微积分和线性代数之外的数学世界是什么样的？本书由东京大学数学系的学者生动地阐释了当下正在进行的有趣数学研究。本书是“数学的现在”丛书中的一部，丛书荣获2019年日本数学会出版奖，分为三卷：i卷（代数卷）、π卷（几何卷）和e卷（分析卷）。涵盖的主题包括代数几何、整数论、微分几何、微分方程和应用数学等前沿研究领域。 每一卷专注于几个相关主题，包含10到15讲。每讲由该领域的知名学者撰写，简明扼要地介绍了该领域的发展脉络和重要内容，并提供了进一步阅读材料和相关练习。这套丛书是数学研究者和爱好者了解当前引人入胜的数学研究的宝贵指南，是当代数学中不可多得的资源。 本书为第一卷（i卷），围绕数论几何、代数儿何，整数论和表示论等主题展开讨论，适合数学专业本科生和一般数学爱好者阅读。

第一讲 算术几何学——从黎曼猜想到平展上同调
1.1 黎曼猜想
1.2 数域与函数域的类似
1.3 黎曼面的亏格
1.4 亏格与有理点
1.5 韦伊猜想
1.6 平展上同调
第二讲 代数几何——黎曼曲面与雅可比流形
2.1 复变函数的解析延拓，黎曼曲面的萌芽
2.2 黎曼曲面和全纯函数、亚纯函数
2.3 超椭圆曲线
2.4 全纯微分形式和线积分、亏格
2.5 除子、除子类群和全纯线丛
2.6 亚纯函数的存在与代数曲线
2.7 曲线的雅可比流形和阿贝尔定理
第三讲 代数几何——枚举几何学
3.1 枚举问题
3.2 复射影空间
3.3 枚举不变量
3.4 陈类
3.5 代数簇上曲线的枚举
3.6 镜像对称性
3.7 曲线的模空间
3.8 Gromov-Witten不变量
3.9 Donaldson-Thomas不变量
第四讲 无限维李环与有限群——顶点算子代数与月光猜想
4.1 李环
4.2 仿射型李环
4.3 算子积展开
4.4 顶点代数
4.5 海森伯顶点代数
4.6 偶幺模格
4.7 有限单群的分类
4.8 月光与Conway-Norton猜想
4.9 月光模与魔群
4.10 各种话题
第五讲 李群的表示论——围绕表示的特征
5.1 群的表示
5.2 紧群的表示
5.3 紧群的特征
5.4 非紧约化李群的特征
第六讲 整数论——潜伏在模曲线背后的数论现象
6.1 不可思议的模曲线
6.2 模曲线与整数论
6.3 从模曲线到志村簇
第七讲 整数论——谈谈朗兰兹对应
7.1 引子
7.2 一条曲线
7.3 从群开始
7.4 再谈整数论
7.5 再话几何
7.6 两个话题
7.7 再谈整数论
第八讲 代数几何——代数簇的分类理论
8.1 代数簇
8.2 双有理等价
8.3 典范除子
8.4 代数曲线的分类
8.5 代数簇的形变
8.6 离散分类
8.7 小平维数
8.8 极小模型
8.9 三维以上极小模型理论
8.10 半正定性定理与小平维数的可加性
第九讲代数几何——奇点解消的弧空间方法
9.1 代数簇的奇点
9.2 代数簇上的全纯函数
9.3 微分模与标准模
9.4 Mather-Jacobian偏差
9.5 jet空间与弧空间
9.6 弧空间在最小MJ-对数偏差方面的应用
9.7 特征值为0时的MJ-奇点
9.8 面向正特征值奇点方面的应用
第十讲 代数几何——奇点理论中的正特征值方法
10.1 奇点
10.2 b函数
10.3 对数典范阈值
10.4 F纯阈值
第十一讲 量子可积系统——Lassalle猜想与Askey-Wilson多项式
11.1 氢原子
11.2 量子可积系统与特殊函数
11.3 Askey-Wilson多项式的定义
11.4 Askey-Wilson多项式的显式公式
11.5 无论如何也要展开为x的幂级数
11.6 迈出的第一步
11.7 Askeyr-Wilson多项式的退化状态
11.8 Vetrma的一般变换公式，Andrews的求和公式，Shing的二次变换公式
11.9 一般的参数（a，b，c，d）的情形
11.10 再一次请出Verma的变换公式
第十二讲 算术几何学——p进微分方程与等晶体
12.1 p进数域
12.2 p进微分方程
12.3 等晶体
索引
作者侧记