函数是微积分的主要研究对象，极限是微积分的理论基础，函数的连续性是函数可导与可积的重要条件，所以函数、极限和连续都是微积分的基础。本章是学好微积分的基石，这部分知识在考研真题中通常会出现两道小题或一道大题，且由于后面各章节中多数考点会涉及函数、连续的概念，并且在综合题中常用到极限和闭区间上连续函数的性质，因此考生在复习时要灵活掌握，在了解理论的基础上融会贯通。
1理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。
2了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
5了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念。
6了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
7理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
8理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
9了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、大值和小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。
一、函数
（一）函数的概念及表示法
1函数的概念
设数集DR，则称映射f：D→R为定义在D上的函数，记为y=f(x)，x∈D，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，f称为对应法则。
2函数的表示法
函数的表示法有：解析法（公式法）、表格法、图形法。
（二）函数的性质
1单调性
设函数f(x)的定义域为D,(a,b)D,则有下述结论：
（1）若对任意的x1,x2∈(a,b),当x1f(x2))，则称f(x)在(a,b)上单调递增（或单调递减）。
（2）若对任意的x1,x2∈(a,b)，当x1 判定方法：①f(x1)与f(x2)作差后与0比较（或f(x1)与f(x2)作商后与1比较）；②可导函数f(x)单调不减（不增）的充要条件是f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)。
2有界性
(1)若存在常数M，使f(x)≤M,x∈D，则称f(x)有上界。
(2)若存在常数m,使f(x)≥m,x∈D,则称f(x)有下界。
(3)若f(x)既有上界又有下界，则称f(x)有界。
结论：①f(x)有界的充要条件为存在常数M＞0，使f(x)≤M;②闭区间上的连续函数一定有界（有界性定理）；③函数有极限（收敛）局部有界；④有界是可积的必要条件（可积一定有界，反之不然）。
注：可积一定有界只是针对定积分而言的。
3奇偶性
若f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数；若f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数。
注： f(x)-f(-x)为奇函数， f(x)+f(-x)为偶函数。
结论：①若f(x)为可积的奇函数，则∫a-af(x)dx=0；②若f(x)为可积的偶函数，则∫a-af(x)dx=2∫a0f(x)dx；③若f(x)为一般可积函数，则∫a-af(x)dx=∫a0［f(x)+f(-x)］dx；④可导的奇（偶）函数每求一次导，其奇偶性发生一次改变（如F（x）是连续的奇函数，则F′（x）为偶函数）。
注：当遇到积分的上下限互为相反数时，应优先考虑利用被积函数的奇偶性简化计算。
4周期性
若存在T≠0，使对定义域中的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)是以T为周期的周期函数。
结论：若T为f(x)的周期，那么kT也是f(x)的周期,k=1,2,3,…。
注：周期函数未必有小正周期。
结论：①可导的周期函数的导函数仍然是周期函数，且周期不变；②若f(x)是以T为周期的连续函数，则∫a+Taf(x)dx=∫T0f(x)dx。
（三）常见函数类型
1基本初等函数
幂函数：y=xμ(μ∈R是常数)。
指数函数：y=ax(a>0且a≠1)。
对数函数:y=logax(a>0且a≠1，特别当a=e时，记为y=lnx)。
三角函数：如y=sinx,y=cosx,y=tanx等。
反三角函数：如y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等。
2初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数，例如y=sinx+ex。
3反函数
设函数y=f(x)的定义域是D，值域是W。如果对于W内的每一个y，由y=f（x）可以确定唯一的x∈D,这样在W上定义了一个函数，称为y=f(x)的反函数，记为x=f -1(y),y∈W。
习惯上自变量用x表示，因变量用y表示。y=f(x),x∈D的反函数记成y=f－1(x),x∈W。在同一坐标系中，y=f(x)和它的反函数y=f－1(x)具有相同的单调性，且它们的图形关于直线y=x对称。
4隐函数
如果变量x,y满足方程F(x,y)=0，在给定条件下，当x取某区间的任一值时，相应地总有满足该方程的唯一的y值与之对应，则称方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数。
5复合函数
设函数y=f(u)的定义域是Df,函数u=φ(x)的定义域是Dφ,值域是Rφ，且RφDf，则称函数y=f［φ(x)］为复合函数，它的定义域是{xx∈Dφ},u称为中间变量，x称为自变量。
6分段函数
用解析法表示的函数，若在其定义域D的各个不相交的子集上，分别用不同的式子表示，则该函数称为分段函数。
常见的分段函数有以下几种：
（1）绝对值函数y=x=x,x≥0,-x,x<0。
（2）大值函数max{f1(x),f2(x)}=f1(x),{xf1(x)≥f2(x)},f2(x),{xf1(x) 小值函数min{f1(x),f2(x)}=f2(x),{xf1(x)≥f2(x)},f1(x),{xf1(x) （3）取整函数［x］或intx，表示不超过x的大整数。
（4）符号函数y=sgnx=1,x>0,0,x=0,-1,x<0。
（5）狄利克雷（Dirichlet）函数y=D(x)=1,x是有理数,0，x是无理数。
二、极限
（一）极限的概念
1数列极限
设{xn}为一数列，limn→∞xn=A，A为常数对任意的ε>0，存在正整数N，当n>N时，有xn-A<ε，则称常数A是数列{xn}的极限。
2函数极限
设函数f(x)的定义域是R，存在常数A，limx→∞f(x)=A对任意的ε>0,存在X>0,当x>X时，有f(x)-A<ε，则称常数A是函数f(x)的极限。
类似可定义limx→+∞f（x）=A，limx→-∞f（x）=A。
设函数f（x）在点x0的某一去心邻域内有定义，A为一常数，则limx→x0f（x）=A对任意的ε＞0，存在δ＞0，当0＜x-x0＜δ时，有f（x）-A＜ε。3函数左、右极限
若存在常数A,对于任意给定的正数ε>0，总存在δ>0，使得当0 若存在常数A，对于任意给定的正数ε>0,总存在δ>0,使得当0 结论：当x→x0时，函数f(x)极限存在的充分必要条件是左极限及右极限存在且相等，即
f(x-0)=f(x+0)=A,
因此，即使f(x-0)和f(x+0)都存在，但若不相等，则limx→x0 f(x)也不存在。
（二）极限的相关性质
1数列收敛的性质
（1）唯一性：如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一。
（2）有界性：如果数列｛xn｝收敛，那么数列{xn}一定有界。
（3）保号性：如果limn→∞xn=a,且a>0(或a<0)，那么存在正整数N>0,当n>N时，都有xn>0(或xn<0)。
2函数收敛的性质
(1)唯一性：设limx→x0 f(x)=A,limx→x0 f(x)=B,则A=B。
(2)局部有界性：设limx→x0 f(x)=A,则存在δ>0和M>0，使当0 (3)局部保号性：设limx→x0 f(x)=A,且A>0(或<0),则存在δ>0,使当00(或<0),反之，若f(x)≥0（或≤0）,且limx→x0 f(x)=A存在，则A≥0(或≤0)。
注：（1）对于不同的极限过程，函数极限的保号性表述需做一定调整，其内容可以概括为：如果在“□的附近”有f（x）≥0，且limx→□ f（x）存在，则有limx→□ f（x）≥0；如果limx→□ f（x）>0，则在“□的附近”有f（x）>0。分别称为加极限号的保号性及去极限号的保号性。
（2）注意加极限号的时候不等式是带等号的，去极限号的时候不等式是不带等号的。
（3）加极限号的时候一定要先保证极限存在。
（三）极限存在准则
1夹逼准则
对于自变量x的同一变化过程，若limg(x)=limh(x)=A，且g(x)≤f(x)≤h(x)，则limf(x)=A。
2单调有界准则
设数列{un}单调递增（递减）且有上（下）界M(m)，则极限limn→∞un存在，且limn→∞un≤M(≥m)。
（四）极限的四则运算法则
设有函数f(x),g(x),如果在自变量的同一变化过程中，有limf(x)=a,limg(x)=b,则有：
① lim［f(x)±g(x)］=limf(x)±limg(x)=a±b;
② lim［f(x)·g(x)］=limf(x)·limg(x)=ab;
③ limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=ab(b≠0);
④ lim［cf(x)］=climf(x)=ca,其中c为常数;
⑤若limf(x)存在，则lim［f(x)］n=［limf(x)］n，n是任意正整数。
（五）两个重要极限
（1）limx→0sinxx=1。
（2）limx→0(1+x)1x=e或limx→∞1+1xx=e。
（六）无穷小量、无穷大量
视频讲解
1定义
无穷小量:若limx→x0 f(x)＝0(或limx→∞f(x)＝0),则称函数f(x)是当x→x0(或x→∞)时的无穷小量，简称无穷小。
无穷大量:若limx→x0 f(x)=∞(或limx→∞ f(x)=∞),则称函数f(x)是当x→x0(或x→∞)时的无穷大量，简称无穷大。
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