第一部分基础概率论
第1章概率论的基本概念
1.1样本空间、事件
人们遇到的各种现象可以分为两类:必然现象和随机(偶然)现象.前者是指在一定的条件下必然出现的现象;后者在一定的条件下，并不总是出现相同的结果.对某随机现象的观察构成一个随机试验.一般来说，随机现象具有一定的规律性.概率论和数理统计的研究对象便是这种规律性.
定义1.1随机试验E的所有可能基本结果组成的集合称为E的样本空间(也称为基本事件空间)，记为Ω={ω}，其中元素ω为样本点;由某个样本点构成的单点集称为一个基本事件.
例如，掷一枚硬币的样本空间Ω={ω1，ω2}，其中，ω1表示正面朝上，ω2表示反面朝上;测量某产品误差的样本空间Ω={x:.10.x.10}.
注记1.1关于样本空间，我们需注意:
样本空间至少包含两个元素;
随机试验中任何两个基本事件不可能同时出现;
样本空间中元素的个数可能是有穷的，也可能是无穷的;它可能是可数的，也可能是不可数的.只包含有穷个或可数个样本点的样本空间称为离散的.
定义1.2随机试验E的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称为事件.
注记1.2对于事件概念，
通常，我们用大写英文字母表示事件;
事件是随机试验E的样本空间Ω的子集.特别地，Ω是一个事件，我们称之为必然事件;.也是一个事件，它在随机试验中都不发生，称为不可能事件;
事件可以用维恩图来表示(图1.1);
图1.1事件
当子集A中的某个样本点出现时，意味着事件A发生.
1.2事件的关系与运算
由于事件是一个集合，事件的关系和事件的运算自然地可以按照集合论中相应的规则来处理.设随机试验E的样本空间为Ω，A和B是它的子集.
下面，我们定义常见的一些事件关系:
若A-B，则称事件B包含事件A，它表示事件A发生则事件B必然发生;若A-B且B-A，则A=B.
事件A∪B称为事件A与事件B的和事件，表示A和B中至少有一个事件发生.
事件A∩B称为事件A与事件B的交事件(积事件)，表示事件A和B同时发生，在不产生混淆的情况下，交事件A∩B可以简记为AB.
事件A-B={x|x∈A&x.∈B}称为事件A与B的差事件，表示事件A发生，但事件B不发生.
若A∩B=，则称事件A与B是互不相容事件(互斥的)，表示事件A与B不能同时发生.例如，任意两个基本事件都是互不相容的.
若A∪B=Ω且A∩B=.，则称事件A与B互为逆事件(对立事件)，表示事件A和B中必有且仅有一个发生.A的对立事件通常记为A，显然有A=Ω-A.
注记1.3由差事件定义，我们有:A.B=AB.
例1.1设A、B、C为某随机试验的三个事件，则
事件“A与B发生，C不发生”可表示为ABC;
事件“A、B、C中至少有两个发生”可表示为AB∪AC∪BC;
事件“A、B、C中恰好有两个发生”可表示为ABC∪ABC∪ABC.
在进行事件运算时，我们经常要用到以下定律.令A，B，C为事件，有
交换律:A∪B=B∪A;A∩B=B∩A.
结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;A∩(B∩C)=(A∩B)∩C.
分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).
对偶律(德摩根律):A∪B=A∩B;A∩B=A∪B.
1.3概率的公理化定义及其性质
概率论作为一门数学学科，其基本概念必须要有严格的定义.这一节将介绍概率的公理化定义及其性质.下面，我们首先为这个公理化定义做一些准备工作.
1.3.1事件的σ-代数
定义1.3设Ω为一个集合，F是Ω的一些子集的集合，称F为Ω中一个σ-代数，如果它满足:
(1)Ω∈F;
(2)若A∈F，则A∈F;
(3)对于任意可数个A1，A2， ，An， ∈F，有.
注记1.4σ-代数对于事件逆运算及和运算是封闭的.
由事件的σ-代数定义，我们可以得到以下定理:
定理1.1设F为Ω中一个σ-代数，则有:
(1)Ω∈F;
(2)对于任意可数个A1，A2， ，An， ∈F，有;
(3)若A，B∈F，则A.B∈F，B.A∈F.
证明(1)由定义1.3中条件(1)和条件(2)可得.
(2)由于Ai∈F，i=1，2， ，故Ai∈F，因此，从而.
根据对偶律可知.
(3)由于A，B∈F，故A，B∈F，从而A∩B=A.B∈F，A∩B=B.A∈F.
该定理阐述了σ-代数的一个重要性质:集合的任一σ-代数关于该集合的积运算和差运算也是封闭的.
1.3.2概率定义
由于概率的基本概念缺乏明确的定义，早期概率论并不是一门成熟的数学学科.在事件的σ-代数定义基础上，柯尔莫哥洛夫(A.N.Kolmogorov)给出了概率的公理化定义，使得概率论发展为一门严谨的数学分支学科.
定义1.4设Ω为一个样本空间，F为Ω中一个σ-代数.如果定义F上的一个实值函数P(A)，A∈F，满足:
(1)非负性:P(A).0;
(2)规范性:P(Ω)=1;
(3)可列可加性:对于任意可数个，有.
那么称P(A)为事件A的概率，F为事件域，(Ω，F，P)为概率空间.
上述定义阐述了概率函数需满足的三个公理.值得注意的是，这个公理化定义并没有给出确定事件概率的方法;也就是说，概率还缺乏一个明确的语义.在归纳逻辑中，概率有多种解释，如古典概率解释、频率主义解释、卡尔纳普(P.R.Carnap)的逻辑确证度解释、拉姆齐(F.Ramsey)和萨维奇(L.J.Savage)等人的主观信念解释等.
例1.2假设Ω={ω1，ω2， ，ωn}，F为Ω的所有子集构成的集合，P({ωi})=1/n，i=1，2， ，n，对任意A∈F，定义，其中k是A所包含样本点的个数.
容易验证P(A)满足定义1.4中的三个条件，因此P是一个概率函数，(Ω，F，P)为一个概率空间.
定义1.5如果事件域F的事件序列{Ai}满足，那么称该事件序列是单调不减的，且称为序列{Ai}的极限事件;如果事件域F的事件序列{Ai}满足A1.A2. .An. ，那么称该事件序列是单调不增的，且称∞∩i=1Ai为序列{Ai}的极限事件.极限事件记为.
根据定义1.4，我们可以得到概率的一些重要性质:
定理1.2假设(Ω，F，P)为一个概率空间，那么有:
(1)
(2)有穷可加性:对于任意可数个，有.
(3)互补性:P(A)=1-P(A).
(4)单调性:若A.B，A，B∈F，则P(A).P(B)，P(B.A)=P(B).P(A).
(5)次可加性:对于任意事件A1，A2， ，An∈F，有.
(6)加法公式:对于A，B∈F，有P(A∪B)=P(A)+P(B).P(AB).
(7)一般加法公式:对于任意事件A1，A2， ，An∈F，有
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