第一章常微分方程的基础知识
本章主要介绍常微分方程一些最基本的知识，如微分方程和解的定义、解的几何解释、解的存在和唯一性定理的叙述，以及微分方程的各种解法等。微分方程理论的证明部分本章涉及较少。
1.1常微分方程的基本概念
本节首先介绍微分方程及其解和通解的定义。
1.1.1微分方程和解
微分方程是指含有未知函数的导数的方程。未知函数的自变量是单变量的微分方程称为常微分方程。未知函数的自变量是多变量的微分方程称为偏微分方程。
微分方程含有的导数的最高阶数称为微分方程的阶。
例
(1)方程
是3阶常微分方
(2)方程
是4阶常微分方程。
(3)Newton第二运动定律导出的微分方程
是2阶常微分方程，其中m是质点的质量，F是t时刻质点在位置x(t)受到的沿着运动方向的作用力。
(4)方程
是1阶偏微分方程。
(5)方程
是2阶偏微分方程，其中A，B，C，D，E，F是常数。
(5.1)当B^2-AC<0时，上述二阶方程称为椭圆偏微分方程。Laplace方程Deltau=0和Poisson方程Deltau=f是其特例，其中Delta是Laplace算子vspace-1mm
(5.2)当B^2-AC=0时，上述二阶方程称为抛物偏微分方程。热传导方程是其特例，其中k是热扩散率。
(5.3)当B^2-AC>0时，上述二阶方程称为双曲偏微分方程。波动方程
是其特例，其中c是波的传播速度。
本书主要讲述常微分方程，作为常微分方程理论在偏微分方程中的应用，书中3.3.2小节介绍一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法。
作为Strurm-Liouville边值问题解的理论的应用，5.3节介绍了热传导方程和波动方程初边值问题的解法。
n阶常微分方程的一般形式是
其中F是关于n+2个变量的给定函数，且F必须含有因x关于t的n阶导数含在函数F之中，所以称eqrefe00为bmn阶隐式常微分方程(简称bmn阶隐式方程)。以后为了方便起见常用dotx，ddotx，x'(t)，x''(t)和x^(n)(t)表示未知函数x关于自变量t的各阶导数。常微分方程中，习惯上常用时间t作为自变量，也常用y作为因变量，x作为自变量等。bmn阶显式常微分方程的一般形式是其中f是关于n+1个变量的函数。易见，显式常微分方程可以写成隐式常微分方程的形式。而隐式常微分方程局部地也可以利用隐函数存在定理表示成显式的形式。
设函数F定义在mathbbR^n+2维空间的某开区域Omega上。
定义在(t_1，t_2)上的函数x=phi(t)称为微分方程的解，如果phi(t)在(t_1，t_2)上具有n-1阶连续导数，其n阶导数存在，且称(t_1，t_2)为解的定义区间。注：有可能t_1=-infty或t_2=infty。th例函数y(t)=c_1cost+c_2sint，给定常数c_1，c_2，tin，(-infty，，infty)，是二阶微分方程的解。注意到上述二阶微分方程的解中含有两个任意常数c_1，c_2。设是一开区域，bmc=(c_1，cdots，c_n)。含有n个常数的函数x=phi(t，bmc)，(t，bmc)in(t_1，t_2)，称为微分方程的通解，
如果phi是方程eqrefe00的解，且n个常数是it
任意的或it独立的，即关于行列式微分方程eqrefe00的不包含在通解中的解称为特解。
th注粗略地说，
n阶微分方程通解中n个常数的任意性在某种意义下刻画了通解是由n个线性无关的解或函数无关的解构成的。
读者学完第3章高阶微分方程与微分方程组的关系，以及第4章高阶线性微分方程(组)通解的结构理论后将有更加深刻的认识。
(1)容易验证上述例子中的两个常数c_1，c_2是任意的。直观上讲，
函数x=phi(t，c_1，cdots，c_n)中的常数是任意的，
是指它们无法合并。例如
中的三个常数c_1，c_2，c_3是任意的，因为它们无法合并。本质上，
三个函数1，t，t^2是线性无关的。而
中的常数不是任意的，
因为x的表达式可写成x=(c_1+c_3)+(c_2+c_3)t，
故本质上只有两个任意常数。事实上，函数1，t，1+t是线性相关的。
(2)微分方程
有通解y=-(x+c)^-1，其中c是任意常数。显然，y=0也是方程的解，但它不包含在通解之中，即y=0是方程的一个特解。该例表明通解未必包含微分方程的所linebreak有解。
n阶微分方程eqrefe00或eqrefe01满足it初始条件称为初值问题，其中t_0inmathbbR称为it初始时间，(x_0，x_1，cdots，x_n-1)inmathbbR^n称为it初始值或简称it初值。微分方程eqrefe00或eqrefe01满足初始条件eqrefe02的解称为初值问题的解。
n阶微分方程初值问题中的初始条件是由n个条件确定的。
当初始值(x_0，x_1，cdots，x_n-1)属于向量函数(phi(t，bmc)，phi'(t，bmc)，cdots，phi^(n-1)(t，bmc))，linebreak(t，bmc)int_0timesLambda的值域时，初值问题的解包含在通解中。
这是因为存在bmc_0inLambda，使得phi(t，bmc_0)就是初值问题的解。例如y=ce^x是微分方程y'=y在mathbbR上的通解。它包含了方程所有的解。
初值问题广泛出现在实际应用中。
例如自由落体的运动规律由初始位置和初始速度完全确定。
subsection微分方程和解的例子labels0。
1.2
(1)二阶微分方程
有通解
其中c_1和c_2是任意常数。
(2)三阶微分方程
有通解
其中c_1，c_2，c_3是任意常数。
(3)设a(x)，，b(x)在(alpha，beta)subsetmathbbR上连续，x_0in(alpha，beta)，y_0inmathbbR，则一阶微分方程初值问题
在xin(alpha，beta)上有解
(4)初值问题
在xinmathbbR上有无穷多个解
其中cge1是任意常数。图1.1(a)给出该初值问题多解的示意图。
(5)微分方程
满足初始条件y(1)=1在(-infty，2)上有解y=(2-x)^-1;
满足初始条件y(1)=-1在(0，infty)上有解y=-x^-1。
图1-1(b)给出满足两个不同初始值的解的示意图。
例(4)和例(5)中初值问题解的示意图
(6)初值问题
在left(-dfracpi2，dfracpi2right)上有解y=tan
例(4)中方程右端的函数在(x，y)平面上连续，但在y=0处不可微，初值问题有无穷多个解。这涉及微分方程初值问题解的存在与唯一性问题，将在后文中逐步介绍。
例(5)和(6)中微分方程右端函数在(x，y)平面上连续可微，
但解的定义区间有很大的区别。这是后文将要介绍的解的延拓问题。
例(5)表明同一个微分方程满足不同初始条件的解的定义区间可能是不同的。1.1.3微分方程解的几何解释、存在和唯一性
为了阐述基本理论，首先考虑如下一阶显式微分方程:
其中f在mathbbR^2的某开区域Omega上连续。设x=phi(t)，tin(alpha，beta)是微分方程eqrefe03的一个解。则Gamma:=(t，phi(t)):，，tin(alpha， beta)是Omega中的一条光滑曲线(其证明将在第2章给出)，称之为微分方程eqrefe03的积分曲线。在积分曲线上任一点(t_0，phi(t_0))，其切线斜率phi'(t_0)等于f(t_0，phi(t_0))，见图1.2。这说明对于Omega中任一点(t，x)，如果有积分曲线通过，则通过该点的积分曲线的切线斜率为f(t，x)。
对forall，(t，x)inOmega，过该点作斜率为f(t，x)的小线段。Omega中所有这些小线段的全体构成的集合称为微分方程eqrefe03的线素场，见图1.3。利用线素场可以近似地作出微分方程的积分曲线。例如微分方程
除了x轴外处处都有定义，vspace1。3mm且连续可微。在所有积分曲线上，切线斜率为cne0的点构成直线，它与直线y=cx垂直。因此该方程的线素场如图1。4(a)。从
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