《中公版·2022全国硕士研究生入学统一考试MBA、MPA、MPAcc管理类专业学位联考综合能力专项突破教材：数学轻松通关（全新升级）》包含考纲规定的内容，全书共分三个部分：第一部分为大纲所要求的核心考点，讲述了综合能力数学部分的基础知识，并在易混易错的考点下面给出例题。第二部分为高频考点专题练习，供考生练习高频考点的题目。第三部分为真题，考生可通过研究2020年和2021年真题摸清考试规律和考试趋势，帮考生进一步提升作答能力。

　　　　第一节 整 数
　　　　一、整除
　　　　（一）整除
　　　　（1）整数的定义：整数是正整数、零、负整数的统称。两个整数的和、差、积仍然是整数。
　　　　（2）整除的定义：设a，b是两个任意整数，其中b≠0，如果存在一个整数q，使得等式a=bq成立，则称b整除a或a能被b整除，记作ba，此时我们把b叫作a的约数（因数），把a叫作b的倍数。例如：6=2×3，6既能被2整除又能被3整除。
　　　　（3）整除的性质：
　　　　①末一位数字能被2（或5）整除的整数能被2（或5）整除；
　　　　②末两位数字能被4（或25）整除的整数能被4（或25）整除；
　　　　③末三位数字能被8（或125）整除的整数能被8（或125）整除；
　　　　④各位数的数字之和能被3整除的整数能被3整除；
　　　　⑤各位数的数字之和能被9整除的整数能被9整除。
　　　　【注】①1 250末一位是0，则1 250能被2和5整除；末两位是50，能被25整除，则1 250能被25整除；末三位是250，能被125整除，则1 250能被125整除。
　　　　②2 235各位数字之和为2+2+3+5=12，12能被3整除，则2 235能被3整除；12不能被9整除，则2 235不能被9整除。
　　　　【例题1】若整数n既能被6整除，又能被8整除，则n的值可能为（ ）
　　　　（A）10 （B）12 （C）16 （D）22 （E）24
　　　　【答案】Ｅ
　　　　【解析】因为n既能被6整除，又能被8整除，结合选项，只有Ｅ项符合已知条件。
　　　　【例题2】1到90的自然数中，能被3整除或被5整除的数的个数是（ ）
　　　　（A）40 （B）42 （C）46 （D）48 （E）50
　　　　【答案】Ｂ
　　　　【解析】1到90的自然数中，能被3整除的数可表示为3k，k=1，2，3，…，30，所以能被3整除的数的个数为30；能被5整除的数可表示为5k，k=1，2，3，…，18，所以能被5整除的数的个数为18；既能被3整除又能被5整除的数一定为15的倍数，可表示为15k，k=1，2，3，…，6，所以既能被3整除又能被5整除的数的个数为6，所以能被3整除或被5整除的数的个数是30+18-6=42。
　　　　（二）余数
　　　　（1）带余除法的定义：设a，b是两个任意整数，其中b≠0，如果对任意的整数q，均不满足a=bq，则称b不整除a。设a，b是两个整数，其中b＞0，若存在整数q和r，使得a=bq+r（0≤r＜b）成立，而且q和r都是唯一的，则q叫作a被b除所得的不完全商，r叫作a被b除所得的余数。
　　　　【注】由整除的定义及带余除法的定义可知，若b＞0，则ba的充分必要条件是带余除法中余数r=0。
　　　　（2）带余除法的性质：如果a=bq+r，那么b整除a-r。
　　　　【例题】已知一个数介于100~150之间，若这个数除以4余3，除以5余3，除以6余3，则此数的各位数字相加之和为（ ）
　　　　（A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （E）9
　　　　【答案】Ｂ
　　　　【解析】根据题意可设此数为x，则x÷4=h1…3，x÷5=h2…3，x÷6=h3…3，余数相同，那么x-3为4，5，6的公倍数，则x-3=［4，5，6］×k，则x=60k+3。由于此数介于100~150之间，则100<60k+3<150，即　　　　二、奇数与偶数
　　　　1.定义
　　　　凡是能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数叫奇数。因为偶数是2的倍数，我们通常用2k来表示偶数，用2k+1来表示奇数（这里k是整数）。
　　　　【注】负整数和零也有奇偶性。
　　　　2.运算性质
　　　　（1）和差运算（同偶异奇）：
　　　　①奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数；
　　　　②若干个整数相加（相减），若奇数的个数为奇数，则和（差）为奇数；若奇数的个数为偶数，则和（差）为偶数。
　　　　（2）积运算（遇偶则偶）：
　　　　①奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数；
　　　　②若干个整数相乘之积为奇数，则这些数都是奇数；若干个整数相乘之积为偶数，则其中至少有一个数为偶数。
　　　　【例题1】【条件充分性判断】已知m，n是正整数，则m是偶数。
　　　　（1）3m+2n是偶数；
　　　　（2）3m2+2n2是偶数。

　　　　【答案】Ｄ
　　　　【解析】由条件（1）3m+2n是偶数，2n为偶数，所以3m为偶数，3是奇数，则m一定为偶数，所以条件（1）充分；由条件（2）3m2+2n2是偶数，由于2n2为偶数，则3m2为偶数，3为奇数，所以m2=m×m为偶数，所以m一定为偶数，因此条件（2）充分。
　　　　【例题2】【条件充分性判断】有偶数位来宾。
　　　　（1）聚会时所有来宾都被安排坐在一张圆桌，且每位来宾与其邻座性别不同；
　　　　（2）聚会时男宾人数是女宾人数的两倍。

　　　　【答案】Ａ
　　　　【解析】每位来宾与其邻座性别不同，所以来宾的坐法只能是：男女男女……，图形表示为

　　　　根据奇偶数运算性质，一定有偶数位来宾，所以条件（1）充分；条件（2）中男宾人数是女宾人数的两倍，而当女宾人数为奇数的时候，如女宾人数为3时，男宾人数为6，则总人数为9，总数为奇数，所以条件（2）不充分。
　　　　三、质数与合数
　　　　1.定义
　　　　设n为正整数，且n≥2，若n仅能被1和它本身整除，则称n为质数（素数），否则为合数。
　　　　2.性质
　　　　（1）2是唯一的偶质数；
　　　　（2）小于30的质数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29。
　　　　3.定理（算术基本定理）
　　　　任意一个大于1的整数a可以唯一地表示成质数的乘积的形式，即a=P1P2…Pn，其中，P1，P2，…，Pn是质数，且P1≤P2≤…≤Pn。
　　　　【例题1】三个小于12的质数之积恰好等于它们和的7倍，则这三个质数之和为（ ）
　　　　（A）13 （B）14 （C）15 （D）16 （E）17
　　　　【答案】Ｃ
　　　　【解析】假设这三个质数分别为a，b，c，则有abc=7（a+b+c）。因为a，b，c小于12，且小于12的质数有2，3，5，7，11，故其中某个质数为7，不妨假设a=7，则bc=b+c+7，且b，c的大小关系对终结果无影响，不妨设b　　　　【例题2】设a，b，c是小于12的三个不同的质数（素数），且a-b+b-c+c-a=8，则a+b+c=（ ）
　　　　（A）10 （B）12 （C）14 （D）15 （E）19
　　　　【答案】Ｄ
　　　　【解析】小于12的质数有2，3，5，7，11，因为a-b+b-c+c-a=8，a，b，c的大小关系对终结果无影响，不妨设a＜b＜c，则b-a+c-b+c-a=2c-2a=2（c-a），所以c-a=4。由于7与11中间没有质数，所以a和c只能是3和7，那么另一个质数为5，可得a=3，b=5，c=7，所以a+b+c=15。
　　　　四、公约数与公倍数
　　　　1.定义
　　　　设a，b均为正整数，若整数d满足da且db，则称d是a，b的一个公约数。a，b所有公约数中的大者叫作a，b的大公约数，记为（a，b）。若（a，b）=1，则称a，b互质。
　　　　例如：4与6的大公约数是2，12与16的大公约数是4。
　　　　设ａ，ｂ均为正整数，若ｄ是整数，满足ａｄ且ｂｄ，则称ｄ是ａ，ｂ的公倍数。ａ，ｂ所有公倍数中的小者叫作ａ，ｂ的小公倍数，记为［ａ，ｂ］。
　　　　例如：2与3的小公倍数是6，4与6的小公倍数是12。
　　　　2.定理
　　　　（1）两个自然数分别除以它们的大公约数，所得的商互质。即如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）＝1。
　　　　（2）两个自然数的公约数一定是这两个数的大公约数的约数。
　　　　五、完全平方数
　　　　1.定义
　　　　设m是整数，若n=m2，则称n为完全平方数。
　　　　2.常用性质
　　　　（1）0和1是完全平方数；
　　　　（2）常用的完全平方数数值：

　　　　六、整系数不定方程
　　　　1.定义
　　　　未知数的系数及解均为整数且未知数的个数多于方程个数的方程称为整系数不定方程。
　　　　2.二元一次整系数不定方程
　　　　设x，y为未知整数，a，b，c为整数，求解方程ax+by=c。此类整系数不定方程的求解方法包括整除法、尾数法、奇偶法等。
　　　　【例题】5x+6y=66，其中x，y均为正整数，求x，y的值。
　　　　【解析】方法一（整除法）：方程两侧同时除以6，得x+y=11 ，因为x，y均为正整数，故x为正整数，且1≤x＜，即x为6的倍数，则x的取值可以为6，12，则相对应y的取值为6，1。
　　　　方法二（尾数法）：常数项66的尾数为6，5x项的尾数仅能为0或5，则由尾数的加减运算可得6y的尾数仅能为6或1。由整数的奇偶运算法则可知6y必定为偶数，所以6y的尾数仅能为6，又因为x，y均为正整数，且1≤y<11，则y的取值可以为1，6，则相对应x的取值为12，6。
　　　　方法三（奇偶法）：根据奇偶运算法则可得6y必定为偶数，66为偶数，则5x必定为偶数，x为偶数，因为x，y均为正整数，且1≤x＜，则x的取值可以为2，4，6，8，10，12，但仅当x的取值为6，12时，y能够取得正整数值6，1。
　　　　第二节 实 数
　　　　一、实数的概念
　　　　有理数和无理数统称实数。整数和分数统称有理数，任何一个有理数都可以写成分数的形式。无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。

　　　　实数与数轴上的点是一一对应的。即对于数轴上的每一个点都可以找到唯一的实数与它对应；反过来，每一个实数都可以在数轴上找到一个确定的点与它对应。
　　　　【例题1】如果将整数看作小数点后面是0的小数，那么对实数进行的下列分类中，正确的是（ ）
　　　　
　　　　
　　　　（E）以上答案均不正确
　　　　【答案】C
　　　　【解析】根据题干的假设，整数应属于小数，因此A项错误；实数除了正实数和负实数，还包含0，因此B项错误；由有理数和无理数的定义可知，C项正确；由于0是有理数，故D项错误；E项显然错误。故选C。
　　　　【例题2】下列说法正确的是（ ）
　　　　（A）无理数都是实数 （B）带根号的数都是无理数
　　　　（C）无理数就是开方开不尽的数 （D）无限循环小数是无理数
　　　　（E）以上说法均不正确
　　　　【答案】Ａ
　　　　【解析】实数分为有理数和无理数，故Ａ项正确；是带根号的数，但=2是有理数，故Ｂ项错误；无理数是无限不循环小数，所有无限循环小数都可以转化为分数，即无限循环小数是有理数，故Ｃ、Ｄ两项错误。故本题选Ａ。
　　　　【例题3】以下命题中正确的是（ ）
　　　　（A）两个数的和为正数，则这两个数都是正数
　　　　（B）两个数的差为负数，则这两个数都是负数
　　　　（C）两个数中较大的一个其绝对值也较大
　　　　（D）加上一个负数，等于减去这个数的绝对值
　　　　（E）一个数的3倍大于这个数本身
　　　　【答案】Ｄ
　　　　【解析】根据正数与负数的运算关系，正数与负数的和也可能是正数，例如4与－2的和还是正数，故Ａ项错误；两个正数的差也可能为负数，例如2与

管理类专业学位联考综合能力数学部分题型分析（1）

第一章整数和实数（4）
第一节 整数（4）
第二节 实数（8）
第三节 习题精练（10）
第四节 答案及解析（12）
第二章 多项式（15）
第一节 定义及基本定理（15）
第二节 分式（18）
第三节 习题精练（18）
第四节 答案及解析（21）
第三章 方程（组）与不等式（25）
第一节 方程（25）
第二节 二元一次方程组（25）
第三节 一元二次方程（26）
第四节 分式方程（28）
第五节 不等式（29）
第六节 习题精练（35）
第七节 答案及解析（37）
第四章 数列（41）
第一节 一般数列（41）
第二节 等差数列（42）
第三节 等比数列（43）
第四节 习题精练（44）
第五节 答案及解析（46）
第五章 应用题（50）
第一节 比和比例问题（50）
第二节 行程问题（52）
第三节 工程问题（54）
第四节 浓度问题（55）
第五节 增长率问题（56）
第六节 容斥问题（57）
第七节 值问题（57）
第八节 习题精练（58）
第九节 答案及解析（63）
第六章 平面几何与立体几何（73）
第一节 平面几何（73）
第二节 立体几何（76）
第三节 习题精练（78）
第四节 答案及解析（85）
第七章 解析几何（95）
第一节 基本公式（95）
第二节 直线（96）
第三节 圆（98）
第四节 对称问题（100）
第五节 习题精练（102）
第六节 答案及解析（104）
第八章 排列组合（109）
第一节 定义及公式（109）
第二节 八种解题方法（111）
第三节 习题精练（114）
第四节 答案及解析（117）
第九章 概率（121）
第一节 基本概念及性质（121）
第二节 古典概型（123）
第三节 伯努利概型（125）
第四节 习题精练（125）
第五节 答案及解析（128）

第一章函数与不等式（134）
第二章 数列（143）
第三章 解析几何（154）
第四章 排列组合（172）
第五章 概率（182）

2020年管理类专业学位联考综合能力数学试题（200）
2021年管理类专业学位联考综合能力数学试题（205）
答案及解析（209）