《中公版·2023管理类联考轻松学综合能力的奥秘（数学）》中公教育研究生考试研究院以近13年真题为导向、以考试大纲为基准，结合多年的教学实践经验，特编写了这本书，帮助考生尽可能在短时间内实现数学成绩的大幅度提升。本书的主要内容如下：
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综合能力的奥秘（数学）章算术
第章算术
复习精导
考试大纲1.整数
（1）整数及其运算；（2）整除、公倍数、公约数；（3）奇数、偶数；（4）质数、合数
2.分数、小数、百分数
3.比与比例
4.数轴与绝对值重难点重点1.整除的特征及应用
2.奇数与偶数的性质及应用
3.质数与合数的性质及应用
4. 整系数不定方程的求解
5. 比例的运算、性质及应用
6. 绝对值的几何意义、性质及应用难点1.组合最值求解
2. 等比定理应用
3. 绝对值三角不等式应用
4. 绝对值函数图像应用真题分布年份知识点占比2021.12整系数不定方程、绝对值三角不等式、质因数分解8%2020.12整系数不定方程、绝对值三角不等式、比与比例8%2019.12质数与合数、整系数不定方程、绝对值8%2018.12整数的除法、完全平方数、比与比例、绝对值16%2017.12整除特征、整系数不定方程、比与比例、绝对值16%2016.12整除特征、最大公约数、整系数不定方程、比与比例、绝对值20%2015.12整除特征、整系数不定方程8%2014.12质数、整系数不定方程、比与比例、绝对值16%2014.1质因数分解、比与比例8%2013.1质数、比与比例、绝对值12%2012.1奇数与偶数4%2011.1质数与合数、整系数不定方程、比与比例、绝对值16%2010.1奇数与偶数、质数与合数、比与比例、绝对值16%考点精析一、知识框架算术实数实数分类有理数与无理数整数除法奇数与偶数质数与合数公约数与公倍数完全平方数整系数不定方程判定方法求解原则比与比例定义求解（见比设k）性质正比例与反比例绝对值定义性质几何意义函数图像二、考点精讲
（一）实数分类
实数有理数整数正整数 零自然数负整数分数正分数负分数整数、有限小数或无限循环小数无理数正无理数 负无理数无限不循环小数
注：①整数、有限小数、无限循环小数统称为有理数；
②无限不循环小数称为无理数。
|例| 0.1·=0.111 11…，0.123· 1·=0.123 131 31…是无限循环小数，也是有理数；0.100 100 010 000 1…是无限不循环小数，也是无理数。
（二）有理数与无理数
1.定义
能表示为两个整数之商形式的实数为有理数，不能表示为两个整数之商形式的实数为无理数。常见的无理数主要有（1）圆周率π；（2）自然常数e；（3）kn（k≥2且k∈N+，n为开k次方开不尽的实数）。
|例| 若m=pq，其中p为整数，q为非零整数，则m为有理数。
注：常用无理数估值（熟记）
πe235678103.142.721.411.732.242.452.652.833.162.性质
（1）有理数与有理数：和、差、积、商为有理数（求商时分母不为0）。
（2）有理数与无理数：
①一个有理数和一个无理数的和、差为无理数；
②一个非0有理数和一个无理数的积、商为无理数。
（3）无理数与无理数：和、差、积、商有可能是有理数，也有可能是无理数。
3.运算
（1）分母有理化：
①定义：将算式中含有无理数的分母化为有理数的过程称为分母有理化。
②常考形式：
Ⅰ. 1a=aa·a=aa；
Ⅱ. 1a+b=a－b（a+b）（a－b）=a－ba－b；
Ⅲ. 1a－b=a+b（a－b）（a+b）=a+ba－b。
|例| 对无理数12+3进行分母有理化。
【解】 12+3=2－3（2+3）（2－3）=2－34－3=2－3。
（2）分子有理化：
①定义：将算式中含有无理数的分子化为有理数的过程称为分子有理化。
②常考形式：
Ⅰ. a=a1=a·aa=aa；
Ⅱ. a+b=a+b1=（a+b）（a－b）a－b=a－ba－b；
Ⅲ. a－b=a－b1=（a－b）（a+b）a+b=a－ba+b。
|例| 比较6－5与3－2的大小关系。
【解】 6－5=6－51=（6－5）（6+5）6+5=16+5，
3－2=3－21=（3－2）（3+2）3+2=13+2，
因为6+5>3+2，所以16+5<13+2。
（三）整数
1.整数的除法
（1）定义：f（被除数）÷g（除数）=h（商数）…r，（余数）
其中，f，h为整数，g，r均为正整数。若0≤r＜g，则存在唯一的h，r，使得f=gh+r。当r=0时，即f=gh，称f可以被g整除，g，h是f的约数（因数），f是g，h的倍数，此时商数h=fg。
注： f÷g的表述方式有①f除以g；②f被g除；③g除f；④g去除f。
（2）整除的特征：
①尾数：
Ⅰ.末一位数能被2（或5）整除的整数能被2（或5）整除；
Ⅱ.末两位数能被4（或25）整除的整数能被4（或25）整除；
Ⅲ.末三位数能被8（或125）整除的整数能被8（或125）整除。
|例| 1 250末一位是0，则1 250能被2和5整除；末两位是50，能被25整除，则1 250能被25整除；末三位是250，能被125整除，则1 250能被125整除。
②各位数字之和：
Ⅰ. 各位数的数字之和能被3整除的整数能被3整除；
Ⅱ. 各位数的数字之和能被9整除的整数能被9整除。
|例| 2 235各位数字之和为2+2+3+5=12，12能被3整除，则2 235能被3整除；12不能被9整除，则2 235不能被9整除。
③特殊情况：
Ⅰ. 奇数位数字之和减去偶数位数字之和能被11整除的整数能被11整除；
Ⅱ. 末三位数与末三位数以前的数字所表示的数之差能被7整除的整数能被7整除。
|例| 1 005 928的奇数位数字之和为8+9+0+1=18，偶数位数字之和为2+5+0=7，18－7=11，11能被11整除，则1 005 928能被11整除。1 005 928的末三位数所表示的数为928，末三位数以前的数字所表示的数为1 005，1 005－928=77，77能被7整除，则1 005 928能被7整除。
2.奇数与偶数
（1）定义：能被2整除的整数称为偶数，记为2k（k∈Z）；被2除余1的整数称为奇数，记为2k+1（k∈Z）。
注：负整数和零也有奇偶性。
|例| …，-4，-2，0，2，4，6，…是偶数；…，-5，-3，-1，1，3，5，…是奇数。
（2）运算性质：
①和差运算（同偶异奇）：
Ⅰ. 奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数；
Ⅱ. 若干个整数相加（相减），若奇数的个数为奇数，则和（差）为奇数；若奇数的个数为偶数，则和（差）为偶数。
|例| 1+2+3+4+…+50的和是奇数还是偶数？
【解】 1，2，3，4，…，50中有25个奇数，奇数的个数是奇数，所以1+2+3+4+…+50的和是奇数。
②积运算（遇偶则偶）：
Ⅰ. 奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数；
Ⅱ. 若干个整数相乘之积为奇数，则这些数全为奇数；若干个整数相乘之积为偶数，则这些数至少有一个为偶数。
③其他运算：
Ⅰ. 若|n|∈Z，则其奇偶性与n相同；
Ⅱ. 若n∈Z，则其奇偶性与n相同；
Ⅲ. 若nk∈Z（n∈Z，k≠0），则其奇偶性与n相同。
3.质数与合数
（1）定义：设n为正整数，且n≥2，若n仅能被1和它本身整除，则称n为质数（素数），否则为合数。
注：若n为小于2的整数，则n既非质数也非合数。
|例| 2，3，5，7是质数；4，6，8，9，10是合数。
（2）性质：
①2是唯一的偶质数；
②小于30的质数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29。
（3）应用（质因数分解）：
①定义：把一个合数分解成若干个质因数相乘的形式称为质因数分解。
②质因数分解式：设n为正整数，且n≥2，则n必可写成n=pk11pk22…pkss，其中p1，p2，…，ps为质数，k1，k2，…，ks为正整数，若p1＜p2＜…＜ps，则n的这种表达形式是唯一的，n的这种表达式称为其质因数分解式。
|例| 18=2×32，60=22×3×5。
4.公约数与公倍数
（1）定义：设m，n均为正整数，若a既是m的约数，又是n的约数，则称a为m，n的公约数，所有公约数中最大者称为m，n的最大公约数，记为（m，n）；若b既是m的倍数，又是n的倍数，则称b为m，n的公倍数，所有公倍数中最小者称为m，n的最小公倍数，记为［m，n］。
（2）求解方法：
①两个整数的最大公约数与最小公倍数：
Ⅰ.短除法：依次找出两个整数的公约数，写至短除符号左侧，直到下侧两个数互质（两个整数的公约数只有1），则短除符号左侧所有整数相乘之积为两个数的最大公约数，短除符号左侧及下侧所有整数相乘之积为两个数的最小公倍数。
|例| 求18，60的最大公约数与最小公倍数。
【解】 218603930310则（18，60）=2×3=6，［18，60］=2×3×3×10=180。
Ⅱ. 质因数分解法：将两个整数进行质因数分解，则所有公共质因数的最低幂次相乘之积为两个数的最大公约数，所有质因数的最高幂次相乘之积为两个数的最小公倍数。
|例| 求18，60的最大公约数和最小公倍数。
【解】 18=21×32，60=22×31×51，则（18，60）=21×31=6，［18，60］=22×32×51=180。
Ⅲ. 性质：设m，n均为正整数，则m×n=［m，n］×（m，n）。
|例| （18，60）=6，［18，60］=180，18×60=6×180，18×60=（18，60）×［18，60］。
②三个整数的最大公约数与最小公倍数：
先求出任意两个数的最大公约数与最小公倍数，再分别求出这个最大公约数与第三个数的最大公约数和这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数，所得结果即所求三个数的最大公约数与最小公倍数。
|例| 求12，30，72的最大公约数与最小公倍数。
【解】 Ⅰ. 求12，30的最大公约数与最小公倍数，得（12，30）=6，［12，30］=60；
Ⅱ. 求6，72的最大公约数，得（6，72）=6；
Ⅲ. 求60，72的最小公倍数，得［60，72］=360；
Ⅳ. （12，30，72）=6，［12，30，72］=360。
5.完全平方数
（1）定义：设m为整数，若n=m2，则称n为完全平方数。
注：① 0和1是完全平方数；
②常用完全平方数的数值（熟记）
112122132142152162172182192212121144169196225256289324361441（2）性质：若n为完全平方数，且n≥2，则n必可写成n=pk11pk22…pkss，其中p1，p2，…，ps为质数，k1，k2，…，ks为偶数。
|例| 3 600=（60）2=（22×3×5）2=24×32×52。
6.整系数不定方程
（1）判定方法：未知数的系数及解均为整数且未知数的个数多于方程个数的方程称为整系数不定方程。
（2）分类：
①二元一次整系数不定方程：设x，y为未知整数，a，b，c为整数，求解方程ax+by=c。此类整系数不定方程的求解方法包括整除法、尾数法、奇偶法。
|例| 5x+6y=66，其中x，y∈N+，求x，y的值。
【解】 方法一（整除法）：方程两侧同时除以6，得56x+y=11，由于x，y∈N+，故56x为正整数，且1≤x＜665，即x为6的倍数，则x的取值可以为6，12，则相对应的y为6，1。
方法二（尾数法）：常数项66的尾数为6，5x项的尾数仅能为0或5，则由尾数的加减运算可得6y的尾数仅能为6或1。

上册章算术复习精导
考点精析
一、知识框架
二、考点精讲
题型精讲
一、实数
二、比与比例
三、绝对值
专题精练
基础夯实篇
能力提升篇
参考答案与解析
第二章代数式与函数复习精导
考点精析
一、知识框架
二、考点精讲
题型精讲
一、多项式运算
二、分式运算
三、函数
专题精练
基础夯实篇
能力提升篇
参考答案与解析
第三章方程与不等式复习精导
考点精析
一、知识框架
二、考点精讲
题型精讲
一、常规方程
二、特殊方程
三、不等式
四、均值不等式
专题精练
基础夯实篇
能力提升篇
参考答案与解析
第四章数列复习精导
考点精析
一、知识框架
二、考点精讲
题型精讲
一、等差数列
二、等比数列
三、一般数列
专题精练
基础夯实篇
能力提升篇
参考答案与解析
下册第五章应用题复习精导
考点精析
一、知识框架
二、考点精讲
题型精讲
一、经典型应用问题
二、知识型应用问题
专题精练
基础夯实篇
能力提升篇
参考答案与解析
第六章数据分析复习精导
考点精析
一、知识框架
二、考点精讲
题型精讲
一、计数问题
二、概率
三、数据描述
专题精练
基础夯实篇
能力提升篇
参考答案与解析
第七章平面几何及空间几何体复习精导
考点精析
一、知识框架
二、考点精讲
题型精讲
一、平面几何
二、空间几何体
专题精练
基础夯实篇
能力提升篇
参考答案与解析
第八章平面解析几何复习精导
考点精析
一、知识框架
二、考点精讲
题型精讲
一、曲线方程
二、圆的方程
三、解析几何应用
专题精练
基础夯实篇
能力提升篇
参考答案与解析