曾祥远：男，1985年生。2008年北理工本科毕业，免试进入清华大学攻读直博，师从g家级教学名师李俊峰教授，2013年获力学博士学位，两次获得“北京市优秀毕业生”。博士期间曾赴美国Texas A&M University访学1年，外导为美国工程院与国际宇航联双院士Kyle T. Alfriend教授。毕业后在清华大学课题组继续博士后研究工作2年，现为北京理工大学自动化学院讲师。研究方向为小天体探测动力学与控制、轨道设计与优化。发表学术论文40余篇，其中SCI论文16篇，曾获博士后基金一等资助、博士后基金特别资助、北京理工大学优秀青年教师资助计划(2015年，全校共8人)等。曾参与自然科学基金重点项目、973课题等，担任Nonlinear Dynamics、IEEE TAES、ASR等国际期刊审稿人。参与撰写《深空探测动力学与控制》第十章。

李俊峰：清华大学教授，长期研究航天动力学与控制，获国家科技进步奖、教育部科技进步奖等，论著有《深空探测动力学与控制》，《太阳帆航天器动力学与控制》，《航天器相对运动轨道动力学》及120多篇SCI论文，主持国家自然科学重点基金、973课题、863课题等30多项。主编《理论力学

太阳系内已经发现的小行星数以百万计，它们形态各异，存在诸多不同于地球等大行星的奇特动力学现象。为深入理解和揭示上述现象的动力学机理，书中选取细长小行星为研究对象，分析不规则引力场特征及其绕飞探测器动力学特性等。全书共计6章，主要内容分为两大部分： (1)小行星引力场描述——不规则引力场建模方法、Chermnykh偶极子模型及其改进模型的动力学特性分析，包括引力平衡点分布、平衡点稳定性与局部流形等； (2)小行星引力场中质点动力学，包括自然周期轨道、广义甩摆轨道、太阳帆航天器本体悬停轨道等。本书可供航天动力学、深空探测等领域研究者参考，也可供对小行星探测感兴趣的人员阅读。

第1章绪论

1.1引言|

1.1引言

浩瀚星空宛若无垠的画卷，展示着难以名状的深邃之美。对未知好奇的天性与了解自然的渴求，激励着人们不断向深空迈进，在一次次伟大的冒险之旅中，尽情展现着人类的智慧、浪漫和一往无前的勇气。历经40多年的太空旅行(1977年发射)，携带着载有地球问候语金质唱片的“旅行者1号”已进入恒星际空间，且仍在不断刷新着深空的记录； 从日地L1点轨道“借走”去探测哈雷彗星的ISEE3探测器，在2014年8月与美国宇航局(NASA)的设计师Farquhar擦肩而过，再一次远离地球而去； 2000年的情人节，第一颗以小行星为直接探测目标的NEAR飞行器成功绕飞爱神星(433 Eros各章首次提到小行星时以“数字+名称”形式表示，如433 Eros，后文将略去数字)； 2011年，美国喷气推进实验室(JPL)的工程师们提出了一个疯狂的想法，拟邀请一颗小行星到地月系统“做客”； 2016年的7月31日晚，超期服役两年多的“玉兔号”月球车发出最后一条晚安的微博，从此长眠于月球［1］。上述故事仅撷取了深空探测大潮中的几朵浪花，面对星辰大海的征途，人类从未停止前进的脚步。

北京时间2014年11月13日凌晨，“菲莱”着陆器(Philae)在彗星表面成功着陆，成为人类历史上首颗着陆彗星的探测器。这是欧空局(ESA)“罗塞塔”(Rosetta)任务的一部分，该探测器于2004年3月发射，历经10年太空飞行，于2014年8月成功交会67P/ChuryumovGerasimenko彗星，并在绕飞三个月后成功释放着陆器［2］，图1.1分别给出轨道器及着陆器的特写。实际上，该项目早在20世纪70年代就被提出，于1993年批准实施，这个几乎穷尽一代科技人员职业生涯的伟大项目，无疑将小天体探测推向了新的高峰！尼罗河畔的罗塞塔石碑打开了通往古埃及历史文明的大门，人们以石碑之名命名该项目，就是希望它为人类揭开彗星是否为地球提供了生命所需的有机物等谜题，进而在研究太阳系及人类起源等问题中起到突破作用。

图1.1“罗塞塔”彗星探测器与“菲莱”着陆器示意图

(a) “罗塞塔”环绕探测器； (b) “菲莱”着陆器

太阳系内除了8颗大行星、已辨认的5颗矮行星(Dwarf planet)外，还存在着数以亿计的小天体，其中绝大多数是位于主小行星带的小行星，另外还包括彗星以及柯伊伯带(Kuiper belt)天体等。截至目前太阳系内发现的小天体逾110多万颗，它们大小不一、形状各异、轨道分布及自旋状态等亦不相同，为科学研究和航天探测带来了极大挑战。

相比于“西瓜”一样的大行星，“芝麻”大小的小行星不过200多年的研究历史。1801年意大利天文学家Piazzi发现了第一颗小行星——谷神星(1 Ceres，2006年被重新归类为矮行星)。受科技水平限制和人们观念的影响，小行星观测与研究工作进展非常缓慢，直至1970年被正式编号的小行星尚不足五千颗。在真正进入航天时代以前，人们只能通过地面观测获取小行星的数据。1971年“水手9号”(Mariner 9)探测器获得了火星卫星Phobos和Demos的照片，人类才首次揭开了小行星地形地貌的奥秘。20年后，木星探测器“伽利略号”(Galileo)飞越951 Gaspra小行星并拍照，1993年飞越243 Ida小行星时首次确认了太阳系内双小行星系统的存在［3］。图1.2展示了酷似马铃薯的Gaspra小行星(18.2km×105km×8.9km)、Ida小行星(59.8km×25.4km×18.6km)以及它的小月亮Dactyl(1.6km×1.4km×1.2km)。

图1.2小行星951 Gaspra(a)、小行星243 Ida和Dactyl双小行星(b)

伴随世界范围内第二轮深空探测热潮的兴起［4］，小行星逐渐成为科学探测的重点目标。通过地面观测以及航天探测等活动，人类目前已初步了解太阳系内小行星的大致轨道分布、基本化学组成、内部结构及个别小天体的地形地貌等。随着研究的深入，人们惊奇地发现这些不起眼的“太空石块”蕴含着丰富的太阳系早期物质。对小天体开展科学探测，将有助于揭示太阳系起源、行星演化及生命起源等谜题，丰富科学研究的内涵和推动人类空间科技的发展。此外，部分近地小行星对地球具有潜在撞击威胁，如2013年2月一颗直径约15米的小行星坠毁在俄罗斯车里亚宾斯克上空，导致多人受伤及建筑物受损。从未来小天体防御［5］的实际出发，开展小行星探测对于提前获取目标信息及制定防御策略等，具有重要的现实意义。

放眼人类历史发展的长河，15世纪的“大航海时代”造就了一批世界性大国。迪亚士、达·伽马、哥伦布等一大批航海先驱探索了新的航线，使得葡萄牙和西班牙成为第一代世界大国。麦哲伦船队的环球航行证明了地圆说，增进了人们对地球的认知并促进了科学的发展。之后，荷兰、法国、英国等一大批欧洲国家先后崛起，经过170多年的追赶，中国也逐渐走上自己的强国之路。21世纪以来，随着知识的积累和科学技术的进步，各国航天事业都取得了长足的发展，加强国际合作成为人们的共识与提高创新能力的重要方式［6］。各航天大国或机构除了争夺优势空间资源外，未来是否会有更多的国际合作，包括寻找地外宜居星球、共同防御对地球有撞击威胁的小行星等？人类是否会跨入“大航天时代”，携手续写人类文明的新篇章，让我们拭目以待。

1.2小行星分类与细长小行星|

1.2小行星分类与细长小行星

1.2.1轨道分布与光谱特性

小行星指那些围绕太阳运行的比行星质量小得多的天体，是依据系统的质量和体积对太阳系内天体进行分类的结果。“小行星”一词在汉语中最早见于1855年［7］，对应于英文中的“minor planet”，日文则称为“小惑星”。现在狭义的小行星应是除彗星和大行星卫星以外的小天体，对应英文中“asteroid”。书中小行星应理解为广义上的小行星(minor celestial bodies)，包括小行星、彗星以及大行星的卫星等各类小天体。谷神星的发现主要是受提丢斯波得定则(TitiusBode law)的激励，预测在距离太阳约2.8 AU(AU为天文单位，1 AU为日地平均距离1.496×108km)处应该有一颗行星［8］。为此，在谷神星发现后的近100年里，新的小行星的观测都集中在谷神星轨道附近。直至1898年Eros的发现，人们注意到其近日点仅有1.13 AU，这才意识到小行星并非全部位于火星和木星之间。

随着天文观测技术水平不断提高，被发现的小行星数量不断增加。根据它们的轨道分布，研究人员将其大致分为如下几类： 距离太阳由近及远依次为近地小行星(Near Earth objects)、主带小行星(Main belt asteroids)、特洛伊小行星(Trojan asteroids)、半人马小行星(Centaurs)和柯伊伯带小行星。特别地，近地小行星由于存在撞击地球的潜在可能性而备受关注，如近年来一直跟踪研究的99942 Apophis小行星。为进一步区分近地小行星的轨道分布，又可将其归为3类(或4类)，分别为阿登型(Atens)、阿波罗型(Apollos)和阿莫尔型(Amors)，如图1.3所示。其中Aten族群中一部分小行星的轨道严格位于地球轨道之内，被称为阿迪娜型(Atiras或Apoheles)。另外，与太阳木星系统三角平动点处特洛伊小行星类似，太阳火星等系统三角平动点处发现的小行星称为对应系统的特洛伊小行星。

图1.3典型近地小行星、主小行星带、特洛伊小行星轨道分布示意图

另一种常见的小行星分类方法是按照光谱特性划分的，主要反映各小行星表面性质和物质组成的不同。反照率(Albedo)是衡量小行星表面结构和化学成分的重要参数，表征着行星或卫星反射光的能力，天文学家便是依据小行星的反照率和亮度来粗略估计它的大小。反照率取值范围为［0，1］，即从完美黑体至完全反射。目前，基于反照率和反射光谱，一般将小行星分为反照率较大［0.10,0.22］的石质小行星S型、反照率较小［0.03，0.09］的碳质小行星C型、具有相似光谱但不同组成的X型以及一些其他异常类型［9］。

在已经发现的小行星中，约75%为C型，近17%为S型，其他的则绝大多数为X型中的亚类M型小行星。作为参照，月球的反照率约为0.07，而金星的高达0.6。另据统计发现上述小行星的轨道分布也存在一定的规律，C型小行星大多位于主带小行星的外侧，而S型和M型则更多靠近主带内侧。我们已经知道由于木星轨道共振作用而导致“柯克伍德空隙”(Kirkwood gap)的出现，又是什么机制使得不同光谱类型的小行星呈现上述分布规律？不同反照率的小行星物质组成与演化机制有哪些特性？这些都是目前行星科学领域研究的重点。

1.2.2细长小行星

在过去的研究中，人们对于一类具有细长外形的小行星特别感兴趣，因为它们典型的不规则外形与(近)球形相差甚远。原来广泛应用于近球形大行星的引力场建模方法，在细长小行星表面附近时近乎完全失效，促使人们不得不另辟蹊径，寻找新的引力场建模方法。相比于轨道分布和光谱类型等分类，细长小行星(Elongated asteroids)并非严格的分类定义，而是根据外形所挑选的一类研究对象。胡维多和Scheeres曾基于三轴惯量提出一个形状特征数［10］，用以描述小行星的质量分布特征，该参数可以从一定程度上反映小行星的形状，但很难用其定义形状。常见的哑铃形小行星(Dumbbellshaped asteroids)显然属于细长小行星，如216 Kleopatra、2063 Bacchus、4769 Castalia以及密接双星(Contactbinary asteroids)(8567)1996 HW1和67P/ChuryumovGerasimenko等。除此之外，一些长短轴之比较大的小行星也属于此类，包括Ida、Eros、Gaspra、1620 Geographos及25143 Itokawa(中文名“丝川”)等。

为了直观地理解细长小行星概念，图1.4给出了两颗小行星对比图，图中Itokawa属于典型的细长小行星，而101955 Bennu则为近球形小行星(非细长形)。图1.4(a)所示为2005年9月“隼鸟号”探测器在距离Itokawa约8km处拍摄的照片，其酷似生姜的外形由“头”和“身体”两部分组成，经由凹陷的颈部区域连接在一起，三维尺寸约为535×294×209m。根据“隼鸟号”导航数据等可估算出其系统质量为(3.58±0.18)×1010kg，进而可得平均密度为(1.95±0.14)×103kg/m3。基于Itokawa的多面体模型［11］，可得其三轴转动惯量［Ixx，Iyy，Izz］T分别为［3.8914，9.1408，9.6189］T×108kg·km2，对应的形状特征数(Iyy-Ixx)/(Izz-Ixx)=0.9165，非常接近理想细长体的1.0。

图1.4细长小行星Itokawa与近球形小行星Bennu

(a) 25143 Itokawa； (b) 101955 Bennu

近地小行星Bennu为美国OSIRIS REx任务探测目标(OSIRIS REx全称Origins Spectral Interpretation Resource Identification Security Regolith Explorer［12］，中文译名“源光谱释义资源安全风化层辨认探测器”)，运行在轨道半长轴约1.1264 AU的椭圆轨道上，目前仅有雷达观测模型［13］。数据显示它的平均半径约246±10m，系统质量6~7.76×1010kg，平均密度(1.26±0.07)×103kg/m3。其三维尺寸约为576×539×526m，基于多面体模型可得三轴转动惯量分别为［1.3749，1.4285，1.5421］T×109kg·km2，对应形状特征数为0.3206。因此，Bennu虽然具有不规则的外形和表面陨击坑等，但整体外形更趋向于球体。

由于小行星数量庞大且形态各异，很难(像地球等近球形大行星一样)给出较为统一的动力学性质以及探测轨道设计方法等。书中选取细长小行星为主要研究对象，寻找合适的引力场描述方法，研究它们共有的动力学特性。通过讨论小行星附近的周期轨道和悬停轨道等，揭示小行星引力场中特殊动力学行为，为人们了解细长小行星提供参考，为未来航天探测任务奠定理论基础。同时，本书希望藉此细长小行星为突破口，为其他不规则小天体问题分析提供一种研究思路。

1.3小行星探测进展与挑战|

1.3小行星探测进展与挑战

1.3.1小行星探测任务

目录

第1章绪论

1.1引言

1.2小行星分类与细长小行星

1.2.1轨道分布与光谱特性

1.2.2细长小行星

1.3小行星探测进展与挑战

1.3.1小行星探测任务

1.3.2小行星探测之挑战

1.4小行星的奇特动力学

1.4.1雅科夫斯基效应和YORP效应

1.4.2引力平衡点与局部流形

1.5周期轨道与悬停轨道

1.5.1自然周期轨道

1.5.2悬停飞行轨道

1.6小结

参考文献

第2章不规则小行星引力场模型

2.1引言

2.2轨道动力学建模

2.2.1引力作用范围与参考坐标系

2.2.2质点运动方程

2.3不规则引力场的描述

2.3.1引力场建模方法概述

2.3.2多面体法

2.3.3简化模型法

2.4Chermnykh偶极子模型

2.4.1动力学方程

2.4.2引力平衡点

2.5偶极子模型平衡点特性

2.5.1平衡点拓扑分类

2.5.2平衡点附近扰动解

2.6小结

参考文献

第3章偶极子模型的改进

3.1引言

3.2单椭球偶极子模型

3.3赤道面内引力平衡点

3.3.1平衡点分布特征

3.3.2模型参数对平衡点的影响

3.4赤道面内平衡点稳定性

3.4.1共线平衡点

3.4.2非共线平衡点

3.5赤道面外引力平衡点

3.5.1平衡点位置

3.5.2模型参数的影响

3.6赤道面外平衡点稳定性

3.7双椭球偶极子模型

3.7.1引力平衡点

3.7.2三类双椭球改进模型

3.8小结

参考文献

第4章用简化模型近似细长小行星引力场

4.1引言

4.2偶极子模型近似细长小行星

4.2.1平衡点位置近似方法

4.2.2仿真算例与讨论

4.2.3偶极子模型近似效果

4.3极子棒模型动力学特性

4.3.1动力学方程与受力比

4.3.2引力平衡点与稳定性

4.4引力梯度近似方法

4.4.1简化模型参数优化

4.4.2小行星(8567)1996 HW1算例

4.4.3与其他简化模型的比较

4.5仿真算例与讨论

4.5.1误差分析与计算效率

4.5.2近似433 Eros小行星

4.6小结

参考文献

第5章环绕细长小行星的周期轨道

5.1引言

5.2环绕周期轨道

5.2.1周期轨道定义

5.2.2传递矩阵与单值矩阵

5.2.3分层网格法与轨道延拓

5.3小行星1620 Geographos绕飞周期轨道

5.3.1引力平衡点局部周期轨道

5.3.2大范围周期轨道

5.4其他类型周期轨道

5.4.1线性稳定平衡点E1绕飞轨道

5.4.2线性稳定三角平衡点周期轨道

5.4.3其他新型周期轨道

5.5最优控制方法求解周期轨道

5.5.1间接法求解周期轨道

5.5.2两类赤道面内周期轨道

5.5.3倾角轨道及其延拓

5.6小结

参考文献

第6章广义甩摆与太阳帆悬停

6.1引言

6.2广义甩摆

6.2.1甩摆轨道能量方程

6.2.2单次甩摆动力学机理

6.3广义甩摆参数化讨论

6.3.1近拱点对甩摆轨道的影响

6.3.2小行星附近逃逸轨道

6.4本体悬停飞行与太阳帆航天器

6.4.1悬停飞行动力学建模

6.4.2太阳帆航天器

6.4.3太阳帆简化模型

6.5悬停探测球形小行星

6.5.1太阳帆悬停动力学

6.5.2太阳帆模型对悬停轨道的影响

6.5.3小行星自转周期与悬停半径

6.6悬停探测细长小行星

6.6.1太阳帆航天器可行悬停轨道

6.6.2悬停探测小行星951 Gaspra

6.7小结

参考文献