与不确定性程度的增加，这种通过解析方法确定*优控制器的方法往往难以实现.因此，将控制器参数化并在此基础上确定*优或满意的控制器参数成为一种可行的研究方法.
从目标函数来看，根据目标函数的性态，可以将其分为单模态函数或多模态函数，单模态函数只有唯一的局部*优解（即全局*优解），多模态函数则包含多个甚至大量局部*优解.对于单模态函数，可以采用梯度搜索方法得到*优解；而对于多模态函数，当问题规模较大、模态高度复杂时，一般方法难以在有限时间内保证*终解的*优性.在实际系统的优化控制中，我们经常遇到多模态函数，多模态特性是造成系统优化控制复杂性的一个重要因素.
根据目标函数是单个函数还是多个函数，可以将优化问题分为单目标优化和多目标优化.多目标优化的核心在于找到不被任何解支配（nondominated）的帕累托*优（Pareto optimality）解，由于不同目标之间的冲突，帕累托*优解往往不唯一，因此需要得到帕累托*优解集并*终根据决策者的偏好做出适当的选择，其复杂性往往高于单目标优化.当系统涉及的目标数量很多时，不同解之间很明显地体现出互不支配的关系，因此比较解的优劣更加困难，这导致算法难以收敛，而且解的多目标可视化展现也成为难点.复杂系统的控制往往包含了大量的冲突目标，如效率与成本这两个*基本的目标是绝大多数控制系统不得不进行协调和权衡的，决策者必须在二者之间做出某种程度的折中.
从约束来看，优化问题可以分为约束优化和无约束优化，约束的存在使得一些解变成无法接受的不可行解，因此约束满足是约束优化中的一个重要问题，约束优化问题求解的目标是获得满足约束的*优可行解.与此相比，无约束优化则可以把整个搜索过程集中到*优解的搜索上.绝大多数实际问题都是存在约束的，甚至包含很强的约束，这导致获得问题的可行解变得非常困难.强约束的存在会明显增加问题的求解难度，甚至成为系统优化控制的瓶颈.从技术手段方面来讲，在对问题有清晰认识的基础上，目标函数与约束可以相互转化，以便更有效地处理.
根据问题本身是否包含不确定因素，可以将问题分为不确定性优化和确定性优化.优化问题的三个要素都可能包含不确定性，对于不确定性优化问题，我们需要考虑不确定性带来的决策风险，因而需要建立适当的策略来评价不确定性对优化过程造成的影响.其求解目标是获得某种风险意义下的*优解.
根据目标函数或/和约束函数是否随时间变化，可以将问题分为静态优化和动态优化，静态优化问题的*优解是不变的，而动态优化问题不仅要得到*优解而且还要跟踪*优解的变化.显然后者的难度更高，但在工业过程控制、航天航空控制、交通网络控制等复杂的控制系统中，动态优化问题非常普遍.问题的快速时变特性往往是造成系统优化控制困难的一个重要瓶颈.
根据上述分析，*基础的优化问题是单模态（unimodal）、无约束（un-constrained）、单目标（single-objective）、静态（static）、确定性（deterministic）的连续优化（continuous optimization）问题（简称 UUSSDCO）.与此相比，多模态（multimodal）、强约束（strongly constrained）、多目标（multi-objective）、动态（dynamic）、不确定性（uncertain）的混合变量优化（hybrid-variable optimization）问题（简称 MSMDUHO）则是*困难的.这是优化问题难度谱系里的两个极端情况.
从实际问题来看，除上述因素外，造成问题难解性的因素还包括问题的维度、问题的计算复杂度（包括时间复杂度和空间复杂度）以及问题求解的实时性等，甚至很多实际问题在建模方面也存在困难.通常，问题的规模越大，解空间的维度越高，问题涉及的计算量就越大，问题的求解难度也越高.问题的计算复杂度反映了问题求解的时空代价随问题规模的变化规律.我们希望能够在较大的规模范围内以可接受的代价实现问题的*优求解，因此问题的计算复杂度不能太高.对于计算复杂度高的问题，往往只能牺牲解的质量，在限定时间和资源内尽可能找到较优的解.问题求解的实时性是与具体求解任务密切相关的，如果问题的计算复杂度很高，即使问题规模不是很大时，找到*优解的计算时间也可能就已经超出了人们可忍受的范围.人们可忍受的范围是一个相对概念，与问题的应用背景和实际情形有关，可以是1年、1个月、1周、1天、1小时、1分钟、1秒钟甚至更小.而且，这个范围也可能是动态变化的.这个可忍受的范围越小意味着对问题求解的实时性要求越高，因此问题的求解难度也会相应增加.因为计算实时性的限制，在解决很多实际问题时，我们不得不在求解质量和计算代价之间做出平衡和折中.
在一般意义上，优化问题的求解涉及问题、人、机器（包括硬件和算法）三个方面，这三个方面及其相互关系甚至构成了优化研究的哲学体系.关于优化的多数研究只关注问题与机器这两个方面，其中问题层面侧重建模，而机器层面则更多集中于优化算法的研究.在决策科学的范畴内，人的因素被更多地考虑和研究.鲜有学者将三者纳入到统一的框架下进行更为系统和全面的研究，而实际上复杂系统的控制往往与这三个方面都存在着紧密的联系.
下面将从两类优化控制方法的角度对相关研究进行论述和分析，这两类方法分别是智能优化控制和基于极值搜索的优化控制.前者的范畴更广一些，具体的方法种类繁多；而极值搜索是控制理论领域产生的一种典型优化方法，近十年来在系统控制相关的研究中得到了广泛的应用.
1.2 智能优化控制
文献[1]根据优化方法在控制系统中的应用位置对不同的智能优化控制方法进行了分类.控制系统包括辨识器、滤波器、估计器、传感器、执行器、控制器、故障诊断器、规划器、决策辅助器等，其中规划器和决策辅助器处于控制系统的高层，而其余环节在控制系统中处于较低层次.根据优化方法作用的环节在控制系统中所处的层次，将智能优化控制分为高层智能优化控制和低层智能优化控制.
控制器的优化是智能优化控制*基本的形式，属于低层智能优化控制，可以进一步细分为控制器的智能优化、智能控制器的优化、智能控制器的智能优化三种类型.在控制器的智能优化中，控制系统的主通道里未采用智能控制，但其运行调节采用了智能优化方法，如 Sahu等采用萤火虫算法与模式搜索的混合优化算法对模糊比例-积分-微分（PID）控制器进行优化调节，实现了多区域的电力系统负载频率控制［2］.在智能控制器的优化中，控制器采用了智能方法（如模糊控制器、神经网络控制器），但优化过程未采用智能优化方法.在智能控制器的智能优化中，控制方法和优化方法都是智能的，如 Marinaki等采用多目标差分进化算法对模糊控制器进行优化，实现了一种灵巧结构的振动抑制［3］.
系统规划和辅助决策层面的优化属于高层智能优化控制，如 Li等采用无中心的自适应模糊控制实现航天器用大型空间桁架结构的振动控制，其中采用了遗传算法优化传感器和执行器的布局［4］.
根据智能控制方法的典型分类，智能优化控制可以分为模糊优化控制、神经网络优化控制、模糊神经网络优化控制、单纯依靠优化方法的智能优化控制（不采用其他智能控制方法）以及其他智能优化控制类型.对于模糊推理系统而言，通常从规则的数量、类型以及具体的参数（如隶属度函数的参数）的角度对系统进行优化.对于神经网络方法而言，通常采用优化算法对网络的参数、结构和学习规则进行优化调节.单纯依靠优化方法实现的*典型的智能优化控制是利用优化方法对 PID控制器的参数进行优化调节.优化方法在其他类型的控制器优化设计中也得到了广泛应用，如一般的固定结构控制器、预测控制器、滑模控制器、自适应控制器、鲁棒控制器等.优化方法还常用于解决复杂系统控制中所涉及的各种资源规划、分配、调度等优化问题，这些
问题与复杂系统的控制有着密切的关系.另外，自适应动态规划（adaptive dynamic programming，ADP）方法也是解决非线性系统*优控制问题的一类常见优化方法，其实现方式多样，限于篇幅这里不作详述，感兴趣的读者可参考文献[5].
除了建立在某一种经典智能控制基础上的智能优化控制，智能优化控制还包括混合智能优化控制，具体分为以下三种类型.
（1）采用多种智能控制方法分别处理控制系统中的不同问题，优化方法只解决系统中的某个子问题；
（2）控制中采用了一种智能方法，但优化方法不针对这种智能方法引入参数的调节问题，也不直接用于控制器的优化；
（3）控制中采用了一种智能方法，优化方法直接用于控制器的优化
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