第一篇第一章函数、极限、连续
（一）考试内容
（1）函数：①函数的概念及表示法；②函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；③复合函数、反函数、分段函数和隐函数；④基本初等函数的性质及其图形；⑤初等函数；⑥函数关系的建立。
（2）极限：①数列极限与函数极限的定义及其性质；②函数的左极限和右极限；③无穷小量和无穷大量的概念及其关系；④无穷小量的性质及无穷小量的比较；⑤极限的四则运算；⑥极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则；⑦两个重要极限：
limx→0sinxx=1，limx→∞1+1xx=e。
（3）连续：①函数连续的概念；②函数间断点的类型；③初等函数的连续性；④闭区间上连续函数的性质。
（二）考试要求
（1）理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。
（2）了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
（3）理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
（4）掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
（5）理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。
（6）了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
（7）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。
（8）理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
（9）了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、大值和小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。
（一）选择题
1.(★☆☆)设f(x)=1，x≤1,0，x>1,则f {f ［f(x)］}等于()
(A)0。(B)1。
(C)1，x≤1,0，x>1。(D)0，x≤1,1，x>1。
2.(★★★)设limn→∞an=a，且a≠0，则当n充分大时有（）
视频讲解（A）an>a2。（B）an （C）an>a-1n。（D）an 3.(★★★)关于数列{xn}，下列命题中不正确的是（）
视频讲解（A）若limn→∞xn=a，则limn→∞x2n=limn→∞x2n+1=a。
（B）若limn→∞x2n=limn→∞x2n+1=a，则limn→∞xn=a。
（C）若limn→∞xn=a，则limn→∞x3n=limn→∞x3n+1=a。
（D）若limn→∞x3n=limn→∞x3n+1=a，则limn→∞xn=a。
4.(★☆☆)设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且limx∞f(x)=a，g(x)=f 1x，x≠0,0，x=0，则()
(A)x=0必是g(x)的第一类间断点。
(B)x=0必是g(x)的第二类间断点。
(C)x=0必是g(x)的连续点。
(D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关。
5.(★★☆)设x→0时，ax2+bx+c-cosx是比x2高阶的无穷小，其中a，b，c为常数，则()
(A)a=12，b=0，c=1。(B)a=-12，b=0，c=0。
(C)a=-12，b=0，c=1。(D)a=12，b=0，c=0。
6.(★★★)函数f（x）=xsin（x-2）x（x-1）（x-2）2在下列哪个区间内有界（）视频讲解
（A）（-1，0）。（B）（0，1）。
（C）（1，2）。（D）（2，3）。
7.(★★☆)设x→0时,(1+sinx)x-1是比xtanxn低阶的无穷小，而xtanxn是比(esin2x-1)ln(1+x2)低阶的无穷小，则正整数n等于()
(A)1。(B)2。
(C)3。(D)4。
8.(★★☆)设f(x)和φ(x)在(-∞，+∞)上有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则()
(A)φ［f(x)］必有间断点。(B)［φ(x)］2必有间断点。
(C)f ［φ(x)］必有间断点。(D)φ(x)f(x)必有间断点。
9.(★★★)设x→a时,f(x)与g(x)分别是x-a的n阶与m阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是()
① f(x)g(x)是x-a的n+m阶无穷小。
②若n＞m，则f(x)g(x)是x-a的n-m阶无穷小。
③若n≤m，则f(x)+g(x)是x-a的n阶无穷小。视频讲解
(A)1。(B)2。
(C)3。(D)0。
10.(★★★)当x→0时，∫x20(et3－1)dt是x7的（）
视频讲解（A）低阶无穷小。
（B）等价无穷小。
（C）高阶无穷小。
（D）同阶但非等价无穷小。
11.(★★★)当x→0时，f（x）=x-sinax与g（x）=x2ln（1-bx）是等价无穷小，则（）
视频讲解（A）a=1，b=-16。（B）a=1，b=16。
（C）a=-1，b=-16。（D）a=-1，b=16。
12.(★★★)已知当x→0时，f（x）=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则（）
视频讲解（A）k=1，c=4。
（B）k=1，c=-4。
（C）k=3，c=4。
（D）k=3，c=-4。
13. (★★☆)设f(x)=(x+1)arctan1x2-1,x≠±1，0，x＝±1，则()
(A)f(x)在点x=1处连续，在点x=-1处间断。
(B)f(x)在点x=1处间断，在点x=-1处连续。
(C)f(x)在点x=1，x=-1处都连续。
(D)f(x)在点x=1，x=-1处都间断。
视频讲解14. (★★★)函数f（x）=x-x3sinπx的可去间断点的个数为（）
（A）1。（B）2。
（C）3。（D）无穷多个。
15. (★☆☆)当x→1时，函数f（x）=x2-1x-1e1x-1的极限()
(A)等于2。(B)等于0。
(C)为∞。(D)不存在，但不为∞。
16. (★☆☆)函数f(x)=xsinx()
(A)当x→∞时为无穷大。
(B)在(-∞，+∞)内有界。
(C)在(-∞，+∞)内无界。
(D)当x→∞时极限存在。
17. (★☆☆)设f(x)在点x0的某邻域内有定义，且f(x)在点x0处间断，则在点x0处必定间断的函数是()
(A)f(x)sinx。(B)f(x)+sinx。
(C)f 2(x)。(D)f(x)。
18. (★★☆)把x→0+时的无穷小量α=∫x0cost2dt，β＝∫x20tan tdt，γ＝∫x0sint3dt排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是()
(A)α，β，γ。(B)α，γ，β。
(C)β，α，γ。(D)β，γ，α。
19. (★★☆)函数f(x)=limn∞x2n-1x2n+1的间断点及其类型是()
(A)x=1为第一类间断点，x=-1为第二类间断点。
(B)x=±1均为第一类间断点。
(C)x=1为第二类间断点，x=-1为第一类间断点。
(D)x=±1均为第二类间断点。
20. (★☆☆)设f(x)在R上连续，且f(x)≠0，φ(x)在R上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是()
①φ［f(x)］必有间断点。
②［φ(x)］2必有间断点。
③f ［φ(x)］没有间断点。
(A)0。(B)1。
(C)2。(D)3。
视频讲解21. (★★★)设f（x）=ln10x，g（x）=x，h（x）=ex10，则当x充分大时有（）
（A）g（x） （C）f（x） 22. (★☆☆)设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且limx∞［g(x)-φ(x)］=0，则limx∞f(x)()
(A)存在且等于零。(B)存在但不一定为零。
(C)一定不存在。(D)不一定存在。
23. (★★☆)设limx0atanx+b(1-cosx)cln(1-2x)+d(1-e-x2)=2，其中a2+c2≠0，则必有()
(A)b=4d。(B)b=-4d。
(C)a=4c。(D)a=-4c。
24. (★★★)设p（x）=a+bx+cx2+dx3，当x→0时，若p（x）-tanx是比x3高阶的无穷小，则下列选项错误的是（）
视频讲解（A）a=0。（B）b=1。
（C）c=0。（D）d=16。
25. (★★☆)设函数f(x)=xa+ebx在(-∞，+∞)内连续，且limx-∞f(x)=0，则常数a，b满足()
(A)a＜0，b＜0。(B)a＞0，b＞0。
(C)a≤0，b＞0。(D)a≥0，b＜0。
26. (★★★)若函数f(x)=1－cosxax,x>0,b,x≤0在x=0处连续，则（）
视频讲解（A）ab=12。（B）ab=－12。
（C）ab=0。（D）ab=2。
（二）填空题
1. (★★☆)若limx0sinxex-a（cosx-b）=5，则a=，b=。
2. (★★☆)limx→03sinx+x2cos1x(1+cosx)ln(1+x)=。
3. (★★☆)limx→01+x+1-x-2x2=。
视频讲解4. (★★★)limx→02x2+3x22x+3x1x=。
5. (★☆☆)设limx→∞x+2ax-ax=8，则a=。
6. (★★☆)设a>0，a≠1，且limx→+∞xp(a1x-a1x+1)=lna，则p=。
7. (★★☆)limx→0(cosx)1ln(1+x2)=。
8. (★★☆)limx→+∞6x6+x5-6x6-x5=。
9. (★★☆)设a1，a2，…，am为正数(m≥2)，则limn→∞(an1+an2+…+anm)1n=。
10. (★★☆)limx→01+tanx-1+sinxx1+sin2x-x=。
视频讲解11. (★★★)已知函数f(x)满足limx→01+f(x)sin2x-1e3x-1=2，则limx→0f(x)
=。
12. (★★☆)数列xn=ne1+1n-n-1，则limn→∞xn=。
13. (★☆☆)若f(x)=xsin1x,x>0,a+x2,x≤0在(-∞,+∞)内连续，则a=。
视频讲解14. (★★★)设函数f（x）=x2+1，x≤c，2x，x＞c在（-∞，+∞）内连续，则c=。
（三）解答题
视频讲解1. (★★★)设数列{xn}满足：x1>0,xnexn+1=exn－1（n=1,2,…）。证明{xn}收敛，并求limn→∞xn。
2. (★★★)设数列{xn}满足0＜x1＜π,xn+1=sinxn(n=1,2,…)。
视频讲解(Ⅰ)证明limn→∞ xn存在，并求该极限;
(Ⅱ)计算limn→∞xn+1xn1x2n。
3. (★★☆)求极限limx→0［(1+x)1x-e］sin ln(1+x)1+xsinx-1。
4. (★☆☆)求极限limx→0［sinx-sin(sinx)］sinxx4。
5. (★☆☆)求极限limx→0ln(1+x)x1ex-1。
视频讲解6. (★★★)求limx→01+x1-e-x-1x。
视频讲解
7. (★★★)求极限limx+∞（x1x-1）1lnx。
8. （★☆☆）求下列极限：
（Ⅰ）limn→∞1n2+1+1n2+2+…+1n2+n；
（Ⅱ）limn→∞1n2+12+1n2+22+…+1n2+n2；
（Ⅲ）limn→∞nn3+1+2nn3+2+3nn3+3+…+n2n3+n；
（Ⅳ）limn→∞n11+n2+122+n2+…+1n2+n2。
9. (★★☆)设函数f(x)在x=1的某邻域内连续，且有
limx→0ln［f(x+1)+1+3sin2x］1-x2-1=-4。
求f(1)及limx→0f(x+1)x2。
视频讲解10. (★★★)求极限limx→01x2lnsinxx。
11. (★★☆)求limx→01-cosxcos2x…cosnxx2。
视频讲解12. (★★★)设函数f（x）=x+aln（1+x）+bxsinx，g（x）=kx3，若f（x）与g（x）在x→0时是等价无穷小，求a，b，k的值。
13. (★★☆)求极限limx→0∫x0∫u20arctan（1+t）dtdux（1-cosx）。
14. (★★☆)设f(x)=limn→∞x2n-1+ax2+bxx2n+1，求常数a与b的值，使f(x)在(-∞,+∞)上处处连续。
15. （★☆☆）求函数f(x)=lnxx－1sinx的间断点，并指出其类型。
16. （★☆☆）求函数f(x)=x2－xx2－11+1x2的所有间断点及其类型。
17. （★★☆）已知f（x）在（-∞，+∞）内可导，且limx→∞f ′（x）=e，limx→∞x+cx-cx=limx→∞［f（x）-f（x-1）］， 求c的值。
18. （★★★）已知a,b为常数，1+ 1nn-e与bna在当n→∞时为等价无穷小，求a,b的值。视频讲解
（一）选择题
1.【答案】B
【解析】由题设可知f ［f(x)］=1,f(x)≤1,0,f(x)>1,
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