考研数学题海战“数”800题（数学一）篇章函数、极限、连续
（一）考试内容
（1）函数：①函数的概念及表示法；②函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；③复合函数、反函数、分段函数和隐函数；④基本初等函数的性质及其图形；⑤初等函数；⑥函数关系的建立。
（2）极限：①数列极限与函数极限的定义及其性质；②函数的左极限和右极限；③无穷小量和无穷大量的概念及其关系；④无穷小量的性质及无穷小量的比较；⑤极限的四则运算；⑥极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则；⑦两个重要极限：
limx→0sinxx=1，limx→∞1+ 1xx=e。
（3）连续：①函数连续的概念；②函数间断点的类型；③初等函数的连续性;④闭区间上连续函数的性质。
（二）考试要求
（1）理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。
（2）了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
（3）理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
（4）掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
（5）理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。
（6）掌握极限的性质及四则运算法则。
（7）掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
（8）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。
（9）理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
（10）了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、大值和小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
1.(★★★)视频讲解设函数f(x)满足limx→1f(x)lnx=1，则（）
（A）f(1)=0。（B）limx→1f(x)=0。
（C）f′(1)=1。（D）limx→1f′(x)=1。
2.(★★☆)若函数f（x）=1－cosxax,x>0,b,x≤0在x=0处连续，则（）
（A）ab=12。（B）ab=- 12。
（C）ab=0。（D）ab=2。
3.(★☆☆)当x→1时，函数f（x）=x2-1x-1e1x-1的极限()
(A)等于2。(B)等于0。
(C)为∞。(D)不存在，但不为∞。
4.(★☆☆)函数f(x)=xsinx()
(A)当x→∞时为无穷大。(B)在(-∞，+∞)内有界。
(C)在(-∞，+∞)内无界。(D)当x→∞时极限存在。
5.(★★★)视频讲解已知数列{xn}，其中-π2≤xn≤π2，则（）
（A）当limn→∞cos(sinxn)存在时，limn→∞ xn存在。
（B）当limn→∞sin(cosxn)存在时，limn→∞ xn存在。
（C）当limn→∞cos(sinxn)存在时，limn→∞sinxn存在，但limn→∞ xn不一定存在。
（D）当limn→∞sin(cosxn)存在时，limn→∞cosxn存在，但limn→∞ xn不一定存在。
6.(★☆☆)设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且limx∞［g(x)-φ(x)］=0，则limx∞f(x)()
(A)存在且等于零。(B)存在但不一定为零。
(C)一定不存在。(D)不一定存在。
7.(★★☆)当x→0+时，与x等价的无穷小量是（）
（A）1-ex。（B）ln1+x1-x。
（C）1+x-1。（D）1-cosx。
8.(★★☆)把x→0+时的无穷小量α=∫x0cost2dt，β＝∫x20tan tdt，γ＝∫x0sint3dt排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列顺序是()
(A)α，β，γ。(B)α，γ，β。
(C)β，α，γ。(D)β，γ，α。
9.(★★☆)设x→0时ax2+bx+c-cosx是比x2高阶的无穷小，其中a，b，c为常数，则()
(A)a=12 ，b=0，c=1。(B)a=- 12 ，b=0，c=0。
(C)a=- 12，b=0，c=1。(D)a=12，b=0，c=0。
10. (★★☆)当x→0时，ex-(ax2+bx+1)是比x2高阶的无穷小，则()
(A)a=12，b=1。(B)a=1，b=1。
(C)a=12，b=-1。(D)a=-1，b=1。
11. (★★☆)设x→0时,(1+sinx)x-1是比xtanxn低阶的无穷小，而xtanxn是比(esin2x-1)ln(1+x2)低阶的无穷小，则正整数n等于()
(A)1。(B)2。
(C)3。(D)4。
视频讲解12. (★★★)设x→a时,f(x)与g(x)分别是x-a的n阶与m阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是()
① f(x)g(x)是x-a的n+m阶无穷小。
②若n＞m，则f(x)g(x)是x-a的n-m阶无穷小。
③若n≤m，则f(x)+g(x)是x-a的n阶无穷小。
(A)1。(B)2。
(C)3。(D)0。
13.(★★☆)设limx0atanx+b(1-cosx)cln(1-2x)+d(1-e-x2)=2，其中a2+c2≠0，则必有()
(A)b=4d。(B)b=-4d。
(C)a=4c。(D)a=-4c。
14.(★★☆)设f(x)=(x+1)arctan1x2-1,x≠±1，0，x＝±1，则()
(A)f(x)在点x=1处连续，在点x=-1处间断。
(B)f(x)在点x=1处间断，在点x=-1处连续。
(C)f(x)在点x=1，x=-1处都连续。
(D)f(x)在点x=1，x=-1处都间断。
15. (★★☆)设函数f(x)=xa+ebx在(-∞，+∞)内连续，且limx-∞f(x)=0，则常数a，b满足()
(A)a＜0，b＜0。(B)a＞0，b＞0。
(C)a≤0，b＞0。(D)a≥0，b＜0。
16. (★☆☆)设f(x)在点x0的某邻域内有定义，且f(x)在点x0处间断，则在点x0处必定间断的函数是()
(A)f(x)sinx。(B)f(x)+sinx。
(C)［f (x)］2。(D)f(x)。
17.(★☆☆)设f(x)在R上连续，且f(x)≠0，φ(x)在R上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是()
①φ［f(x)］必有间断点。
②［φ(x)］2必有间断点。
③f［φ(x)］没有间断点。
(A)0。(B)1。
(C)2。(D)3。
18. (★★☆)设f(x)和φ(x)在(-∞，+∞)上有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则()
(A)φ［f(x)］必有间断点。(B)［φ(x)］2必有间断点。
(C)f［φ(x)］必有间断点。(D)φ(x)f(x)必有间断点。
19. (★★☆)函数f(x)=limn∞x2n-1x2n+1的间断点及类型是()
(A)x=1为类间断点，x=-1为第二类间断点。
(B)x=±1均为类间断点。
(C)x=1为第二类间断点，x=-1为类间断点。
(D)x=±1均为第二类间断点。
20. (★☆☆)设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且limx∞f(x)=a，g(x)=f 1x，x≠0,0，x=0，
则()
(A)x=0必是g(x)的类间断点。
(B)x=0必是g(x)的第二类间断点。
(C)x=0必是g(x)的连续点。
(D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关。
1. (★★☆)limx→01+x+1-x-2x2=。
2. (★☆☆)limx→0ln(1+x2)secx-cosx=。
3. (★★☆)limx→01+tanx-1+sinxx1+sin2x-x=。
4. (★★☆)limx→03sinx+x2cos1x(1+cosx)ln(1+x)=。
5. (★☆☆)limx→0 x2sin1x=。
6. (★★☆)设a>0，a≠1，且limx→+∞xp(a1x-a1x+1)=lna，则p=。
7. (★★☆)limx→+∞6x6+x5-6x6-x5=。
视频讲解8. (★★★)limx→02x2+3x22x+3x1x=。
9. (★★☆)limx→0(cosx)1ln(1+x2)=。
10. (★★☆)设a1，a2，…，am(m≥2)为正数，则limn→∞(an1+an2+…+anm)1n=。
11. (★☆☆)设limx→∞x+2ax-ax=8，则a=。
12. (★★☆)数列xn=ne1+ 1n-n-1，则limn→∞xn=。
13. (★★☆)［x］表示不超过x的大整数，则limx→0x2x=。
14. (★☆☆)若f(x)=xsin1x,x>0,a+x2,x≤0在(-∞,+∞)内连续，则a=。
1. (★★☆)求极限limx→01-cosxcos2x…cosnxx2。
2. (★☆☆)求极限limx→0［sinx-sin(sinx)］sinxx4。
3. (★★☆)求极限limx→0∫x0du∫u0［u2-3sin(u-t)2］dtx8。
4. (★☆☆)求极限limx→02+e1x1+e4x + sinxx。
5. (★☆☆)求极限limx→0ln(1+x)x1ex-1。
6. (★★☆)求极限limx→0［(1+x)1x -e］sin［ln(1+x)］1+xsinx-1。
7. （★☆☆）求下列极限：
（Ⅰ）limn→∞1n2+1 + 1n2+2 +…+ 1n2+n；
（Ⅱ）limn→∞1n2+12 + 1n2+22 +…+ 1n2+n2；
（Ⅲ）limn→∞nn3+1 + 2nn3+2 + 3nn3+3 +…+ n2n3+n；
（Ⅳ）limn→∞12cos1n2 + 122cos2n2 + 123cos3n2 +…+ 12ncos1n；
（Ⅴ）limn→∞n11+n2 + 122+n2 +…+ 1n2+n2；
（Ⅵ）limn→∞lnn1+ 1n21+ 2n2…1+ nn2。
8. （★★☆）设函数f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx3，若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小，求a,b,k的值。
视频讲解9. (★★★)设数列{xn}满足0＜x1＜π,xn+1=sinxn(n=1,2,…)。
(Ⅰ)证明limn→∞ xn存在，并求该极限;
(Ⅱ)计算limn→∞xn+1xn1x2n。
视频讲解10. (★★★)(Ⅰ)证明：对任意正整数n，都有1n+1＜ln1+ 1n＜1n成立；
(Ⅱ)设an=1+ 12 +…+ 1n -lnn(n=1,2,…)，证明{an}收敛。
11. (★★☆)设函数f(x)在x=1的某邻域内连续，且有
limx→0ln［f(x+1)+1+3sin2x］1-x2-1=-4。
求f(1)及limx→0f(x+1)x2。
12. (★★☆)设f(x)=limn→∞x2n-1+ax2+bxx2n+1，求常数a与b的值，使f(x)在(-∞,+∞)上处处连续。
13. （★☆☆）求函数f(x)=lnxx－1sinx的间断点，并指出类型。
14. （★☆☆）求函数f(x)=x2－xx2－11+ 1x2的所有间断点及其类型。
（一）选择题
1.【答案】B
【解析】由极限的运算法则可知，
limx→1f(x)=limx→1f(x)lnxlnx=0，
故B项正确。
由于f(x)在x=1处是否连续未知，因此由极限式并不能确定f(1)的值，当f(x)在x=1处无定义时，此时A、C两项都是错误的。
对于D项，由于f(x)在x=1的去心邻域内是否可导未知，所以该结论也是错误的。
本题也可以利用等价无穷小的定义考虑，分母limx→1lnx=0，f(x)与lnx为等价无穷小，则limx→1f(x)=0。
2.【答案】A
【解析】由函数连续的定义可知，limx→0－f（x）=limx→0+f（x）=f（0）。因为
f（0）=limx→0－f（x）=b，
limx→0+f（x）=limx→0+1－cosxax=limx→0+12（x）2ax=12a，
所以b=12a，即ab=12。
本题考查分段函数在分段点处的连续性。先计算出函数f（x）在分段点x=0处的左、右极限，然后根据limx→0－f（x）=limx→0+f（x）=f（0）列出等式即可。在计算右极限时可以使用等价无穷小替换简化运算。
3.【答案】D
【解析】因为limx1-x2-1x-1e1x-1=limx1-(x+1)e1x-1=20=0,
limx1+x2-1x-1e1x-1=limx1+(x+1)e1x-1=+∞,
故当x→1时，函数极限不存在，也不是∞。
函数在一点极限存在的充分必要条件为函数在该点的左、右极限均存在且相等。
4.【答案】C
【解析】令xn=2nπ+ π2，yn=2nπ+π，则f(xn)=2nπ+ π2，f(yn)=0。因为limn→∞f(xn)=+∞，limn→∞f(yn)=0，所以f(x)在(－∞,+∞)内无界，且当x→∞时不一定为无穷大。
5.【答案】D
【解析】方法一：若f(x)
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