本书为焦循全集整理之一,包括焦循的数学著作集,分《释轮》《释椭》《释弧》《加减乘除释》《天元一释》《开方通释》六种,是当时数学研究的代表作品。焦循,清代哲学家、 数学家、戏曲理论家。字理堂(一字里堂),江苏扬州黄珏镇人,嘉庆举乡试,与阮元齐名。博闻强记,于经史、历算、声韵、训诂之学都有所成。著作有《里堂学算记》《易章句》 《易通释》《孟子正义》《剧说》等。
校點説明
雕菰樓算學六種
校點説明
《雕菰樓算學六種》,由《加減乘除釋》、《天元一釋》、《開方通釋》、《釋弧》、《釋輪》、《釋橢》等六書組成,共十七卷。現將上述六書的基本情況簡述如下:《加減乘除釋》八卷、《天元一釋》二卷、《釋弧》三卷、《釋輪》二卷、《釋橢》一卷,現有的主要版本,一是《里堂學算記》本(《續修四庫全書》影印收錄),二是《焦氏叢書》本,三是《焦氏遺書》本,四是《中西算學叢書初編》本。《開方通釋》一卷,現有的主要版本是《木犀軒叢書》本(《續修四庫全書》影印收錄)。
此次整理,《加減乘除釋》、《天元一釋》、《釋弧》、《釋輪》、《釋橢》底本皆取《焦氏叢書》本,《開方通釋》底本取《木犀軒叢書》本。六書的校點過程中,也參考了近年來所出版的各種整理本。
需要説明的是,有關焦循算學的著作,還有《大衍求一釋》一卷、《乘方釋例》五卷、《焦理堂天文曆法算稿》一卷等三種,共七卷,因皆係稿本,這次均未收錄校點,俟整理“雕菰樓未刊稿”時一併補入。上述六書由孫德彩校點,我對六書所錄原文作了復校和審訂,如果校點有不當或失誤之處,敬請讀者熱情指正。
二一六年冬
陳居淵
總叙
數為六藝之一。而廣其用,則天地之綱紀,群倫之統系也。天與星辰之高遠,非數無以效其靈;地域之廣輪,非數無以步其極;世事之糾紛繁賾,非數無以提其要。通天、地、人之道曰儒。孰謂儒者而可以不知數乎?自漢以來,如許商、劉歆、鄭康成、賈逵、何休、韋昭、杜預、虞喜、劉焯、劉炫之徒,或步天路而有驗於時,或箸算術而傳之於後,凡在儒林類能為算。後之學者,喜空談而不務實學,薄蓺事而不為,其學始衰。降及明代,寖以益微,閒有一二士大夫留心此事,而言測圓者不知天元,習回回法者不知最高。謬誤相仍,莫能是正,步算之道,或幾乎息矣。欽惟我國家稽古右文,昌明數學,聖祖仁皇帝御製《數理精蕴》,高宗純皇帝欽定《儀象考成》,諸編研極理數,綜貫天人,鴻文寶典,日月昭垂,固度越乎軒轅、隸首而上之。以故海内為學之士,甄明度數,洞曉幾何者,後先輩出。專門名家,則有若吴江王曉庵錫闡、淄川薛儀甫鳳祚、宣城梅徴君文鼎。儒者兼長,則有若吴縣惠學士士奇、婺源江慎修永、休寧戴庶常震,莫不各有饌述,流布人間。蓋我朝算學之盛,實往古所未有也。江都焦君里堂,與元同居北湖之濱,少同遊,長同學。里堂湛深經學,長於三禮,而於推步數術尤獨有心得。比輯其所箸《加減乘除釋》八卷、《天元一釋》二卷、《釋弧》三卷、《釋輪》二卷、《釋橢》一卷,總而錄之,名曰《里堂學算記》。書成而囑元序之。
元思天文算法,至今日而大備,而談西學者輒詆古法為粗疏不足道,于是中西兩家遂多異同之論。然元嘗稽攷算氏之遺文,泛覽歐邏之述作,而知夫中之與西,枝條雖分,而本幹則一也。如西法三率比例即古之今有術,重測即古之重今有,借衰即衰分之列衰,叠借即盈不足之假令,今之三角即句股,借根方即立天元一,至於地為圓體,則《曾子》十八篇已言之。七政各有本天,與郄萌“日月不附天體”之説相合。月食入於地景,與張衡“蔽於地”之説不别。熊三拔《簡平儀説》寓渾於平,而崔靈恩已立義“以渾蓋為一”矣。的谷四方行測創蒙氣反光之差,而安岌已云“地有遊氣,濛濛四合”矣。其它若“天周三百六十度”,則邵康節亦嘗言之。“日周九十六刻”,則梁天監中嘗行之。以此證彼,若符節之合。然則中之與西,不同者其名,而同者其實。乃彊生畛域,安所習而毀所不見,何其陋歟!里堂會通兩家之長,不主一偏之見,於古法穿穴十經,研求三數,而折中乎劉氏徽之注《九章》。西法隨事立説,闡其隱秘,而日月五星之果有小輪與?夫日月五星本天之果為橢圓與?不則存而不論。昔蔡中郎撰《十意》未竟,上言欲思惟精意,扶以文義,潤以道術,著成篇章。今里堂之説算,不屑屑舉夫數而數之,精意無不包,簡而不遺,典而有則,所謂扶以文義,潤以道術者非邪?然則里堂是記,固將以為儒流之典要,備六藝之篇籍者矣。元少略涉斯學,心鈍不能入深,且以供職中外,斯事遂廢。今見里堂成此書,敬且樂焉。吾鄉通天文算學者,國朝以來惟泰州陳編修厚耀最精。今里堂之學,似有過之而無不及也。
嘉慶四年冬,經筵講官户部左侍郎兼管國子監算學事務阮元譔序。
加減乘除釋
雕菰樓算學六種
序
算之為術,可隨事以立名,而皆不外於乘除加減。加減者,乘除之所自出,然非乘除不足以盡加減之用,故有四者,而算法備矣。古今算家多列其目:句股旁要,量測既同,開方少廣,層累則一。差分之外,申之以均輸;方程之後,繼之以盈朒。因其小别,遂為區分,揆厥指歸,豈有岐義。夫不明其旨,則易地致惑。深究其理,則後起可推。竊以此義求之古先,蓋論法者居多,言理者絶少,即間有之,亦與法相淆,而於舉綱挈領之要未盡合也。今之為是學者,吴縣李尚之鋭,歙縣汪孝嬰萊,吾邑焦里堂循。三子者,善相資疑相析。孝嬰之學,主於約,在發古人之所未發而正其誤,其得也精。尚之之學,主於博,在窮諸法之所由立而求其故,其得也貫。理堂則以精貫之旨,推之於平易,以為理本自然,取劉徽注《九章算術》之意,著《加減乘除釋》八卷,凡弧矢之相求,正負之相得,方員凸凹之異形,齊同比例之殊制,靡不先列其綱,次疏其目,俾學者可窮源以知流,揣本而齊末。其於二子之學,蓋相輔而實相成矣。夫由疏之密,今古非有殊途。因難而易,中西本無二轍。雖稱名舉類,優絀互形。正其權輿,一言可解。古人好學深思,必曰心知其意。里堂之書,殆《周髀》以來諸書之統紀,不獨劉氏之功臣也已。三年夏五月,江都黄承吉序。
加減乘除釋卷一
劉氏徽之注《九章算術》,猶許氏慎之撰《説文解字》。士生千百年後,欲知古人仰觀俯察之旨,舍許氏之書不可。欲知古人參天兩地之原,舍劉氏之書亦不可。嘉定錢溉亭先生塘,謂《説文》一部之中,聲無統紀,因取許氏書,離析合併,重立部首,系之以聲。其書雖未成,迄今講《説文》者,頗宗其意以著書。循謂古人之學,期於實用,以乂百工,察萬品而作書契,分别其事物之所在,俾學者案形而得聲。若夫聲音之間,義藴精微,未可人人使悟其旨趣,此所以主形而不主聲也。惟算亦然。既有少廣、句股,又必指而别之,曰方田,曰商功。既有衰分、盈不足、方程,又必明以示之,曰粟米,曰均輸。亦指其事物之所在,而使學者人人可以案名以知術也。然名起於立法之後,理存於立法之先。理者何?加減乘除四者之錯綜變化也。而四者之雜於《九章》,則不啻六書之聲,雜於各部。故同一今有之術,用於衰分,復用於粟米。同一齊同之術,用於方田,復用於均輸。同一弦矢之術,用於句股,復用於少廣。而立方之上,不詳三乘以上之方。四表之測,未盡三率相求之例。踵其後者,又截粟米為貴賤衰分,移均輸為叠借互徴,名目既繁,本原益晦。蓋《九章》不能盡加減乘除之用,而加減乘除,可以通《九章》之窮。《孫子》、《張邱建》
指《孫子算經》(成書於四、五世紀,作者不詳)、《張邱建算經》(北魏)。兩書似得此意,乃説之不詳,亦無由得其會通。不揆淺陋,本劉氏之書,以加減乘除為綱,以《九章》分注而辨明之。草創於乾隆甲寅之秋。明年為齊魯遊,遂中輟。嘉慶二年丁巳,授徒村中,無酬應之煩,取舊稿細為增損,得八卷。竊比於溉亭之於《説文》,庶幾與劉氏相表裏焉。倘有缺誤,願識者補而正之。幸甚!時十二月大寒日。
以甲當甲為適足,以甲當乙為盈,以乙當甲為朒。
數之多少無定。少至於一,而絲忽之下,尚有塵沙。多至於萬,而兆秭之上,尚有溝洫。惟是兩數相比,而後為盈、為朒、為適足乃定。故算法起於相比也。論數之理,取於相通,不偏舉數。而以甲乙明之,古之次弟,皆乙下於甲,用其意,以甲當盈,以乙當朒。
以甲加甲,為倍之以乙加乙,以丙加丙,以丁加丁,并同。
兩相當,未相入也。加減則相入矣。兩甲數為適足,故相加為倍也。
以甲減甲,為減盡。
減盡之法,為除法、開方法之止境。用之於方程者尤精。蓋除法者,除其所乘。開方者,除其所自乘。故必減盡而除乃止。除法、開方法之有減盡,正也。方程馭錯糅正負,數色相錯,不可以囫圇得之。其兩色者,必先去其一色。故互乘之後,列首位者對減必盡。對減盡,則一色去矣。數既錯糅,則一色減盡。一色減之必不盡。惟三色者,兩行互有空位,互相減,而其下位者適盡,則為兩色之較適足與首位之減盡者,又異矣。如馬一,騾一,共載四石二斗。騾二,驢一,共載四石二斗。馬一,驢三,共載四石二斗。馬首位減盡,此去其一色也。右中之騾一,左下之驢三,所對皆空,而末列之載數,左右均四石二斗,減盡。此為騾一,較驢三,其載適足,與兩馬之減盡,不同也。蓋適足者,相當之名。減盡者,相入之名。相入,則兩數皆去,故曰盡。相當,則兩數尚存,故曰適。盈不足術有適足,而非出於相減。盈不足之所與適足者,隱伏不見,而所見之兩盈、兩朒,以上兩率互乘之,斷無適足之理。故方程有減盡、有適足。盈不足有適足、無減盡也。
以甲中分為半之。
半之,亦曰折半。於除法為二而一。
遞相倍為自倍,遞相半為自半。
《九章算術·衰分》云:“今有女子善織,日自倍。”術云:“置一、二、四、八、十六,為列衰。”蓋倍一為二,倍二為四,倍四為八,倍八為十六,所謂自倍也。又《盈不足》題云:“蒲生一日長三尺,莞生一日長一尺,蒲生日自半,莞生日自倍,問幾何日而長等?”又題云:“垣厚五尺,兩鼠對穿,大鼠日一尺,小鼠亦日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問幾何日相逢?”
三分甲,以二為太半,以一為少半。
太半即大半,少半即小半。《衰分》術云“田一畝,收粟六升太半升”,《商功》術云“圓囷高一丈三尺三寸少半寸”,是也“少半寸”猶言“少於半寸”,非謂缺少半寸也。
有甲乙,欲得其中平,則相加而半之。欲仍得甲乙,則倍之而相減。
《方田》章邪田術云“并兩邪而半之”。邪田,為一句股一縱方相連形。并而半之,則成一縱方形也。箕田術云“并踵舌而半之”。箕田,為兩句股夾一縱方形。并而半之,亦成一縱方形也。推此而《商功》章城垣隄溝壍渠術云“并上下廣而半之”,《緝古算經》造仰觀臺羨道術云“半上下廣差”,又云“以上下廣差,并上下袤差,半之”。蓋無論為冪、為體、為差,有上下廣之不齊,必用是法以齊之。其《方田》章環田術云:“并中外周而半之。”《商功》章曲池術云:“并上中外周而半之,以為上袤,亦并下中外周而半之,以為下袤。”此内周小於外周,猶上廣小於下廣,故并而半之,以齊其不齊也。以不齊之邊,求積如是。若以積求不齊之邊,必倍中平廣數,減上得下,減下得上,無可疑矣。《商功》穿地為垣術云:“置垣,積尺,以深袤相乘為法,所得除得中平廣數,倍之,減上廣餘即下廣。”是也。《句股》章句弦并與股求句弦術云:“令七自乘,亦令三自乘,并而半之,以為甲邪行率。”蓋七為句弦并,三為股。凡句弦并,自乘為句乘句股并者二,句弦差乘句弦并者一。句弦差乘句弦并,同於股自乘之數。故以股自乘,并句弦并自乘而半之,適得中平。所以用為邪行率者,雖别見通率之巧句乘句弦并,加句弦差,乘句弦并,是弦乘句弦并也。於句弦并,自乘數中減去弦乘句弦并,是餘句乘句弦并也。以句乘句弦并為句率,以弦乘句弦并為弦率,因以股乘句弦并為股率。故為率之巧,而并而半之之意,則無殊也。
得數,視所求為倍者,則豫半之;視所求為半者,則豫倍之。
乘必正方而後得數。其方不正,亦必正之。則積數必浮於本數。故豫半其邊,以求其合。《方田》圭田術云“半廣以乘正從”。圭田,即兩要相等之三角形。正從,即中垂綫。以中綫為界,以左補右,成正方形,而底綫適相半也。《均輸》術云:“今有客,馬日行三百里,客去忘持衣,日已三分之一,主人乃覺,持衣追及,與之而還,至家,視日四分之三,問主人馬不休,日行幾何?”術曰:“置四分日之三,除三分日之一,半其餘以為法,副置法增三分日之一,以三百里乘之為實。”此因四分日之三,為客馬之行與主人往還之行相加之數,三分日之一,為客馬單行之數,既減去此數,餘為主人往還之數。今止用主人追及之數為率,故半之也。又《句股》葭池術云“半池方自乘”。題云:“池方一丈,葭生中央,引葭赴岸,適與岸齊,自中央至岸,適得池之半。”故亦於正而求其偏也。又:“邑方二百步,各中開門,出東門十五步有木,問出南門幾何步見之?”術曰:“出東門步數為法,半邑方自乘為實。”半邑方者,自中開門。用自門至城隅為股,適當城之半。猶葭生池之中而至岸也。《孫子算經》云:“有獸,六首四足;禽,四首二足。上有七十六首,下有四十六足,問禽獸各幾何?”術曰:“倍足以減首,餘半之,即獸。以四乘獸,減足,餘半之,即禽。”蓋每首之數十,每足之數六以一獸一禽言,倍足減首,每獸尚餘二首,故半之得獸數。以四足乘之,是為獸足共數,於禽獸共足中,減獸之共足,餘每禽二足,故半之得禽數。又:“雉兔同籠,上有三十五頭,下有四十九足
“四十九足”,《孫子算經》(《算經十書》本)作“九十四足”。,問雉兔各幾何?”術曰:“上置頭,下置足,半其足,以頭減足,以足減頭,即得。”蓋雉兩足兔四足,半之,是雉一足,兔兩足矣。一足與一頭相若,故減去頭數,所餘即兔足,有一足即一兔矣。約分之術云“可半則半之”,相其題,施其術,諸用半之之義,不外是言也。
倍與半為向背。圭田求積,半廣以乘正從,若求廣,則倍積以開方之矣。知半之理,即知倍之理也。《孫子算經》云:“今有方田,桑生中央,從角至桑,一百四十七步,問田幾何?”術云:“置角至桑,倍之,以五乘之,以七除之,自相乘,以二百四十步除之,即得。”蓋中央至角,僅得邪行之半,故倍之,而弦數乃全。凡弦自乘,倍於方田自乘,既倍為弦,則自乘而半之,可矣。今以五乘七除,七當作十,五乗不啻二除,即半之爾。又:“三雞共啄粟一千一粒,雛啄一,母啄二,翁啄四。主責本粟,三雞主各償幾何?”術云:“置粟一千一粒為實,并三雞所啄七粒為法,除之,為雞雛主所償之數。遞倍之,即得母翁主所償。”此為衰分之常法,而遞倍之者,因一、二、四為遞倍,亦相其題,施其術焉爾。
以乙加甲則差隱,以乙減甲則差見。
甲乙,其有差者也。既相加,乙即化於甲中。惟以乙減甲,則甲中去一乙,主客兩乙俱減盡。然甲本盈於乙,減去兩乙,乙盡矣。甲尚有所留,則差也。加者,容納之謂,故長短偏雜之皆渾。減者,鑒别之謂,故纖豪蔈末之盡露。二者相為用,而數可定矣。《緝古算經》謂差為多數少數。
以甲加乙,或以乙加甲,其和數等。於和數減甲得乙,減乙得甲,其較數必不等。
和,即古所謂并。較,即古所謂差。加減者,用法之名。和、較者,得數之名。甲乙本有差,相加則無差,故無論甲加乙、乙加甲,其得數必等。若復以甲乙互減之,則仍有差矣。既有差,則數自不相等也。惟和數等,故用加者,可以相通。惟較數不等,故用減者必不容相借。
以甲加乙,以乙加甲,則差平。以甲加甲,以乙加乙,則差倍。以甲加甲,以甲加乙,或以乙加甲,以乙加乙,則差如初。以丙減甲,以丙減乙,或以丁減甲,以丁減乙,則差亦如初。
甲本盈,以乙消之。乙本朒,以甲補之。故有差而無差。此互加互乘之法所由用也詳見後。甲盈,又益以甲。乙朒,止益以乙。有兩甲乙,即有兩甲乙之差,故倍之也。同加以甲,同加以乙,原數雖增,而原差不增。同減以丙,同減以丁,原數雖損,而原差不損。論數之理,甲乙不足以括之,又假丙以次乙,假丁以次丙云爾後用戊己庚辛壬癸亦然。
... ...
目錄
前言一
校點説明一
總叙一
加減乘除釋
序
加減乘除釋卷一
加減乘除釋卷二
加減乘除釋卷三
加減乘除釋卷四
加減乘除釋卷五
加減乘除釋卷六
加減乘除釋卷七
加減乘除釋卷八
天元一釋
序一
序二
天元一釋上
天元一釋下
開方通釋
開方通釋叙
開方通釋
釋弧
序一
序二
釋弧卷上
釋弧卷中
釋弧卷下
釋輪
釋輪卷上
釋輪卷下
釋橢
釋橢序
釋橢
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