第1章 引言
1.1 研究背景及意义
近年来，随着制造业、流程工业、信息与能源产业等朝着高质量、高效率的方向发展，以奇异摄动技术为主要工具的多时标系统分析与综合问题得到了相当广泛的关注。
以机器人系统为例：当考虑执行机构动力学时，即使对于刚性机器人，其中的快变量也不可忽略。文献[1]采用奇异摄动理论研究了这类对象，这里体现快动力学的物理量是电机中的电枢电流；文献[2]则针对末端执行器与刚性环境接触的受限机械臂，建立了其奇异摄动模型；Asada等进一步利用奇异摄动滑动流形提出了受限机器人的一般性建模方法[3]；文献[4]研究了单连杆柔性臂的奇异摄动建模，摄动参数取为*小刚度系数的平方根。该文献建立了快、慢两个降阶子系统，其中慢子系统与等效的刚性臂同阶，而快子系统是以慢状态变量参数化的线性系统。依据复合控制的思想，首先基于慢子系统设计一个非线性反馈控制项，再设计快控制项用于稳定快动力学即可。
其他方面，文献[5]将奇异摄动技术引入温室气温控制中，除了考虑作为慢时标的作物生长过程外，进一步考虑了以往被忽略的温室动力学过程影响，在此基础上设计的*优控制律展示出较好的效果。在制造业领域，递阶结构应用非常广泛，一般来说，机器级具有较快的时标，而工厂级的响应较慢，许多学者已经利用奇异摄动技术来分析制造过程的动力学特点，如文献[6]考虑了产量计划问题，提出的*优控制律可以有效抑制施加在资源容量和需求中的随机干扰；在电力系统领域，常用的交流调速系统中都存在双时标特性，例如，在锁相调速系统中，机械变量的时间常数比电磁变量慢很多。文献[7]利用奇异摄动技术提出一种新的鉴相器模型，并导出了系统稳定的条件和捕捉带。
尽管当前将奇异摄动技术应用于制造业、流程工业、电力系统、航空航天等领域的研究方兴未艾，但目前的研究大都局限于采用线性奇异摄动技术[8]，而实际的多时标对象通常都呈现出非线性，局部线性化通常并不能取得预期的效果。这使非线性奇异摄动建模与控制的研究具有重要意义。
本书研究问题的出发点是将模糊逻辑技术与奇异摄动技术有机结合，提出模糊奇异摄动模型的建模思想，该模型可以简化对一大类多时标非线性系统的模型表示。为此，我们将一类可由模糊规则表达的非线性奇异摄动系统称为模糊奇异摄动系统。由于采用Takagi-Sugeno（简称T-S）的模糊模型表达形式，利用矩阵不等式工具和线性奇异摄动系统的有关理论，可以方便地研究模糊奇异摄动系统的分析与综合问题。本书分连续与离散两种情形系统地研究模糊奇异摄动系统的分析与综合问题，通过大量实例进行仿真验证，并进一步研究一类双线性矩阵不等式的遗传算法求解方法。
1.2 奇异摄动系统研究综述
在系统理论与控制工程中，建模是一个基本问题。对一个实际的物理系统建立的合理的数学模型常常是高阶的微分方程。如果系统中存在一些小的时间常数、惯量、电导或电容，则会使作为数学模型的微分方程有相当高的阶数，以及病态的数值特性。早期对这类系统的处理方法是简单地忽略快变模态从而降低系统的阶数，然而，大量事实证明，基于这样的简化模型设计的控制效果往往与设计要求相距甚远。奇异摄动方法是有效处理这类问题的工具，其思想是首先忽略快变量以降低系统阶数，然后通过引入边界层校正来提高近似程度。这两个降阶的系统就可以用来近似原系统的动力学行为。这实际上相当于在两个时间尺度范围内分别独立完成设计任务。对于动态系统，这种分解实际上就是一种时标的分解。
1.2.1 线性连续奇异摄动系统
线性连续时不变奇异摄动控制系统的一般表现形式为
（1.1）
其中，摄动参数；分别是系统的快、慢状态，是它们的维度；是适当维度的参数矩阵；为控制向量。
对线性时不变系统，经典的稳定性分析结果由Klimushev和Krasovskij于20世纪60年代通过“快慢分解”的思想得到[9]，即如果快、慢子系统均是稳定的，则摄动参数必存在一个稳定上界，在此范围之内，奇异摄动系统是稳定的。由于该方法将奇异摄动系统的稳定性分解为快、慢子系统的稳定性，避免了摄动参数引入的病态问题，直至今日，它仍然是分析稳定性的主要方法之一。该方法的关键在于对摄动参数上界的计算。多年以来，各国的学者在这一领域做了大量工作，早期的方法一般是频域方法，如文献[10]采用频域方法求取上界，即将状态空间模型转化为等价的频域模型，通过检查相关条件来确定其值。而文献[11]采用广义奈奎斯特图作为工具，当快模态维数为1时，能够得到确切的上界，但该方法很难推广到高维情形。
较之频域方法，时域方法的优点在于所需的假设较少，且可用于高阶系统，如文献[12]将问题转化为摄动参数不确定性的系统鲁棒性问题，利用临界判据法，只需求解矩阵的实特征值即可。文献[13]采用时域和频域方法同时给出了摄动参数上界的解析表达式。线性时不变奇异摄动系统的严格稳定性判别条件已经得到，但计算过程尚需简化。在闭环系统方面，文献[14]研究了采用输出反馈时闭环系统的稳定性，并给出鲁棒稳定性的定量分析。文献[15]利用李雅普诺夫方程，研究了可以使稳定摄动参数上界达到无穷大的状态反馈控制律。
奇异摄动系统的二次型*优控制早在20世纪70年代起就引起了人们的关注[16]。对奇异摄动系统，用传统的*优控制理论会涉及含小参数的里卡蒂（Riccati）方程求解问题。由于小参数的存在会引发病态问题，所以一般将原系统分解为快、慢子系统，对快、慢子系统分别设计二次型*优控制器（这样需要解两个Riccati方程），再将其组合成复合控制器。因此，这样设计出的控制器实际上只是次优的。
文献[16]提出著名的“两步法”，设计出独立于摄动参数的次优调节器，但由于未能实现严格分解，受快子问题的影响，在求解慢子问题时可能导致无解。文献[17]利用著名的Chang变换[18]对其做了严格的快慢分解，可获得O(ε2)的近似性能。另一种分解方法是直接对Riccati方程进行分解，文献[19]从哈密顿矩阵块对角化的角度对奇异摄动Riccati方程的分解做了研究，从数学意义上将其严格地分解为两个低阶的不对称Riccati方程。由于方程的O(ε)近似是对称的，并且实际上就是对应于快、慢子系统的Riccati方程，所以可以通过对近似方程求解作为初始解，再用牛顿迭代逼近原方程的解。这一理论对于奇异摄动系统的二次型*优控制问题有着十分重要的意义。
近年来，有学者尝试使用线性矩阵不等式（linear matrix inequality，LMI）来替代Riccati方程求解*优控制问题。文献[20]将这一思想应用到了奇异摄动系统。使用LMI的优点在于可以方便地考虑对控制系统结构的约束问题，如分散控制、输出反馈等。
一般来说，采用快慢分解的方法难以处理非标准情形。许多学者转而借助广义系统方法来研究奇异摄动系统，从而可以统一地处理标准和非标准的情形。文献[21]证明了对于充分小摄动参数，广义系统的*优控制器是对应奇异摄动系统的次优控制器，其性能指标与*优指标之间只相差数量级。
奇异摄动系统的控制方法主要可分为频域方法、时域方法以及微分对策方法。
频域方法的主要焦点是模型匹配问题。许多反馈问题，如跟踪、鲁棒稳定和干扰抑制等均可转化为模型匹配问题，即使闭环系统的频率响应匹配一个已给定的模型频率响应，并极小化频率峰值误差的范数。这方面*早开展工作的是文献[22]，而文献[23]、文献[24]解决了两频标（two frequency scale，TFS）系统的Nevanlinna-Pick插值问题，从而提供了另一种解决控制的方法。文献[25]提出的方法可适用于非*小相位系统。利用频域方法，可以得到一些直观且较时域方法更宽松的结论，但主要问题是难以推广到非线性情形。
文献[26]较早从时域角度研究了线性奇异摄动系统的控制问题，其指出，一个线性奇异摄动系统的控制问题可以分解为两个降阶子系统的问题，其中一个子系统就是快子系统，另一个虽然不是慢子系统，但与慢子系统同阶。文献[27]采用严格分解方法提出一种较高精度的控制器，通过它来实现次优控制，并证明了如果控制器精度达到，则干扰抑制水平可达到。文献[28]用递归方法求解广义代数Riccati方程，得到了形式上更为简单的高精度控制器，且该方法可适用于非标准的情形。
文献[29]直接从广义系统角度出发，通过分解Riccati方程，得出了次优控制器存在的条件，该条件与摄动参数无关，并指出输出反馈控制器本身也具有奇异摄动形式，其快、慢部分分别是原快、慢子系统的次优控制器。由于采用了广义系统方法，结论可以应用于非标准情形。
由于控制问题与一类线性二次微分对策问题有着非常密切的联系，这为研究者提供了新的思路。零和微分对策具有数学上的直观与简洁性，并且可以很容易解决由干扰、控制和状态在慢子系统性能指标中构成的交叉项问题，这在早期的方法中由于处理上的困难，一般是忽略的。文献[30]提出用微分对策来研究奇异摄动系统的控制问题。
1.2.2 线性离散奇异摄动系统
与连续情形不同，离散奇异摄动系统由于采样速率的不同，存在多种表达形式[31]，例如，常见的有以下四种表达（自治形式）：
（1.2a）
（1.2b）
（1.2c）
（1.2d）
式（1.2a）～式（1.2d）中的变量和参数矩阵定义与式（1.1）相同，，I为合适维数的单位矩阵。
许多连续系统的分析方法已能推广到离散情形。例如，文献[32]采用类似文献[11]的方法，基于奈奎斯特图确定了摄动参数的稳定上界，但结果同样难以应用于高阶情形。文献[31]采用状态空间方法，将摄动参数作为结构不确定性来处理，并利用临界稳定判据计算摄动参数稳定上界的确切值。文献[33]进一步研究了多摄动参数的情形。
目前离散情形的综合问题的研究还非常初步，对于标准离散奇异摄动系统，文献[34]研究了调节器问题，文献[35]定义了非标准离散奇异摄动系统的形式，并初步研究了它的二次型调节问题。
1.2.3 非线性奇异摄动系统
一般形式的非线性奇异摄动系统状态方程为
（1.3）
其中，摄动参数；的定义与式（1.1）相同；是非线性函数。
非线性奇异摄动系统的稳定性分析主要是基于李雅普诺夫函数的方法。文献[36]较早研究了复合李雅普诺夫函数的存在性。其主要思想是将原系统分解为两个低阶系统，即降阶系统和边界层系统，假设它们分别是渐近稳定的，则可以分别建立对应的李雅普诺夫函数。通过将这两个李雅普诺夫函数的加权和作为复合李雅普诺夫函数，可以得到对于充分小的摄动参数，原系统保持渐近稳定需要满足的条件。这些条件会因为选用不同的假设（主要是光滑性假设）、不同的李雅普诺夫函数而不同。在非线性奇异摄动稳定性分析方面，文献[37]的工作有较大影响。该文献仍然是采用复合李雅普诺夫函数方法，但选取的是二次型李雅普诺夫函数，所得结果适用于一般非线性系统，并进一步给出估计摄动参数上界的定量表达式以及指数稳定情形。文献[38]将其进一步推广到了多摄动参数情形。文献[39]利用圆判据研究了奇异摄动Lur’e问题，并推广到多摄动参数情形。
非线性奇异摄动系统的*优控制问题将导致求解高维的两时标哈密顿-雅可比偏微分方程。为了避免这一困难，一般也使用复合控制器的方法，这种与小参数无关的控制器是基于降阶的慢、快子问题设计的，也有用级数展开方法来求取哈密顿-雅可比偏微分方程的近似解。然而此近似解的*优性却没有得到充分的研究。文献[40]利用广义系统的方法研究了非线性系统的问题，但对性能指标的优化只是局部的。目前这方面的工作还相当初步。针对非线性奇异摄动系统控制的研究目前尚不多见，文献[41]讨论了一类非线性奇异摄动系统的控制，这里对系统的限制是：状
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