第1章典型方程及其定解问题
数学物理方程是一个十分广阔的领域，一般是指由物理学、力学和工程技术问题中导出并反映物理量之间关系的偏微分方程和积分方程等.作为基础教材，本书将致力于讨论三类典型的线性偏微分方程，即线性双曲型方程、线性抛物型方程和线性椭圆型方程，研究其定解问题的建立、解析求解的方法及其解的适定性问题.
1.1偏微分方程的基本概念
当研究依赖多个自变量的运动过程时常常会遇到偏微分方程.通常称一个含有多元未知函数及其偏导数的等式为偏微分方程，其一般形式为
(1.1)
其中u为自变量x1，x2， ，xn的多元函数.函数F的变量中自变量x1，x2， ，xn与u对自变量的低阶导数可以不出现.例如
(1.2)
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
(1.7)
(1.8)
等都是偏微分方程，其中a(x，t)，b(x，t)，c(x，t)，f(x，t)为已知函数;α，K为常数;u为未知函数.
在偏微分方程中出现的未知函数偏导数的*高阶称为偏微分方程的阶.如上面给出的偏微分方程中，(1.3)为一阶，(1.8)为三阶，其他方程为二阶.
如果一个偏微分方程中，未知函数及其各阶偏导数都是一次，就称为线性偏微分方程.否则称为非线性偏微分方程(在许多偏微分方程的教材中，被称为非线性的偏微分方程更细致地分为拟线性、半线性和非线性方程).如上面给出的方程中(1.2)—(1.5)为线性的，(1.6)—(1.8)为非线性的.
偏微分方程中不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项，不含有自由项的方程称为齐次方程，否则称为非齐次方程.例如上面例子中的(1.2)为非齐次方程，其他均为齐次方程.
若函数u满足偏微分方程(即将u代入偏微分方程后，使其成为恒等式)，则称u为该方程的解.
以上概念与常微分方程完全一致.另外，在常微分方程中还有一个普遍出现的概念:通解，但在偏微分方程中很少出现.这是因为随着自变量个数的增加，寻找通解有时变得非常困难.一般说来，一阶偏微分方程的通解包含一个任意函数，二阶偏微分方程的通解包含两个任意函数，依次类推.
如果不考虑数学物理方程中的积分方程部分，则显然偏微分方程涵盖了数学物理方程.在数学物理方程的研究中，对自变量赋予物理意义，通常以t表示时间变量，以x，y，z表示空间变量，而把出现的空间变量的个数称为数学物理方程的维数，如(1.4)称为三维波动方程，而(1.5)称为三维Laplace方程，(1.3)、(1.6)、(1.7)和(1.8)分别称为一维对流方程、一维正则长波方程、一维非线性薛定谔方程和一维KdV(Korteweg-de Vries)方程.
1.2典型方程及定解条件的导出
本节我们将导出三个典型的二阶线性偏微分方程.
(1)波动方程:
(2)热传导方程(扩散方程):
(3)位势(Laplace)方程:
或这些方程的非齐次形式.此外，还将导出这些方程的定解条件.许多的数学物理问题都归结为求解上述偏微分方程的定解问题，因此求解这些方程的定解问题对物理、力学及工程问题的研究具有重要的意义，也构成了本书的基本内容.
1.2.1弦振动方程及其定解条件
现考虑弦的微小横振动方程及其定解条件.所谓弦的微小横振动，在物理上描述为:一长为l的柔软均匀细弦，两端沿直线拉紧后让它离开平衡位置，在垂直于弦的外力的作用下做微小横振动.为了将以上物理模型转化为数学模型，需要对该物理模型中一些名词的物理意义作如下解释:
柔软是指弦不抵抗弯曲，因此各点的张力沿该点的切线方向;
均匀是指弦上各点的密度相同;
细弦是指弦的重量与张力相比可忽略不计，即若用u表示位移，则有(g为重力加速度);
横振动是指弦的运动发生在一个平面内，而弦上各点的位移与平衡位置垂直;若取弦的平衡位置为x轴，则所谓微小振动是指.
建立如图1.1所示坐标系及振动示意图.
图1.1
图1.1中两个端点分别固定在x=0和x=l处，u(x，t)表示t时刻弦上的点x的位移，现用微元法导出方程.
如图1.1，在弦上任取微弧段ds=MM′，设两端的张力分别为T，T′，设f0(x，t)为作用在弦线上且垂直于平衡位置的外力密度(牛顿/米)，ρ为线密度(千克/米).
由于
故可认为该微弧段在运动的过程中未伸长.由胡克(Hooke)定律，弦上每点的张力在运动过程中保持不变，即张力与时间无关.根据横振动的解释，知M，M′在x轴上的对应位置分别为x与x+Δx，故张力在x方向的合力为零，即
其中，α，α′分别为张力T，T′与x轴的夹角.由于是微小振动，故有α≈0，α′≈0.从而cosα≈1，cosα′≈1，于是有T′=T.另外，微弧段ds在u方向上满足牛顿第二定律F=ma，即
由于，所以
对上式右端第一项括号内容应用Lagrange中值定理
于是
两端消去Δx后，令Δx→0，得弦的微小横振动方程
(1.9)
其中.此方程简称为弦振动方程.当f(x，t)=0时，称为弦的强迫振动方程，当f(x，t)=0时，即没有外力的情况，称为弦的自由振动方程.弦振动方程又称为一维波动方程.
值得注意的是，我们看到在方程的推导过程中，所有的符号“≈”都用等号“=”代替了，因此导出的方程只是对所给物理现象的近似描述.后面所有的方程及其定解条件亦如此.
类似地，在研究薄膜的微小振动时，可以得到所谓二维波动方程
(1.10)
(1.10)也称为薄膜的振动方程.在研究空间电磁波的传播等现象时，可以得到三维波动方程
(1.11)
弦振动方程描述了弦振动的一般规律，而其振动的具体状态还依赖于初始条件与边界条件.所谓初始条件，就是在初始时刻t=0时弦上各点的位移和速度
(1.12)
(1.13)
其中φ(x)和ψ(x)为已知函数，当φ(x)=ψ(x)=0时，称为齐次初始条件.
所谓边界条件就是弦在振动的过程中两个端点x=0与x=l满足的条件.*简单的边界条件是端点的位移规律是已知的，即
(1.14)
其中μ1(t)和μ2(t)为已知函数，这种条件称为第一类边界条件或Dirichlet边界条件.特别地，当μ1(t)=μ2(t)=0时，称之为齐次边界条件，这表示端点是固定的情况.
现考虑弦的端点被束缚在弹性支撑上，并且当弦振动时，弹簧只能在垂直于弦的平衡位置运动.以x=0为例，取弦上[0，Δx]内的小弧段，设在x=0处有一弹性系数为K0>0的弹性支撑(图1.2).
图1.2
此小弧段在x方向上受到的力有:在x=0的弹性恢复力.K0u(0，t)，在x=Δx处的张力在u方向的分量，以及所施加的外力f(t)，根据牛顿第二定律F=ma得
令Δx→0，得到
故在x=0处有
(1.15)
其中为已知函数，为已知常数.
类似地，若在x=l处也有弹性支撑，则可得到边界条件
(1.16)
其中μ2(t)为已知函数，σ2>0为已知常数.称(1.15)和(1.16)为第三类边界条件，或Robin条件.当μ1(t)=μ2(t)=0时，称为齐次边界条件.特别地，当K0≤T时，意味着弹簧很松软，约束力很小，这时称这端的弦是自由的，即
(1.17)
同理，若在x=l处满足上述情况，则也有
(1.18)
称(1.17)和(1.18)为第二类边界条件或Neumann条件，同理，当μ1(t)=μ2(t)=0时称为齐次边界条件.
初始条件与边界条件统称为定解条件.偏微分方程加上定解条件就构成了一个定解问题，定解条件中既有初始条件又有边界条件的定解问题，称为混合问题或初边值问题，如
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