数学第一章集合与简易逻辑
第一章集合与简易逻辑
考纲解读
了解集合的含义、元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义。
理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算。
理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；了解全称量词与存在量词的意义。
第一节集合一、集合的概念与表示方法1集合的定义一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫作集合（简称集）。
2集合中元素的特性
确定性：给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了。如“个子较高的同学”“肤色较黑的人”都不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的。
互异性：集合中的任何两个元素都不相同，即在同一集合里不能出现相同元素。如由HAPPY的字母组成的集合为{H，A，P，Y}。
无序性：在同一个集合里，任意改变集合中元素的排列次序，它们仍然表示同一个集合。如集合{a，b，c，d}与{b，d，c，a}表示相同的集合。
3集合的分类
有限集：含有有限个元素的集合。
无限集：含有无限个元素的集合。
空集：不含有任何元素的集合，记作。如{xx2=-5，x∈R}=。
注：①空集表示集合中没有任何元素。
②{0}表示集合中只有一个元素，且该元素为“0”，是有限集。
③{}表示集合中只有一个元素，且该元素为“”，是有限集。
4集合的表示方法
通常我们用大写的拉丁字母A，B，C，…来表示集合，如A={我校的篮球运动员}；用小写的拉丁字母a，b，c，…来表示集合中的元素，如B={a，b，c}。
常用的集合表示方法有以下几种。
（1）自然语言法：用自然语言的形式来描述集合。如“不是直角三角形的三角形”。
（2）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。如{1，2，3}。
（3）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号里，形式如{xx<10，x∈R}。
（4）图示法：用数轴或韦恩图来表示集合。其中，韦恩图也叫文氏图，它既可以表示一个独立的集合，也可以表示集合与集合之间的相互关系。如图1-1。
图1-1
常用数集及其记法见表1-1。
表1-1常用的数集及其记法
名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N+ZQR注：①{（x，y）xy =0，x∈R，y∈R}表示坐标轴上的点集。
②{（x，y）xy＜0，x∈R，y∈R}表示二、四象限内的点集。
③{（x，y）xy＞0，x∈R，y∈R}表示一、三象限内的点集。
5元素与集合的关系
元素与集合是属于或不属于的关系。例如，元素a在集合M中，可以记作a∈M。符号“∈”读作“属于”，“”读作“不属于”。
二、集合间的基本关系1子集一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集，记作AB（或BA），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。
2真子集
对于两个集合A,B，如果集合AB，但存在元素x∈B，且xA，则称集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）。
3集合相等
如果构成两个集合的元素是一样的，即集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，集合B中的任意一个元素都是集合A中的元素，那么称集合A与集合B相等，记作A=B。
子集、真子集与集合相等的性质及韦恩图如表1-2所示。
表1-2子集、真子集与集合相等的性质及韦恩图
名称记号性质韦恩图子集AB或BA（1）AA
（2）A
（3）若AB且BC，则AC
（4）若AB且BA，则A=B或真子集AB或BA（1）A（A为非空子集）
（2）若AB且BC，则AC集合相等A=BAB且BA注：①空集是任何集合的子集。②任何一个集合是它自身的子集。③集合的子集和真子集具有传递性。④已知集合A有n（n≥1）个元素，则它有2n个子集，（2n-1）个真子集，（2n-1）个非空子集，（2n-2）个非空真子集。
三、集合的基本运算
全集：一般地，如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。
表1-3集合的基本运算
运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合叫作A，B的交集,记作A∩B（读作“A交B”），即A∩B={xx∈A且x∈B}由所有属于A或属于B的元素所组成的集合叫作A，B的并集,记作A∪B（读作“A并B”），即A∪B={xx∈A或x∈B}设U是一个集合，A是U的一个子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集（或余集），记作 瘙 綂 UA，即 瘙 綂 UA={xx∈U且xA}韦恩图示性质A∩A=A
A∩=
A∩B=B∩A
A∩BA
A∩BBA∪A=A
A∪=A
A∪B=B∪A
A∪BA
A∪BB（ 瘙 綂 UA）∩（ 瘙 綂 UB）= 瘙 綂 U（A∪B）
（ 瘙 綂 UA）∪（ 瘙 綂 UB）= 瘙 綂 U（A∩B）
A∪（ 瘙 綂 UA）=U
A∩ 瘙 綂 UA=
数形结合是求解集合问题的常用方法，解题要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决。如：集合的交、并、补等运算。
经典例题
已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）。
A 9B 8
C 5D 4
【答案】A。解析：集合A中的元素是有序整数对，所有满足条件的元素有（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（0，-1），（0，0），（0，1），（1，-1），（1，0），（1，1），共9个。故本题选A。第二节常用逻辑用语一、四种命题及其关系1命题的定义一般地，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题。判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题。我们常用小写字母p，q，r，…来表示命题。
2四种命题
对于大部分命题，我们都可以将其改写成“若m，则n”的形式，如“垂直于同一条直线的两个平面平行”就可以改写成“若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行”。我们把命题“若m，则n”中的m叫作命题的条件，n叫作命题的结论。
如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆命题。
如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫作互否命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的否命题。
如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫作互为逆否命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆否命题。
综上，设“若m，则n”是原命题，那么
“若n，则m”是原命题的逆命题；
“若m，则n”是原命题的否命题；
“若n，则m”是原命题的逆否命题。
3四种命题间的相互关系
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。四种命题的关系如图1-2。
图1-2
二、充分条件与必要条件1充分条件与必要条件的定义一般地，“若q，则p”是真命题，是指由q通过推理可以得出p。此时，我们称由q可推出p，记作
q p，
并说q是p的充分条件，p是q的必要条件。
如果“若q，则p”是假命题，那么称由q推不出p，记作
qp，
并说q不是p的充分条件，p不是q的必要条件。
如果既有q p，又有p q，那么称q等价于p，记作
q p，
并说q是p的充分必要条件，简称充要条件。
显然，如果q是p的充要条件，那么p也是q的充要条件。概括地说，如果q p，那么q与p互为充要条件。
2判断方法
在判断充分条件与必要条件时，首先要弄清楚什么是条件，什么是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，后进行判断。
（1）定义法
①若p q，但qp，则p是q的充分而不必要条件；
②若pq，但q p，则p是q的必要而不充分条件；
③若p q且q p，则p是q的充要条件；
④若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件。
（2）集合法
已知A={xx满足条件p}，B={xx满足条件q}，
①若AB，则p是q的充分而不必要条件；
②若BA，则p是q的必要而不充分条件；
③若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件；
④若A=B，则p是q的充要条件。
三、简单的逻辑联结词1逻辑联结词用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作
p∧q，
读作“p且q”。如命题p：“3是质数”，命题q：“3是奇数”，用“且”联结构成的新命题p∧q：“3是质数且是奇数”。
用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作
p∨q，
读作“p或q”。如命题p：“△ABC是锐角三角形”，命题q：“△ABC是钝角三角形”，用“或”联结构成的新命题p∨q：“△ABC是锐角三角形或钝角三角形”。
用逻辑联结词“非”对命题p否定，得到一个新的命题，记作
p，
读作“非p”或“p的否定”。如命题p：“12是3的倍数”，它的否定p：“12不是3的倍数”。
2简单命题与复合命题
简单命题：不含逻辑联结词的命题。
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。
表1-4复合命题的真假判断
pqp∧qp∨qp真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真
逻辑联结词“或、且、非”对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题。
四、全称量词与存在量词1全称量词与存在量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示。含有全称量词的命题，叫作全称命题。全称命题“对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为
x∈M，p（x）。
注：这里的p（x）是含有变量x的语句，M是变量x的取值范围。
展开
