第1章绪论
1.1引言
计算机在现代控制系统的实现和构成中已成为一种不可或缺的工具。计算机仅能处理离散的数字信号，因此使用计算机对系统进行在线控制与模拟或离线分析与设计时，都需要将连续变量转化成离散变量。这使得诸多专家和学者对离散系统的研究产生了极大的兴趣，离散系统的分析与控制问题得到了广泛关注。
时滞现象广泛存在于各种控制系统中，如机电控制系统中的间隙和死区、化工过程控制中的物料传输与反应，以及网络控制系统中的信号传输时延等。就控制系统而言，时滞的存在将严重影响系统的性能，甚至造成系统失稳或引发重大生产安全事故。近年来，越来越多的学者投人时滞系统的分析与控制研究中，对时滞系统的稳定性分析、镇定与输出控制等问题的研究已取得了相当多的理论成果，并形成了若干可行的分析方法，包括鲁棒分析法、Lyapunov-Krasovskii(L-K)泛函法和Lyapunov-Razumikhin(L-R)函数法等。同时，多种用于改进所获条件的技术，如模型变换法、詹森不等式法和自由权矩阵法等也陆续出现。
鉴于控制系统日臻复杂，含有多个时滞的离散系统模型成为当代工程应用中更为普遍的描述模型。针对多时滞离散系统的研究工作已有诸多成果报道，但从工程应用的便捷性与实用性角度看，现有的多时滞离散系统的研究仍存在一些局限性和不足。
相对于时滞连续系统的丰富成果，时滞离散系统的研究成果较少。受限于目前可用的方法与工具，现有时滞离散系统的结果形式非常复杂，不便于工程实现。因此，面向多时滞离散系统，提出新的分析方法并给出形式简洁的分析结果对于理论研究抑或工程应用均具有重大意义。另外，现有的研究主要关注整数时滞线性定常离散系统，但工程实际中的情况要复杂得多。例如，在多时滞离散系统中，当某些时滞参数不是采样周期的整数倍时，该系统将成为非整数时滞离散系统；若系统本身的参数和结构具有时变特性，则整个系统就是时变系统；系统零部件的非线性或子系统之间的非线性耦合等因素将导致系统整体的非线性；工况反复变化和长时间运行，系统参数将偏离设计值并在一个有限区间内变化。不难理解，整数时滞线性定常离散系统的相关结果不再适用于上述具有复杂动力学特性的多时滞离散系统。因此，发展和建立一套完整的多时滞离散系统性能分析理论具有重要的理论与应用价值。
1.2时滞系统性能分析研究概况
根据本书章节安排，下面分别就时滞系统可控可观性分析以及时滞系统稳定性分析两个方面的发展状况进行简要叙述。
1.2.1可控可观性研究概况
除稳定性之外，现代控制理论的发展得益于两个基本概念，即卡尔曼提出的系统可控性和可观性概念[1，2]。可控性和可观性是控制系统的内禀属性，是控制律设计和状态估计的重要基石。目前已有大量关于系统可控性和可观性的研究成果，具体可见文献[1]、文献[2]以及其中的参考文献。
在线性定常系统的可控可观性分析中，常用的方法有两种：①基于可控河观性矩阵的方法，只要判定可控/可观性矩阵是否行满秩，就可判定系统是否可控/可观；②格拉姆(Gram)矩阵法，只要判定格拉姆矩阵是否奇异，就可判断系统是否可控/可观。随着研究的展开和深人，针对不同类型系统的可控可观性判据被相继提出。文献[3]参照时域内格拉姆法则的定义，给出了频域内系统可控/可观性格拉姆法则的定义，并给出了相应的判据。文献[4]研究了一类特殊系统一Jordan标准型描述的系统可控性问题，利用系统结构的特殊性，得到了关于矩阵列向量线性无关的可控性判据。借助李代数，文献[5]研究了双线性连续切换系统的可控性、弱可控性和渐近可控性问题。此外，文献[6]给出了离散时间跳变系统的直接可控性概念，并给出了相应的可控性条件。针对范数有界不确定性，文献[7]构建了系统可控/可观的鲁棒性判据，但仅得到了充分条件。文献[8]研究了通信资源约束下的系统可控可观性问题。文献[9]研究了随机离散系统的可控可观性问题。为了应对数据丰富时代带来的机遇和挑战，文献[10]～[12]研究了基于数据的系统可控可观性问题。文献[13]和[14]揭示了分数阶系统可控性与整数阶系统可控性之间的关系，给出了分数阶离散系统可控性秩条件。
关于时滞系统的可控可观性研究，目前已有大量成果报道，具体可见文献[15]和其中的参考文献。时滞系统可分为输人时滞、状态时滞和输人-状态时滞三种类型。针对输人时滞系统，在某些假设下，文献[16]得到了网络拥堵引起的时滞不影响原系统的可控可观性的结论。文献[17]证明了具有输人时滞的切换系统的可控性与没有时滞情况下的可控性是等价的，并给出了相应的定义和判据。文献[18]研究了具有输人时滞的脉冲系统的可控性，并指出时滞有助于获得所研究模型的能控性。由于输人时滞和状态时滞的解决方案及处理方法完全不同，文献[19]基于矩阵Lambert函数推导出了具有单时滞的状态可控可观性准则及相应的格拉姆判定方法。就状态时滞系统而言，文献[20]给出了格拉姆矩阵判据，文献[21]给出了相应的代数判据。文献[22]揭示了时滞系统可控性与非时滞系统可控性之间的关系，指出只要非时滞系统可控，则相应的状态时滞系统也可控。文献[23]基于空间分解的方法，给出了状态时滞系统的可控可观性判据。从图论的角度出发，文献[24]提出了时滞插值方法并将其用于解决系统的可控可观性判定问题。针对输人-状态时滞系统，文献[25]给出了系统可控可观性判据。为减少计算量，文献[26]提出了基于数据的方法。利用扩维方法，文献[27]给出了一种可控可观性判定方法。尽管文献[25]～[27]给出了输人-状态时滞型系统的可控可观性判据，但这些方法的计算量均很大且不易检验。
系统的可控可观性是控制理论研究中的一个经典问题，已产生了诸多判据和方法。当这些方法直接用于多时滞离散系统的可控可观性判定时，难免会遇到矩阵维数剧增、计算量大幅度增加等问题。
1.2.2稳定性研究概况
下面分别对时滞线性定常系统稳定性、非整数时滞系统稳定性、时滞线性时变系统稳定性、时滞非线性系统稳定性以及时滞线性区间系统稳定性几个方面的研究状况进行概述。
1.时滞线性定常系统稳定性
稳定性是时滞系统中一个极为重要的问题[28]。根据时滞是否随时间变化，时滞系统可分为时不变时滞系统和时变时滞系统；根据状态是否连续，时滞系统可分为时滞连续系统和时滞离散系统[31]；根据时滞环节的数量，时滞系统可分为无时滞系统和多时滞系统。时滞系统的稳定性分析方法主要有两类，即基于传递函数的频域法和基于状态空间的时域法[33-36]。所得稳定性条件依据其是否与时滞相关可分为时滞无关条件和时滞相关条件[37，38]，通常(并非全部)情况下，时滞无关稳定性条件比时滞相关稳定性条件保守。一段时期以来，部分时滞系统稳定性研究工作的关注点在于获取保证系统稳定的时滞*大上界，目的在于尽可能得到保守性小的稳定性条件。
在频域法中，线性定常连续系统是否稳定，取决于系统特征根是否位于复平面左半平面[41]或复Lyapunov矩阵方程的解是否为哈密顿矩阵[42]，其中，著名的方法有劳斯-赫尔维茨判据；线性定常离散系统是否稳定，取决于系统特征根是否位于复平面单位圆内，其中，著名的方法有朱利判据。劳斯-赫尔维茨判据和朱利判据的伟大贡献在于不求解特征根便可判定系统是否稳定。当系统中仅有单个常数时滞或多个相等的常数时滞时，文献[43]得出了时滞无关稳定性充要条件，但该条件需要复杂的迭代程序，仅宜判定低阶系统的稳定性。虽然频域法容易获得稳定性充要条件，但难以应对时变时滞系统和时滞不确定系统，因此常被用于常数时滞系统的稳定性判定。为分析时滞不确定系统的稳定性，文献[44]和[45]给出了基于积分二次约束(integral quadratic constraint，IQC)的方法，文献[46]和[47]给出了基于小增益定理的结构化奇异值(4方法。基于^方法，文献[47]得到了未知常数时滞系统的时滞无关稳定性条件；基于IQC框架与^方法，文献[48]和[49]分别得到了未知常数时滞系统的时滞相关稳定性条件。进一步，针对含有有界时变时滞的系统，文献[50]将时变时滞系统转化为线性定常部分与时滞相关部分反馈互联的形式，给出了连续时滞系统与离散时滞系统的简易稳定性判据。在此基础上，文献[51]和[52]将时变时滞的影响视为系统中的不确定性，通过IQC框架分析推导出了有界不确定时变时滞系统的稳定性条件。
与频域法相比，基于状态空间的时域法在分析非线性与时变时滞系统的稳定性方面更具优势。时域法主要分为鲁棒分析法和L-K泛函法[53]。在鲁棒分析法框架下，时滞系统被描述为一个具有时滞相关扰动的系统，该扰动可进一步描述为范数有界的不确定参数。基于此种描述，并依据IQC[45]和小增益定理[46]等鲁棒分析方法，可以得到系统稳定性充分条件。为了进一步降低所得稳定性条件的保守性，文献[54]提出了一种状态扩张方法。仿照文献[50]中的反馈形式，文献[46]将与时滞相关的积分项视为运算符，基于小增益定理构建了范数上界估计方法。文献[55]基于文献[54]的状态扩张方法并引人新的运算符以描述系统中出现的状态二阶微分，通过Cauchy-Schwartz不等式进行放缩，降低了文献[54]所给条件的保守性。
L-K泛函法的要点是，通过构造L-R函数[56-58]或L-K泛函[59]以得到时滞系统稳定性充分条件。这两种方法所得的稳定性条件均为线性矩阵不等式(linear matrix inequality，LMI)，凸优化方法与科学计算软件的发展极大地简化了利用LMI对时滞系统分析的步骤，并极大地促进了L-K泛函法的应用与发展[35]。相较于L-K泛函，L-R函数较少涉及系统的时滞信息，在应用上易于实现[56]，但其所得稳定性条件的保守性也较大，所以当前的研究主流是L-K泛函法。需要注意的是，目前仅能通过L-R函数推导出具有快变时滞系统的时滞无关稳定性条件[56]。为了降低L-K泛函法所得稳定性条件的保守性，部分学者从L-K泛函的构造以及L-K泛函导数的处理两方面进行了深人研究。
L-K泛函的构造类型大致可分为简单型、增广型、完全型[61，62]、离散型与时滞分割型。其中，简单型是考虑时滞信息后对经典Lyapunov二次函数的简单推广。文献[63]和[64]在简单L-K泛函的基础上提出了增广型L-K泛函法。该方法对L-K泛函项进行增广，从而减小了所得稳定性条件的保守性。针对文献[61]中完全型L-K泛函难以求解的问题，文献[65]提出了离散化L-K泛函法，将线性时变时滞不确定系统转换为分段线性离散化确定系统，将受限LMI问题转换为线性常规LMI问题，降低了系统稳定性条件的保守性。针对时滞随机变化情况，与离散型方法将时滞区间等分不同，时滞分割型方法[66]将时滞区间分成若干个不等的子区间，选择合适的权函数对不同子区间上的L-K泛函赋予相应的权重，如此构造的L-K泛函可以得到保守性更小的稳定性条件。无论离散型方法还是时滞分割型方法，时滞区间分割数量的增加都会增大判定算法的计算复杂度。L-K泛函导数的处理方法主要体现在对Lyapunov函数和泛函求导(差分)过程中所得不等式进行合理的缩放，*终目的是获得尽可能大的时滞容许上界。
文献[67]提出了一种模型转换与交叉项界定相结合的方法，其基本思想是通过牛顿-莱布尼茨公式重新表述时滞项并引人L-K泛函的导数中，然后通过Park不等式或Moon不等式等对引人的时滞相关积分项进行放缩，借以消除L-K泛函导数中的积分项并*终得到时滞相关稳定性条件。模型转换法可分为一阶模型转换法剛、参数化一阶模型转换法[71]、二阶模型转换法[72]、中立模型转换法[73]和描述子方法[74]。然而，一阶模型转换、参数化一阶模型转换和二阶模型转换后将产生新的特征值，存在转换模型与原模型不等价问题，中立
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