第1章随机事件与概率
在自然界和人类社会生活中，存在着两类不同的现象.一类是确定性现象，即在相同条件下试验或者观测，其结果是确定的.如在标准大气压下，纯水加热到100℃必然沸腾;异性电荷必然相吸;苹果必然落地等.另一类现象则不然，其在一定的条件下有多种不同的可能结果，并且事前无法预知确切的结果，称之为随机现象，即其结果随机遇而定.如抛掷一枚均匀的骰子，可能出现不同的点数;用同一门炮射击同一目标，各次弹着点不尽相同;某购物网站每天的访问次数上下波动;等等.
表面上看，随机现象在一次试验或观察中，时而出现这个结果，时而出现那个结果，呈现出偶然性.但长期实践发现，这类现象在大量重复试验或观察下，其结果却呈现出某种规律性.如抛掷一枚均匀的硬币，一次抛掷不能断定它将出现哪一面，但是如果多次重复抛掷，将会发现出现“正面”和出现“反面”的次数各占一半左右.这种在大量重复试验中所呈现出的固有规律性称为统计规律性.因此，随机现象具有偶然性和必然性的两重性，并且“在表面上是偶然性在起作用的地方，这种偶然性始终是受内部隐藏着的规律支配的”，两者辩证统一.
概率论与数理统计就是从数量的侧面来研究和揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科.
1.1随机事件及其运算
本节我们引入概率论的两个*基本的概念——样本空间与随机事件.
1.1.1样本空间
为了研究随机现象的数量规律，必然要对其进行“调查”？“观察”或“试验”，在概率论中，我们统称为随机试验或试验，记为E.随机试验具有如下特点:
(1) 可以在相同的条件下重复地进行;
(2) 试验所有可能的结果是明确可知的，且不止一个;
(3) 试验之前，不可预测出现的是哪一个具体结果.
把随机试验的每一个不能再分解的可能结果称为样本点，常用ω表示.由于随机试验的所有结果是明确的，从而所有样本点也是明确的.样本点全体构成的集合，称为样本空间，记为Ω.在具体问题中，定义样本点和样本空间是描述随机现象的第一步.
例1.1.1写出下列随机试验的样本空间.
(1) E1:抛均匀的骰子一次，观察出现的点数;
(2) E2:抛均匀的硬币两次，观察正？反面出现的情况;
(3) E3:某购物网站一天内的访问量;
(4) E4:校园内任选一人，量其身高;
(5) E5:单位圆内任取一点，记录其坐标;
(6) E6:一尺之棰，任意折成三段，观察各段长度.
解(1) 记ωi:出现i点(i=1，2， ，6)，则Ω1={ω1，ω2， ，ω6}，或记i:出现i点，则Ω1=1，2，3，4，5，6;
(2) 记H:正面，T:反面，则Ω2={(H，H)，(H，T)，(T，H)，(T，T)};
(3) 记i:网站被访问i次，则Ω3={0，1，2，3， };
(4) 记h为人的身高，则Ω4={h|0<h<3};
(5) 记(x，y)为点的坐标，则Ω5={(x，y)|0≤x2+y2<1};
(6) 记各段长度为x，y，z，则
Ω6={(x，y，z)|，0<x<1，0<y<1，0<z<1，x+y+z=1}
样本空间的建立，本质上是基于试验的目的对随机现象进行必要抽象，从而建立随机现象的数学模型.因此，同一个试验，基于不同目的可以建立不同的样本空间;反过来，一个样本空间也可以描述许多内容大不相同的实际问题.
1.1.2随机事件
对于随机试验，人们关心的是某类试验结果是否出现.这些结果带有随机性，称之为随机事件，简称事件，通常用大写的字母A，B，C等表示.
从集合论的观点来看，样本空间Ω包含了全体样本点，而随机事件是由某些特征的样本点所组成的，因此一个随机事件可以看作样本空间Ω的一个子集.如在上例E1中，若关心掷出的点数是否为偶数，记随机事件A=出现偶数点，则A=ω2，ω4，ω6，它显然是样本空间Ω1的一个子集.
我们把事件定义为随机试验E的样本空间Ω的子集.称某事件发生，当且仅当它所包含的某一个样本点在试验中出现.特别地，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件;
样本空间Ω是自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中必然出现Ω的某个样本点，即Ω必然发生，称Ω为必然事件;
空集也是Ω的子集且不包含任何样本点，即每次试验中都不可能发生，称*为不可能事件.
需要指出的是，必然事件与不可能事件严格意义上属于确定性现象，不是随机事件.但为了研究问题的方便，我们把它们作为随机事件的特例，正如在微积分中常数可视为变量的特例，这对今后事件的运算和概率的计算都是大有益处的.
1.1.3事件的关系与运算
由以上讨论，事件即为集合，故事件的关系与运算可以借助集合的关系与运算来表示.这种表示方式更为简洁且易于逻辑理解. 需要注意的是，它们在概率论中所表示的概率含义.
(1) 事件的包含及相等.若事件A发生必然导致事件B发生，即A中的每一样本点都包含
在B中，则称事件B包含事件A，或事件A包含于事件B，记为BA或AB.
若事件B包含事件A，事件A包含事件B，即A与B所含的样本点完全相同，则称事件A与事件B相等.记为A=B.
(2) 事件的和(并).
两个事件A，B中至少有一个发生的事件，称为事件A与事件B的和(或并).它是由事件A与B的所有样本点构成的集合，记为A∪B或A+B.
类似地，事件A1，A2， ，An中至少有一个发生的事件，称为A1，A2， ，An的和，记为A1∪A2∪ ∪An或A1+A2+ +An，简记为∪ni=1Ai或∑ni=Ai;事件A1，A2， ，An， 中至少有一个发生的事件，称为事件A1，A2， ，An， 的和，记为A1∪A2∪ ∪An∪ 或A1+A2+ +An+ ，简记为∪∞i=1Ai或∑∞i=1Ai.
(3) 事件的积(交). 两个事件A与B同时发生的事件，称为事件A与事件B的积(或交).它是由事件A与B的所有公共样本点构成的集合，记为A∩B或AB.
类似地，n个事件A1，A2， ，An同时发生的事件，称为这n个事件的积，记为A1∩A2∩ ∩An，简记为∩ni=1Ai或A1A2 An;而可列(可数)无穷多个事件A1，A2， ，An， 同时发生的事件，称为这可列无穷多个事件的积，记为A1∩A2∩ ∩An∩ ，简记为∩∞i=1Ai或A1A2 An .
(4) 事件的差.
事件A发生而事件B不发生的事件，称为事件A与事件B的差.它是由属于A但不属于B的那些样本点构成的集合，记为A-B.
(5) 互不相容事件. 若事件A与事件B不能同时发生，即A∩B=*，称事件A与事件B互不相容或称互斥).互不相容事件A与B没有公共的样本点.
(6) 对立事件.
若在一次试验中，事件A与事件B中必然有一个发生，且仅有一个发生，亦即事件A与事件B满足条件
A∪B=Ω，A∩B=*
则称事件B为A的对立事件(逆事件)，或称A是B的对立事件.A的对立事件是由样本空间中所有不属于A的那些样本点组成的集合.A的对立事件记为A.
对于事件的运算，还有下面的关系式:
(1) 交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A;
(2) 结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(AB)C=A(BC);
(3) 分配律(A∪B)C=AC∪BC;
(4) 对偶律A∪B=，AB=∪;
(5) A-B=A;
(6) =Ω-A;
(7) A=A.
这些规律按照集合论的语言均不难证明，请读者试着把它们“翻译”成概率论的语言并加以练习.
以上讨论结果的概率含义及其维恩(Venn)图表示见表1-1，图1-1.
表1-1
例1.1.2设事件Ak表示第k次取到了合格品(k=1，2，3)，则借助事件的运算关系和性质.
(1) 只有第一次取到合格品可表示为:A123或A1-A2-A3;
(2) 三次都取到合格品可表示为:A1A2A3;
(3) 三次至少有一次取到合格品可表示为:A1∪A2∪A3或123或A123∪1A23∪12A3∪A1A23∪A12A3∪1A2A3∪A1A2A3;
(4) 三次恰有两次取到合格品可表示为:A1A23∪A12A3∪1A2A3;
(5) 三次至多有两次取到合格品可表示为:A1A2A3或1∪2∪3或A1A23∪A12A3∪1A2A3∪12A3∪1A23∪A123∪123.
例1.1.3简化下列各式:
(1) (A∪B)(A∪);
(2) (A∪B)(A∪)(∪B).
解(1) 因为
(A∪B)(A∪)=AA∪A∪BA∪B
而
AA=A，B=*且A∪BA=A(∪B)=AΩ=A
故
(A∪B)(A∪)=A∪A∪*=A
(2) (A∪B)(A∪)(∪B)=A(∪B)=A∪AB=*∪AB=AB.
1.2随机事件的概率
研究随机现象的规律，就是要考察随机事件发生的可能性大小.随机事件的发生既具有偶然性，又具有统计规律性，即随机事件发生的可能性大小是客观存在？可以度量的，是由其自身所决定的内在属性，如同木棒有长度？平面区域有面积一样.我们把随机事件A发生可能性大小的度量(数值)称为A发生的概率，记作P(A).本节根据概率论发展的历史脉络给出概率的四种定义，并讨论概率的性质.
1.2.1概率的统计定义
定义1.2.1设事件A在n次重复试验中发生了nA次，则称比值nAn为事件A在n次试验中出现的频率，记为fn(A).
显然0≤fn(A)≤1.
人们通过实践发现，当试验次数n逐渐增大时，事件A发生的频率总会在某个确定的数值附近摆动，并且当n越大时，A发生的频率就越接近这个数值.历史上有不少人作过多次投掷硬币的试验，设A表示“出现正面”的事件，下面记录了几个人的试验结果(表1-2).
表1.2
由表1.2可以看出，投掷次数越多时，频率越接近于0．5，且逐渐稳定于0．5．这样，0．5这个数反映了事件A发生的可能性大小．这种特性就称为随机事件发生的频率稳定性．在日常生活中，英文26个字母的每个字母被使用的频率相对稳定，常数π的小数位各个数字出现的频率相同，甚至某人的衣服或用具总在同样的部位以相似的方式破损，等等，都是频率稳定性的体现.
定义1．2．2 在相同的条件下进行n次重复试验，事件A发生的频率总是在［0，1］上的一个确定的常数p附近摆动，并且稳定于p，则称数值p为事件A发生的概率，记为P（A）=p.
概率的统计定义不仅肯定了事件概率的存在性，而且给出了一个近似计算概率的方法.人们现实生活中所说的各种百分率（如出生率、命中率、中奖率、合格率、升学率、及格率等）均可理解为相应事件的概率，其严格的理论依据我们将在本书第5章中讨论.
1．2．2古典概率
一个随机试验E若具有下列两个特征，则称E为古典概型随机试验.
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