第1章 绪论
1.1 引言
复杂性科学是20世纪末期发展起来的用以研究复杂系统和复杂性的一门新兴交叉学科，着重于复杂系统的结构、动力学及功能，主要研究复杂系统在局部规则下如何产生宏观、有序的组织和行为等[l]。复杂性科学致力于研究非线性、非均衡和复杂系统带来的种种新问题。复杂性问题研究与网络的复杂性关系有密切联系。
网络的现象涵盖极其广泛，科学家发现大多数实际的系统其实就是复杂网络系统。现实世界中存在大量的复杂网络系统，如互联网、通信网络、电网、交通网络、新陈代谢网络、基因调控网络、疾病传播网络等。这些复杂系统都可以用复杂网络来进行描述[2-8]。复杂网络可以被认为是大量真实复杂系统中相互作用关系的一种拓扑抽象表示，因此对复杂网络展开研究有助于理解“复杂系统之所以复杂”这一至关重要的问题。复杂网络也成为一种描述和理解复杂系统的重要方法。
所谓复杂网络就是具有复杂拓扑结构和动态行为的大规模网络，它是由大量的节点通过边的相互连接而构成的图。当用复杂网络来刻画这些复杂系统的结构时，网络中的节点可以代表物理实体，也可以是任意具有特定动态和信息内涵的系统的基本单位，复杂网络节点之间连接的边则表示它们之间的关系或者相互作用。复杂网络可以用来描述复杂系统中各个单元之间的相互作用关系，所以它还可以作为动力学现象的“背景舞台”，此时的网络已赋予了系统及其动力学行为过程，比如网络中信息的流动、病毒的传播、网络的故障、干扰与攻击等，这些网络往往称之为复杂动态(动力)网络。
复杂动态网络是现实世界中复杂系统的一种抽象表现形式。复杂系统中的独立个体是复杂网络中的节点，节点之间的边则是系统中个体之间按照某种规则形成或人为构造的一种关系。互联网是一种典型的复杂网络。互联网可以描述为通过各种物理的或无线连接的路由器和计算机连接在一起的复杂网络，可以看成是由成千上万个路由器节点及节点之间由某种连接关系组成的边所构成的复杂网络。复杂网络结构具有多元性、开放性、非线性等特征。分叉、混沌等动力学行为的存在是网络系统本身固有的特性，来源于网络系统的非线性相互作用。互联网是典型的复杂网络，必定带有非线性科学中所定义的复杂性特征(如分叉、混沌、同步等)。事实上，人们在互联网及许多复杂网络中都发现了分叉与混沌现象。例如，在电网的切换电路、神经网络模型、 TCP/IP网络等模型中都发现了混沌现象和分叉(如 Hopf分叉等)。
混沌是自然界及人类社会中的一种普遍现象，它是在一个确定系统中出现的一种貌似不规则的、内在的随机性运动，展示了事物的复杂性。混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。混沌具有对初始条件的敏感性、不可预测性、遍历性、自我相似性等特征。当混沌现象给系统带来破坏性影响时，加入适当的控制输入使得系统的混沌行为消失，按照周期轨道等稳态演化，以消除对系统的不利影响。人们也可以有效地利用混沌的特性，在许多领域如通信、气象学、生物学、经济学等都有应用。
对于含参数的系统，当参数变化并经过某些临界值时，系统的定性性态(如平衡态、周期运动的数目和稳定性等)会发生突然变化，这种变化称为分叉。分叉是一类常见的重要的非线性现象，与其他的非线性现象(如混沌、突变、分形、拟序结构等)密切相关。分叉揭示系统不同运动状态之间的联系和转化，且与失稳和混沌密切相关，是非线性动力学的重要组成部分。在许多工程领域普遍存在分叉现象，由于产生了分叉，会导致跳跃、滞后等一系列破坏性的动力学行为的出现。分叉控制研究的原动力来自于探究如何获得性能和稳定性更好的平衡。其中的本质问题是如何设计分叉控制器，使得非线性系统易于操作并且保持稳定。混沌、分叉及其控制的主要任务是研究混沌、分叉形成的机理，对具体的工程系统就是设计一个控制器来改变非线性的特性，从而获得所需要的动力学行为。因此，对非线性系统的混沌、分叉进行全面的研究和控制是非常紧迫的，具有重要的理论意义和应用价值。
本书主要从复杂网络的昀常见、昀典型的非线性特征(分叉、混沌)着手，研究复杂网络的拓扑结构、动力学行为与一些重要网络参量之间的演化机理。目前，复杂网络科学已经成为跨学科的研究前沿和热点。但是，在复杂网络系统中人们对分叉和混沌问题及其现象的研究和认识还远没有达到充分的程度。对复杂网络系统动力学中极为重要的分叉、混沌及其相互关联的问题进行研究具有重要的科学意义与应用前景。
1.2 复杂网络的研究现状
早在18世纪就有学者尝试用网络来描述真实系统，他们从数学描述的角度，网络可以用图的概念来描述：节点可看作系统的基本个体，边可以描述节点间的相互作用。在随后的200多年里，学者们一直认为用规则图和随机图来描述真实网络才是恰当表示。直到20世纪末，科学家们发现大量的现实网络具有与规则图和随机图不同的统计特征，称之为复杂网络。1998年，Watts等[2]提出小世界网络模型，指出真实网络具有小世界特性，即网络中大多数节点同时具有较小的平均*短路径长度和较大的群集系数。1999年，Barabasi等[3]提出的无标度的 BA模型，说明了大规模真实网络的度分布具有幂律特性。许多研究表明，现实世界中存在的许多复杂网络大多是小世界和(或)无标度类型的网络，从互联网到万维网、从大型电力网络到全球航空、公路等交通运输网络等[2-8，10-15]。随着对复杂网络演化特性认识的深入，学者们相继提出并研究了一些新的演化网络模型[7-8，10-15]。绝大多数的复杂网络具有如下几个特征：网络行为的统计性、网络连接的稀疏性、连接结构的复杂性、网络的时空复杂性、网络节点(动力系统)之间的运动。复杂网络是构成复杂系统的基本框架，每一个复杂系统都可以看作是单元或个体之间的相互作用网络，是理解复杂系统性质和功能的基础。复杂网络是刻画和研究复杂系统结构和行为的关键，在刻画复杂性方面的重要性是由于结构和功能之间是相互影响的。复杂网络是研究复杂系统的一种角度和方法，它关注系统中个体相互关联的拓扑结构。研究复杂网络的*终目的，是去理解和解释网络拓扑结构对于在网络上发生的各种物理过程的影响，研究网络结构与动力学现象的关系及其对网络的结构稳定性与功能的影响。对网络演化机制的研究，揭示网络的一些重要而普适的结构特征与稳定性，有可能给出促进网络科学发展的新的方案与模式。
复杂网络的研究主要包括两个方面，一方面是研究复杂网络系统几何结构的涌现，对真实复杂系统普遍结构的产生做出理论解释。另一方面是探索复杂网络上的动力学行为，即研究网络拓扑结构对其上所发生的动力学过程的影响，这也是研究复杂网络的目标所在，对我们探索复杂系统组织、揭示复杂系统功能有着深远的意义。这类研究具有更重要的理论和应用上的意义，正如 Newman在其文献[7]中指出的“研究网络结构的*终目的是理解和解释构建于这些网络之上的系统的运动方式”，“未来研究*重要的方向就是发生在网络上的过程行为”。迄今为止，复杂动态网络的研究大多都是基于单纯的连续性或离散性模型，而混合型模型描述复杂动态网络应该更为恰当。混合型复杂动态网络的结构和动力学行为与过程是动态演化的，从某种意义上来讲，许多复杂网络是混合型的，也就是说它既有离散的状态也有连续的状态，它们之间相互作用与耦合，以致我们不能拆开来分别分析。如互联网的节点和连接总是动态变化的，因此它是一种典型的混合切换网络，是一个典型的混合型复杂动态网络。这种混合型复杂动态网络在军事、航天、交通、旅游等领域具有巨大的应用空间和市场需求。目前，基于这种混合型复杂动态网络的研究还很少见。基于混沌与分叉理论来研究复杂网络的拓扑结构和相应的动力学行为的演化规律，研究互联网的结构和动力行为的稳定性与控制问题的相关文献尚不多见，这些研究对于建立新的网络安全可靠性与控制理论，对设计和应用新一代互联网具有重要的理论和现实意义。
随着以互联网为代表的网络信息技术的迅猛发展，人类社会已迈入网络时代。人们的各种生产活动与生活越来越依赖各种各样的复杂网络系统的安全、可靠和有效的运行。2000年5月4日，“爱虫”病毒在互联网上到处传播，导致电子邮件系统瘫痪，造成全球经济大约100亿美元的损失。2003年8月18日，北美遭遇突然的大停电，就是复杂电力网络的一系列级联反应，导致整个电力系统土崩瓦解，造成的经济损失和社会影响十分严重。这类网络灾变迫使人们深入研究这种灾变与网络的结构、功能及动力学性质的内在关系。研究分析表明，这类灾变与网络的性质有关，涉及网络本身结构和功能缺陷等内在因素，各种复杂网络的复杂性问题亟待解决。这些网络系统的复杂性既包括节点(子系统)的复杂性，也体现在节点之间互联结构的复杂性。复杂动态网络的节点多种多样，依具体问题而定。例如，混沌复杂网络指节点为非线性或混沌动力学方程，这时网络的动力学复杂性和整体演化的特性及其控制是一个重要课题，这类复杂网络中的平衡态和周期态在不同子网络区域的控制正是非线性系统中混沌控制研究的延伸和深入发展。只有采用非线性科学、复杂系统动力学的理论和方法，弄清这些*基本特征和现象(如分叉、混沌等)，才有可能建立现代网络动力学的科学体系。
互联网是复杂的巨系统，具有动态性(随时随地发生变化)、随机性(存在诸多不确定因素)、复杂性(人、计算机、路由器、网络环境的复杂的相互作用)，必定带有非线性科学中所定义的复杂性特征。例如，网络信息流中存在着混沌、分叉、同步化、突变、相变、非线性稳定性、自组织临界性等诸多的非线性特征，随之产生网络拥塞、振荡、时滞、激波、孤立波等复杂现象。非线性网络中动力学复杂性、分叉、混沌、超混沌及时空混沌复杂性的分析与控制是一个重要课题[46]。具有小世界效应和无标度性质的复杂网络中分叉、混沌等动力学行为发生了什么变化？如何实现这些复杂网络中所需动力学行为的控制？在网络的不同区域能否实现网络中的平衡态和周期态的有效稳定控制？这是非线性系统中混沌与分叉控制研究的延伸和深入发展。
现实网络系统的拓扑结构看上去错综复杂(图1.1)，而且网络拓扑结构可能随时都会发生变化。网络演化导致网络节点不断增加，节点间的连接也在不断地增长，且连接之间存在着多样性。网络的动力学具有复杂性，每个节点本身可以是非线性系统，具有分叉和混沌等非线性动力学行为而且在不停地变化。网络的非线性相互作用(由于顶点的竞争和拥塞)会产生分叉和混沌现象。这就是网络系统的复杂性。互联网从本质上讲是混杂系统，其节点间的非线性的耦合联结作用，以及网络中广泛存在的脉冲，切换等影响都可能在网络系统产生混沌、分叉。抑制对网络结构稳定性与网络安全可靠性不利影响的分叉与混沌现象(特性)，构建适合于网络系统的控制理论。应用分叉与混沌理论，对引起网络异常的信号或信息流进行检测、监控分析，可以预防病毒、黑客等对网络系统的破坏性，提高网络系统的安全可靠性、鲁棒性。也可利用网络系统自身固有的混沌分叉特性，进行保密通信应用，防止信息丢失或被黑客截获信息。由于人为的保密通信手段容易被攻破，结合网络自有的混沌特性的通信不易被发现和捕捉，以互联网为模型背景，研究几种网络模型中存在的分叉、混沌等动力学行为，研究在复杂网络中分叉、混沌等动力学行为产生的机理。这对揭示复杂动态网络演化的本质特征，优化复杂动态网络的设计和管理，具有重要的理论和实际意义。
图1.1 Internet的网络拓扑图(Willam R. Cheswick)
互联网与移动通信网络的关系越来越密切，随着二者的融合加深，移动互联网的时代已经来临。我国政府正在大力提倡“三网融合”(即互联网、电信网络和有线电视网)的工作，不同类型的网络融合形成(具有)混合型的复杂网络。因此，对这一类混合型复杂网络的研究已经是刻不容缓的工作。复杂网络理论为应用提供坚实的理论与技术基础。正是基于复杂动态网络的特点和上述理论和应用的需求，以互联网为背景，从复杂动态网络的混杂性和非线性特性入手，研究具有多种复杂现象的动态网络的动力学行为与控
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