高等数学的奥秘（数学一）章极限的概念、性质及计算章极限的概念、性质及计算
一、考试内容及要求
数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限：
limx→0 sinxx=1，limx→∞ 1+ 1xx=e，
洛必达（L’Hospital）法则，泰勒（Taylor）定理，定积分的概念。
1.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。
2.掌握极限的性质及四则运算法则。
3.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
4.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。
5.掌握用洛必达法则及泰勒公式求未定式极限的方法。
6.会用定积分的定义求简单的和式极限。
二、历年真题分布统计
2003—2022年本章真题分布统计
年份函数极限的
计算数列极限的
计算及证明无穷小量的
比较对收敛性及极限
性质的考查总计2003年4分4分8分2004年4分4分8分2005年2006年4分12分16分2007年4分4分8分2008年9分4分13分2009年4分4分2010年4分5分9分2011年10分5分15分2012年2013年4分4分2014年10分10分2015年4分10分14分2016年4分4分2017年10分10分2018年4分10分14分2019年4分4分2020年4分4分8分2021年5分+10分5分20分2022年5分5分总计76分47分30分21分174分
考研数学中，本章属于必考考点，几乎每年都会涉及，考题主要以客观题为主，也有部分解答题。在近五年的真题中，本章考查比例有增加的趋势。从考题分布来看，函数极限的计算是本章的核心内容，占了超过40%的比例，且无穷小的比较考查的也是函数极限的计算。所以，在本章的学习中，熟练掌握函数极限中各类未定式的计算方法是重点。此外，在近几年的真题中，对数列极限计算的考查比例也有所增加，2017年和2018年的真题中分别考查了运用定积分的定义及单调有界准则计算极限。除此之外，真题中还考查过对极限收敛性以及极限相关性质的证明，运用的考点主要包括极限的保号性、四则运算法则以及极限的收敛准则，这种题型考查频率不高，但得分率较低，是本章学习的难点，对于志在冲击高分的考生来说，这是必须突破的一道难关，其他考生简单了解即可，不必深究。
一、基本概念（一）极限1.函数极限视频讲解设函数f（x）在点a的某去心邻域内有定义，若存在实数A，使得对ε>0，总存在δ>0，当x∈（a-δ，a）∪（a，a+δ）时，有|f（x）-A|<ε，则称x→a时，f（x）的极限存在，并将其极限值定义为A，记作limx→a f（x）=A。
设函数f（x）在区间（-∞，-M）∪（M，+∞）内有定义（其中M为某正数），若存在实数A，使得对ε>0，存在X>0，当x∈（-∞，-X）∪（X，+∞）时，有|f（x）-A|<ε，则称x→∞时，f（x）的极限存在，并将其极限值定义为A，记作limx→∞ f（x）=A。
2.左、右极限
设函数f（x）在点a的某左邻域内有定义，若存在实数A，使得对ε>0，存在δ>0，当x∈（a-δ，a）时，有|f（x）-A|<ε，则称f（x）在a点的左极限存在，并将其极限定义为A，记作limx→a- f（x）=A。
设函数f（x）在区间（-∞，-M）内有定义（其中M为某正数），若存在实数A，使得对ε>0，存在X>0，当x∈（-∞，-X）时，有|f（x）-A|<ε，则称x→-∞时，f（x）的极限存在，并将其极限定义为A，记作limx→-∞ f（x）=A。
右极限limx→a+ f（x）与limx→+∞ f（x）的定义类似。
函数极限可以统一用limx→□ f（x）=A来表示，定义可以统一概括成一句话：当x在“□”的“附近”取值时（或x和“□”足够接近时），f（x）和A的距离可以任意小。“附近”的含义：在极限过程x→a中，a的“附近”表示a的去心邻域（a-δ，a）∪（a，a+δ）；在极限过程x→∞中，∞的“附近”指|x|足够大时x的取值范围，即区间（-∞，-X）∪（X，+∞）。在极限过程x→a-，a+以及-∞，+∞中，“附近”的含义类似。
3.数列极限
对数列{xn}，若存在实数a，使得对ε>0，存在正整数N，当n>N时，恒有|xn-a|<ε，则称数列{xn}的极限存在或数列{xn}收敛，并将其极限定义为a，记作limn→∞ xn=a。
①数列极限的定义也可以概括成一句话：当n足够大时，xn和a的距离可以任意小。
②注意n→∞的两个重要特征：首先，这里的∞专指+∞；其次，n的取值是离散的。对于约定表示正整数的符号，如m，k，i，j等，它们→∞都有类似的特征。
③函数极限与数列极限的关系：如果limx→+∞ f（x）=A，则必有limn→∞ f（n）=A；反之，如果limn→∞ f（n）=A，则不一定有limx→+∞ f（x）=A。
（二）无穷小量与无穷大量1.无穷小量若在某极限过程x→□（这里的x→□可以指函数极限x→a，x→a-，x→a+，x→∞，x→-∞，x→+∞中的任意一种，下同，数列极限无穷小量定义的表述类似）中，f（x）的极限为0，即limx→□ f（x）=0，则称x→□时，f（x）为无穷小量。
①在某极限过程中，函数极限为0，则在该极限过程中，函数为无穷小量。由定义可知，无穷小量不一定是0（但0一定是无穷小量），多数情况下，无穷小量是变化的，而不是静止不动的。从本质上看，无穷小量是一个变化过程，提到无穷小量的同时，一定要标明极限过程。例如，单独说“sinx是无穷小量”是没有意义的，正确的表述为“当x→0时，sinx是无穷小量”。
②无穷小量的重要性质：有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量；有限个无穷小量的和仍为无穷小量；无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量。
2.无穷大量
若在某极限过程x→□中，函数f（x）的绝对值无限增大，则称x→□时，f（x）为无穷大量，记作limx→□ f（x）=∞。其严格的数学表述如下：
limx→a f（x）=∞对M>0，δ>0，当0<|x-a|<δ时，恒有|f（x）|>M；
limx→∞ f（x）=∞对M>0，X>0，当|x|>X时，恒有|f（x）|>M。
①无穷大实际上是一个极限不存在的量，但极限不存在的量并不一定都是无穷大；
②与无穷小类似，无穷大也是动态变化的，而不是一个静止不动的数；
③无穷大与无穷小的关系：无穷大的倒数是无穷小，非0的无穷小的倒数是无穷大。
3.无穷小的比较
设limx→□ α（x）=limx→□ β（x）=0，且α（x），β（x）均在极限点□的附近不为零，则：
若limx→□ α（x）β（x）=0，则称x→□时，α（x）是β（x）的高阶无穷小，β（x）是α（x）的低阶无穷小，记作α（x）=o［β（x）］；
若limx→□ α（x）β（x）=C≠0，则称x→□时，α（x）与β（x）为同阶无穷小。若常数C=1，则称x→□时，α（x）与β（x）为等价无穷小，记作α（x）～β（x）。
视频讲解
高阶无穷小的常用性质，假设α（x）与β（x）均为x→□时的无穷小，且α（x）β（x）≠0，则有：
①o［α（x）］±o［α（x）］=o［α（x）］，a·o［α（x）］=o［α（x）］（a≠0），α（x）o［β（x）］=o［α（x）β（x）］；
②α（x）～β（x）α（x）=β（x）+o［β（x）］。
二、基本性质（一）四则运算法则设limx→□ f（x）=A，limx→□ g（x）=B，则：
limx→□ ［f（x）±g（x）］=limx→□ f（x）±limx→□ g（x）=A±B；
limx→□ f（x）g（x）=limx→□ f（x）·limx→□ g（x）=AB；
limx→□ f（x）g（x）=limx→□ f（x）limx→□ g（x）=AB（B≠0）。
①四则运算在极限计算中的基本作用是对函数进行分解，将函数拆分成两部分的和、差、积或商，各自求完极限之后再分别代入，拆分的时候要注意两点：一是保证各部分的极限均存在（可以有无穷），二是保证分解之后不会成为未定式。
②四则运算中有四种形式的未定式，分别是00型、∞∞型、0·∞型、∞-∞型，在这四种情况下，函数极限不确定，无法直接运用极限的四则运算法则。其余情况下，均可以进行四则运算，例如0∞=0，k·∞=∞（k≠0），∞+C=∞，∞+∞=∞等。这里要注意∞+∞与∞-∞的区别，关键在于这两个无穷大的符号是否一致，如果符号相同，则为∞+∞，结果为∞；如果符号相反则为∞-∞，结果未定。例如limx→-∞ （x2+x-x）=∞，而limx→-∞ （x2+x+x）则为未定式。
（二）数列极限的性质
唯一性：若{xn}收敛，则{xn}的极限limn→∞ xn是唯一的。
有界性：若{xn}收敛，则{xn}有界。
数列极限存在可以得到数列整体有界。
保号性：设有数列{xn}，若从某一项N开始，当n>N时有xn≥0，则当limn→∞ xn存在时，有limn→∞ xn≥0；若有limn→∞ xn>0，则从某一项N开始，当n>N时有xn>0。
视频讲解（三）函数极限的性质
唯一性：若limx→x0 f（x）存在，则极限limx→x0 f（x）是唯一的。
有界性：若limx→x0 f（x）存在，则存在正数δ，使得f（x）在（x0-δ，x0）∪（x0，x0+δ）内有界。
对于不同的极限过程，函数极限的有界性表述需做一定调整，其内容可以概括为：当f（x）在□处的极限存在时，f（x）在“□的附近”有界。其中“□的附近”的含义与极限定义中对应的表述相同。
保号性：若存在正数δ，使得对于任意满足0<|x-x0|<δ的x都有f（x）≥0，则当limx→x0 f（x）存在时，有limx→x0 f（x）≥0；若limx→x0 f（x）>0，则存在正数δ，使得对于任意满足0<|x-x0|<δ的x都有f（x）>0。
①对于不同的极限过程，函数极限的保号性表述需做一定调整，其内容可以概括为：如果在“□的附近”有f（x）≥0，且limx→□ f（x）存在，则有limx→□ f（x）≥0；如果limx→□ f（x）>0，则在“□的附近”有f（x）>0。分别称为加极限号的保号性及去极限号的保号性。
②注意加极限号的时候不等式是带等号的，去极限号的时候不等式是不带等号的。
③加极限号的时候一定要先保证极限存在。
三、重要公式与定理（一）极限存在的充分必要条件1.数列极限存在的充分必要条件数列{xn}的极限存在的充分必要条件是{xn}的任意子列极限均存在且相等。
2.函数极限存在的充分必要条件
函数f（x）在x→a时的极限存在的充分必要条件是f（x）在a点的左、右

章极限的概念、性质及计算
复习精导()
一、考试内容及要求()
二、历年真题分布统计()
考点精析()
一、基本概念()
二、基本性质()
三、重要公式与定理()
题型精讲()
一、函数极限的计算()
二、数列极限的计算()
三、无穷小的比较()
四、对收敛性及极限性质的考查()
专题精练()
一、函数极限的计算()
二、数列极限的计算()
三、无穷小的比较()
四、对收敛性及极限性质的考查()
参考答案及解析()
第二章极限的应用
复习精导()
一、考试内容及要求()
二、历年真题分布统计()
考点精析()
一、连续与间断点()
二、渐近线()
三、导数与微分()
四、多元函数微分学的概念()
五、方向导数与梯度()
题型精讲()
一、连续与间断点()
二、渐近线()
三、导数与微分()
四、连续、可导与可微的关系()
五、方向导数与梯度()
专题精练()
一、连续与间断点()
二、渐近线()
三、导数与微分()
四、连续、可导与可微的关系()
五、方向导数与梯度()
参考答案及解析()
第三章导数的计算
复习精导()
一、考试内容及要求()
二、历年真题分布统计()
考点精析()
一、一元函数导数的计算()
二、多元函数偏导数的计算()
题型精讲()
一、一元函数导数的计算()
二、多元函数偏导数的计算()
专题精练()
一、一元函数导数的计算()
二、多元函数偏导数的计算()
参考答案及解析()
第四章导数的应用
复习精导()
一、考试内容及要求()
二、历年真题分布统计()
考点精析()
一、导数的几何与物理意义()
二、单调性与凹凸性()
三、极值与拐点()
四、多元函数的极值()
五、偏导数在空间解析几何中的应用()
题型精讲()
一、导数的几何与物理意义()
二、单调性与凹凸性()
三、极值与拐点()
四、多元函数的极值()
五、偏导数在空间解析几何中的应用()
专题精练()
一、导数的几何与物理意义()
二、单调性与凹凸性()
三、极值与拐点()
四、多元函数的极值()
五、偏导数在空间解析几何中的应用()
参考答案及解析()
第五章不定积分
复习精导()
一、考试内容及要求()
二、历年真题分布统计()
考点精析()
一、基本概念()
二、基本性质()
三、常用公式()
题型精讲()
一、有理函数积分()
二、三角有理式的积分()
三、指数函数的积分()
四、含有根式的积分()
五、分部积分法的使用()
专题精练()
一、有理函数积分()
二、三角有理式的积分()
三、指数函数的积分()
四、根式的处理()
五、分部积分法的使用()
参考答案及解析()
第六章定积分的概念、性质及计算
复习精导()
一、考试内容及要求()
二、历年真题分布统计()
考点精析()
一、定积分的定义()
二、定积分的性质()
三、微积分基本定理()
四、定积分的常用方法()
五、广义积分()
题型精讲()
一、定积分的比较()
二、对变限积分的讨论()
三、定积分的计算()
四、广义积分()
专题精练()
一、定积分的比较()
二、对变限积分的讨论()
三、定积分的计算()
四、广义积分()
参考答案及解析()
第七章定积分的应用
复习精导()
一、考试内容及要求()
二、历年真题分布统计()
考点精析()
一、平面图形的面积()
二、简单几何体的体积()
三、曲线弧长()
四、旋转曲面面积()
五、功()
六、质心和形心()
七、液体的静压力()
题型精讲()
一、平面图形的面积()
二、简单几何体的体积()
三、曲线弧长()
四、旋转曲面面积()
五、功()
六、质心和形心()
七、液体的静压力()
专题精练()
一、平面图形的面积()
二、简单几何体的体积()
三、曲线弧长()
四、旋转曲面面积()
五、功()
六、质心和形心()
七、液体的静压力()
参考答案及解析()
第八章中值定理
复习精导()
一、考试内容及要求()
二、历年真题分布统计()
考点精析()
一、闭区间上连续函数的性质()
二、微分中值定理()
三、积分中值定理()
题型精讲()
一、对定理内容的考查()
二、对闭区间上连续函数性质的考查()
三、费马引理与罗尔定理()
四、辅助函数的构造()
五、双中值问题()
六、泰勒中值定理的使用()
专题精练()
一、对定理内容的考查()
二、对闭区间上连续函数性质的考查()
三、费马引理与罗尔定理()
四、辅助函数的构造()
五、双中值问题()
六、泰勒中值定理的使用()
参考答案及解析()
第九章微分方程
复习精导()
一、考试内容及要求()
二、历年真题分布统计()
考点精析()
一、基本概念()
二、一阶微分方程()
三、高阶微分方程()
题型精讲()
一、一阶微分方程的求解()
二、高阶微分方程()
三、线性微分方程解的性质()
四、积分方程的求解()
五、微分方程的应用()
专题精练()
一、一阶微分方程的求解()
二、高阶微分方程()
三、线性微分方程解的性质()
四、积分方程的求解()
五、微分方程的应用()
参考答案及解析()
第十章常数项级数
复习精导()
一、考试内容及要求()
二、历年真题分布统计()
考点精析()
一、基本概念()
二、基本性质()
三、正项级数敛散性判别法()
四、一般项级数敛散性的判别()
题型精讲()
一、运用定义判断级数敛散性()
二、对敛散性性质的运用()
三、正项级数敛散性的判别()
四、一般项级数敛散性的判别()
专题精练()
一、运用定义判断级数敛散性()
二、对敛散性性质的运用()
三、正项级数敛散性的判别()
四、一般项级数敛散性的判别()
参考答案及解析()
第十一章函数项级数
复习精导()
一、考试内容及要求()
二、历年真题分布统计()
考点精析()
一、基本概念()
二、幂级数的收敛半径与收敛域()
三、幂级数求和()
四、函数的幂级数展开()
五、傅里叶级数()
题型精讲()
一、幂级数的收敛半径与收敛域()
二、幂级数求和()
三、将函数展开成幂级数()
四、傅里叶级数()
专题精练()
一、幂级数的收敛半径与收敛域()
二、幂级数求和()
三、将函数展开成幂级数()
四、傅里叶级数()
参考答案及解析()
第十二章向量代数与空间解析几何
复习精导()
一、考试内容及要求()
二、历年真题分布统计()
考点精析()
一、空间直角坐标系()
二、向量()
三、平面与直线()
四、简单曲面()
题型精讲()
一、向量的运算()
二、直线与平面()
三、简单曲面()
专题精练()
一、向量的运算()
二、直线与平面()
三、简单曲面()
参考答案及解析()
第十三章重积分
复习精导()
一、考试内容及要求()
二、历年真题分布统计()
考点精析()
一、基本概念()
二、基本性质()
三、对称性()
四、计算方法()
题型精讲()
一、对重积分性质的考查()
二、二重积分的计算()
三、三重积分的计算()
四、综合问题()
专题精练()
一、对重积分性质的考查()
二、二重积分的计算()
三、三重积分的计算()
四、综合问题()
参考答案及解析()
第十四章类曲线积分与曲面积分
复习精导()
一、考试内容及要求()
二、历年真题分布统计()
考点精析()
一、类曲线积分()
二、类曲面积分()
题型精讲()
一、类曲线积分的计算()
二、类曲面积分的计算()
专题精练()
一、类曲线积分的计算()
二、类曲面积分的计算()
参考答案及解析()
第十五章第二类曲线积分与曲面积分
复习精导()
一、考试内容及要求()
二、历年真题分布统计()
考点精析()
一、第二类曲线积分()
二、第二类曲面积分()
三、场论初步()
题型精讲()
一、第二类曲线积分的计算（二维）()
二、积分与路径无关的讨论()
三、第二类曲面积分的计算()
四、第二类曲线积分的计算（三维）()
五、场论初步()
专题精练()
一、第二类曲线积分的计算（二维）()
二、积分与路径无关的讨论()
三、第二类曲面积分的计算()
四、第二类曲线积分的计算（三维）()
五、场论初步()
参考答案及解析()