第1章绪论
1.1非均匀采样系统
近年来，基于数字控制器的计算机控制系统和网络化控制广泛应用于生产、生活的各个方面，作为其基础的采样控制系统理论起到了重要作用。传统的采样控制系统往往假设采样周期是单一恒定的，但在实际应用中，受系统本身硬件的限制、环境及资源能耗等因素的影响，采样周期往往并不能保持恒定。当系统的输入采样和/或输出采样呈现非等周期性时，即为非均匀采样。非均匀采样广泛存在于各类实际系统中，例如，在化工过程中，考虑各种因素的影响，需要经过多次的非均匀采样才能获得*优的关键变量；在网络化控制系统（networked control system）中，受网络因素的影响，系统在数据传输过程中存在网络诱导延时、时序错乱、数据包丢失、时钟同步和通信受限等现象，往往会导致数据采样间隔变得不均匀；在实时多任务操作系统中，由于任务优先级和资源共享，可能会出现处理器运行内存的抢占和阻塞，从而导致采样不规则；在事件触发和自触发控制系统中，传感器或控制器根据事件触发条件是否满足来判断是否采取动作，得到的事件触发间隔也是非均匀的；在相控阵雷达系统中，为了提高雷达的射频隐身能力，在分析相控阵雷达采样周期与射频隐身性能关系的基础上，往往需要根据目标运动状态的不同，自适应地设计下一时刻的采样周期从而满足跟踪精度的要求。相对于周期采样方式，非均匀采样能够获得更多的有用信号，有助于降低平均采样频率，提高处理器的效率，从而进一步提高系统的控制性能。
图1.1给出了常见的采样控制系统结构，主要包括被控对象、控制器和保持器。图中，代表被控输出的连续时间信号，在离散采样时刻tk，输出信号基于采样触发信号的请求，通过模拟/数字转换器获得。采样时刻由正的单调实数递增序列表示，代表第k个采样周期。在采样控制部分，数字控制器产生控制序列，通过保持器获得。输入信号是分段定常信号。
考虑如下的线性采样控制系统：
（1.1）
如果系统采样周期Tk非恒定且满足，和分别为*小和*大采样周期，则称系统（1.1）为线性非均匀采样系统。
1.2非均匀采样系统稳定性
稳定性问题是非均匀采样系统的一个重要问题，它是分析和设计非均匀采样系统的基础。回顾近些年来针对非均匀采样系统稳定性的研究，目前主要的分析方法有时滞系统方法、混杂系统方法、离散系统方法和输入/输出方法等。
1.2.1时滞系统方法
考虑系统（1.1)，将控制输入u（t）重新表示为
（1.2）
其中时滞是分段线性的，当时，并且，这里时滞表示自上次采样时刻起经过的时间。因此，非均匀采样系统（1.1）可建模为如下时变时滞线性系统：
（1.3）
在此基础上，通过分析系统（1.3）的稳定性来获取系统（1.1）的稳定性条件。对于系统（1.3）的稳定性分析，*直接的方法就是构建李雅普诺夫（Lyapunov）泛函。通常主要有以下三个步骤：首先，构建合适的Lyapunov泛函，例如可以构建含有三重积分的增广Lyapunov泛函、采样点不连续的Lyapunov泛函；其次，对构建的Lyapunov泛函求微分；*后，估计Lyapunov泛函导数，一般可以通过詹森（Jensen）不等式方法、维廷格（Wirtinger）不等式方法、基于自由权矩阵不等式的方法、倒凸组合法等来放缩Lyapunov泛函导数中的积分项，将所得结果转化成线性矩阵不等式来表示。时滞系统方法可以比较容易地设计系统的控制器，并可推广到具有参数不确定性的系统、带有时滞的采样控制系统和网络化控制系统等。
1.2.2混杂系统方法
由于连续状态和离散状态的存在，很自然地可以将采样控制系统建模为混杂系统（hybridsystem）。针对具有均匀和多速率采样的线性采样控制系统，文献利用混杂系统模型解决了系统的H∞和H2控制问题。文献和则把更加一般的混杂系统模型应用于非线性采样控制系统，给出系统的稳定性准则。Goebel等提出的基于混杂系统的理论框架为采样控制系统的研究建立了坚实的理论基础，并可以直接用于解决采样控制系统的控制器设计、观测器设计[58-62]以及时滞采样控制系统的分析等问题。文献[65]和[66]利用脉冲模型分析非均匀采样系统的稳定性问题。一般情况下，通过脉冲模型方法分析采样控制系统稳定性主要有以下两步。首先，构建采样控制系统的脉冲模型：考虑采样控制系统，令.x为一个分段常量信号，代表控制器在采样时刻的状态测量值，由增广的系统状态，系统有如下形式：
（1.4）
其中。其次，利用脉冲系统的相关理论分析采样控制系统的稳定性。更一般的非线性采样控制系统可以通过如下的脉冲系统表示：
（1.6）
对于形如式（1.5）的脉冲系统，可以通过构建Lyapunov泛函来分析系统的稳定性。例如，针对系统（1.5)，文献给出如下定理。
定理1.1[67]对于系统（1.5)，任意的脉冲序列满足。令.假定Fk和Jk满足是利普希茨（Lipschitz）连续的，并且，存在正常数c1、c2、c3、b，对于给定的Lyapunov泛函，满足如下条件：
（1.7）
（1.8）
（1.9）
则系统（1.5）在平衡点χ=0是全局指数稳定的。也就是，存在正常数c、λ满足。
在定理1.1中要求给定的Lyapunov泛函时时刻刻都是正的。如果要求Fk是全局利普希茨连续的，那么给定的Lyapunov泛函只要求在脉冲时刻是正的，也就是用条件代替式（1.7)。通过这个条件，文献[67]将定理1.1应用到非均匀采样系统，通过构建只要求采样时刻为正的Lyapunov泛函，得到非均匀采样系统的指数稳定性条件。
对于具有线性部分和跳跃部分的脉冲系统（1.4)，文献[53]、[57]、[67]和[68]构建了微分矩阵Lyapunov泛函，由定理1.1，存在微分矩阵函数，满足如下带有参数的线性矩阵不等式：
（1.10）
（1.11）
为了更容易证明定理1.1，文献[69]～[72]假设，式（1.10）和式（1.11）就转换成了凸的线性矩阵不等式。文献[73]基于线性微分包含分析脉冲时刻的行为给出如下充要条件。
定理1.2任意的脉冲序列满足，系统（1.4）的平衡点 是全局一致指数稳定的，当且仅当存在一个正二阶齐次泛函:是严格凸的，其中。
考虑定理1.2的特殊情况，可以构建脉冲时刻的二次Lyapunov泛函和连续时间的Lyapunov泛函来得到充分的系统指数稳定性条件。文献[57]通过理论推导证明这两类泛函的等价性。
1.2.3离散系统方法
将非均匀采样系统（1.1）以采样周期Tk离散化，可转化为一类离散时间线性参数时变系统：这里。对于离散化后的系统，往往只能分析系统在采样时刻的性能，而不能分析采样周期内部的特征。文献[74]说明采样控制系统的渐近稳定性在连续时间上和离散时间上是等价的。因此，通过构建Lyapunov泛函，要求在采样时刻是递减的，就可以给出采样控制系统全局一致指数稳定性的充分条件。文献[75]和[76]通过构建非单调的Lyapunov泛函，给出判定系统稳定性的充分条件。文献[77]通过构建一个类Lyapunov泛函，给出判定系统指数稳定性的充要条件，并且证明类Lyapunov泛函与文献[75]和[76]构建的非单调Lyapunov泛函是等价的。但这些条件本身在计算上是不容易处理的。为了获得容易求解的稳定性条件，文献[74]和[78]～[83]通过转移矩阵利用范数有界或多面体逼近法来估测时变系统矩阵δ（Tk)，可将难以求解的无限个线性矩阵不等式条件转化为易于求解的有限个线性矩阵不等式形式。多面体逼近法主要有约当型方法[84-86]、Cayley-Hamiton方法[87，88]、泰勒级数展开方法[73，89]。在实际中，需要估计采样周期内部的系统性能，文献[79]和[80]提出一种基于凸多面体逼近的连续时间方法，分析采样周期内部性能。
文献[90]～[94]利用环泛函（looped-functional）方法分析非均匀采样系统的稳定性。基本思想是既可以像时滞方法一样构建泛函，又可以保持离散系统稳定性条件的准确性。基于提升模型的思想，将采样控制系统（1.1）提升，对于，考虑提升的状态满足如下方程：
（1.12）
其中，代表采样控制系统在区间的轨迹。
定义一类函数的集合，如下定理建立了利用离散系统分析稳定性与利用泛函分析稳定性之间的关系。
定理1.3[92]针对系统（1.1）和提升的系统（1.12)，令，存在正常数u1、u2，对于。那么，以下两个结论等价：
（1）
（2）
也就是以上结论满足任意一个，都可以保证系统（1.1）渐近稳定。
时滞方法框架下构建的Lyapunov泛函要求是正的，但由于这个循环条件，定理1.3中Lyapunov泛函只要求在0和Tk时刻是正的，并不要求在区间（0，Tk）内部是正的，从而获得了更低保守性的稳定性条件。另外，文献[93]构建了多项式类型的环泛函，文献[94]则构建了双边类型的环泛函以分析非均匀采样系统的稳定性。
1.2.4输入/输出方法
输入/输出方法的基本思想是将采样误差视为连续系统的扰动，那么经典鲁棒控制理论就可以用来分析采样控制系统的稳定性。例如，文献[95]将非均匀采样系统（1.1）表示为如下形式：
（1.13）
采样误差可以等效地重新表达为e（t）
作为系统（1.13）的辅助输出，系统（1.1）可以等效地表示为算子Δsh的反馈互连：
（1.14）
以及系统
（1.15）
其中，Ccl=Acl=A+BK，Dcl=Bcl=BK。
系统（1.15）代表了具有输入扰动e的连续时间系统，算子Δsh充分考虑了采样变化的影响。通过采样误差（1.14）和系统（1.15）的互连，就可以借助鲁棒控制理论分析非均匀采样系统（1.1）的稳定性。例如，文献[74]和[95]利用小增益定理分析了非均匀采样系统的稳定性，文献[82]和[96]～[98]利用积分二次型约束（integral quadratic constraint，IQC）方法分析了非均匀采样系统的稳定性。
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