第1章 点列极限与实数理论
　　微积分创立于17世纪后半期，其早期的创立者主要致力于发展强有力的方法，为解决天文、力学、光学等领域中的问题提供重要工具，但他们未能为自己的方法提供逻辑上无懈可击的理论证明.比如， Newton 在研究自由落体的瞬时速度时所采用的方法是:在中给时间 t 一个微小的增量 h (他称之为“瞬”)得到平均速度，
　　然后让 h 消失便得到瞬时速度 v = gt.这里的“瞬” h 究竟是什么呢? Berkeley 曾指出这一过程中的逻辑错误:在计算平均速度时，因为 h 作为分母，所以必须假设，但随后又令 h =0以得到瞬时速度，即 h 既不是0又是0.这个问题困惑了数学家一个多世纪.直到19世纪初， Cauchy 才用极限的概念把它基本解释清楚.随后， Weierstrass 创造了“ε-δ语言”，重新定义了极限、连续、导数等基本概念，使微积分进一步严格化.
　　1.1 数列极限与Stolz定理
　　在本节中，我们首先回顾数列极限的定义，再进一步介绍研究型数列极限的重要工具——Stolz 定理.
　　1.1.1 数列极限
　　在初等微积分课程的学习中我们已经知道，数列的极限为 a 是指:当 n 无限增大时， an 能无限接近 a.下面我们重述数列极限的严格数学定义(本书中，N 表示正整数集表示有理数集， R 表示实数集， C 表示复数集).
　　定义1.1.1 (数列极限)设是一给定数列，若对任意给定的0，都存在 N ∈ N，使得对任意的 n > N 都有，则称数列收敛于 a (或 a 是数列的极限)，记为有时也记为.
　　存在极限的数列称为收敛数列.特别地，极限为0的数列称为无穷小量.
　　定义1.1.1 说明，若，则对任意的正实数ε，当 n 比 N 大时， an 与a 的距离必小于ε.这种表达方式的重要性在于，避免了使用“无限增大”“无限接近”等模糊的描述，而采用实数ε、自然数 N 与 n 等确切表述.在定义1.1.1中，ε是任意给定的，不能用某个确定的正数来代替.所谓“任意”，着重强调的是“任意小”.当然，相对于 N 来说，ε是固定的，即ε一旦取出，满足要求的 N 就可以由ε确定.
　　注记1.1.1 不收敛的数列称为发散数列，故数列发散是指:对任意的a ∈ R，都存在ε0>0，使得对任意的 N ∈ N，必存在 nN > N 满足.
　　在数学上，常用下述“ε-N 语言”来表述.
　　在数列极限的“ε-N 语言”中，与等符号的先后次序是非常重要的.例如，若将上述“ε-N 语言”中的改为，则中从第 N +1项开始恒为 a;而若将改为，则可能是发散的.
　　下面举例说明如何利用“ε-N 语言”来证明数列的极限.
　　例1.1.1 设|q|<1.利用定义证明.
　　证明 当|q|=0时，对任意给定的ε>0，只需取 N =1，则对任意 n > N 都有.
　　当0<|q|<1时，对任意给定的ε>0，若取，则对任意的 n > N 都有.
　　从而，当|q|<1时，必有.
　　例1.1.2 利用定义证明:
　　证明(法一)设，则αn >0，且由二项式定理可得.
　　于是有.
　　从而，对任意给定的ε>0，若取，则对任意 n > N，都有.
　　故.
　　(法二)当 n .2时，利用算术-几何平均不等式可得.
　　于是有.
　　因此，对任意给定的ε>0，若取，则对任意的 n > N 都有.
　　故
　　从例1.1.1和例1.1.2可以看出，利用“ε-N 语言”证明数列极限存在的关键是:对任意的正实数ε，找到相应的 N.下面再通过一个例子说明，对于 N，我们强调的是它的存在性，而不需要求出它的*小值.
　　例1.1.3 (Cauchy 命题)设 a ∈ R.若，则.证明利用 Stolz 定理(定理1.1.1)很容易得到这一结论.我们这里利用数列极限的定义来证明.先考虑 a =0的情形.对任意给定的ε>0，由知，存在N1∈ N，使得对任意的 n > N1都有.另一方面，对于固定的 N1，我们有.
　　从而，对上述ε>0，必存在 N2∈ N，使得对任意的 n > N2都有.
　　因此，若取，则当 n > N 时必有.
　　这表明，.
　　对于的情形，令，则.由已证明的结论可知.
　　从而，
　　例1.1.1、例1.1.2和例1.1.3的结论本身也非常重要，*好能记住它们.
　　1.1.2 无穷大量
　　很容易证明，数列与都是发散的.但是，当 n 无限增大时，数列有一个稳定的变化趋势，即它的通项也无限增大，而数列则没有这种趋势.为了描述数列的这一特征，我们引入无穷大量的概念.
　　定义1.1.2 (无穷大量)设是一给定数列.若对任意给定的 G >0，都存在 N ∈ N，使得对任意的 n > N 都有an > G，
　　则称数列为正无穷大量，记为.
　　有时也记为.
　　类似地，可以定义负无穷大量、无穷大量.
　　在数学上，常用下述“G-N 语言”来表述.
　　值得指出的是，我们沿用记号仅仅是为了书写和语言的方便，并不意味着数列收敛或的极限存在.我们说的极限存在，指的是的极限值是一个实数.
　　例1.1.4 设.证明.
　　证明由可知，存在 N1∈ N，使得对任意的 n > N1都有.
　　另一方面，由可知，对任意给定的 G >0，必存在 N2∈N，使得对任意的 n > N2都有.
　　因此，若取，则当 n > N 时必有.
　　故.
　　证明:数列为正无穷大量.
　　证明(法一)利用 Oresme 的方法:对任意的 n ∈ N，根据不等式可得.
　　于是，利用数学归纳法易知.
　　从而，对任意给定的 G >0，若取，则对任意的 n > N，都有.
　　故为正无穷大量.
　　(法二)利用 Bernoulli 的方法:对任意的 n ∈ N，根据不等式
　　可知.
　　从而，.以此类推，并注意到数列单调增加可知，对任意给定的 G >0，必存在 N ∈N，使得对任意的 n > N 都有.
　　即为正无穷大量.

目录
前言
第1章 点列极限与实数理论 1
1.1 数列极限与Stolz定理 1
1.1.1 数列极限 1
1.1.2 无穷大量 4
1.1.3 Stolz定理 7
1.2 实数系的基本定理 10
1.2.1 单调有界定理 12
1.2.2 闭区间套定理 15
1.2.3 归并原理与Bolzano-Weierstrass定理 17
1.2.4 Cauchy收敛原理 20
1.2.5 确界存在定理 22
1.2.6 有限覆盖定理 25
1.2.7 实数系基本定理的等价性 26
1.3 上极限与下极限 27
1.3.1 数列的上极限与下极限 27
1.3.2 上极限与下极限的运算 30
1.3.3 上极限与下极限的应用 34
1.4 Rd中点列的极限及基本定理 36
1.4.1 Rd中的一些常用概念 36
1.4.2 Rd中点列的极限 38
1.4.3 Rd中的基本定理 39
1.5 压缩映射原理 44
1.5.1 一元函数的压缩映射原理 45
1.5.2 多元向量值函数的压缩映射原理 48
习题1 50
第2章 函数极限与连续函数 55
2.1 一元函数的极限与连续 55
2.1.1 函数极限的定义与Heine-Borel定理 55
2.1.2 函数极限的Cauchy收敛原理 57
2.1.3 连续函数 60
2.1.4 一致连续 63
2.2 闭区间上连续函数的性质 66
2.3 指数函数、对数函数、幂函数 75
2.3.1 指数函数 76
2.3.2 对数函数 80
2.3.3 幂函数 81
2.4 有界变差函数简介 82
2.5 混沌初步 90
2.6 多元函数的极限与连续 95
2.6.1 多元函数的极限 95
2.6.2 多元连续函数 98
2.6.3 紧集上的多元连续函数的性质 102
2.6.4 二元凸函数的连续性 106
2.6.5 向量值函数的极限与连续 107
习题2 108
第3章 微分学 112
3.1 一元函数导函数的性质 112
3.1.1 导数的定义 112
3.1.2 导数极限定理 114
3.1.3 导函数中间值性质 115
3.1.4 导数的逼近 118
3.2 一元函数的Taylor公式及其应用 119
3.2.1 一元函数的Taylor公式 120
3.2.2 一元函数的Taylor公式在理论分析中的应用 122
3.2.3 一元函数的Taylor公式在近似计算中的应用 126
3.3 多元函数的偏导数与Taylor公式 128
3.3.1 偏导数及其性质 129
3.3.2 多元函数的Taylor公式及其应用 133
3.3.3 多元函数向量值函数的微分学 136
3.4 隐函数定理 140
3.4.1 一个方程所确定的隐函数 140
3.4.2 方程组所确定的隐函数组 147
3.5 条件极值 151
习题3 160
第4章 积分学 164
4.1 定积分 164
4.1.1 Riemann积分的定义及其性质 164
4.1.2 Darboux和及其性质 166
4.1.3 Riemann可积的条件 169
4.1.4 Newton-Leibniz公式 172
4.1.5 积分中值定理 177
4.2 重积分 183
4.2.1 平面点集的面积 183
4.2.2 二重积分的定义与存在性 187
4.2.3 二重积分的计算 188
4.3 曲线积分与曲面积分 193
4.3.1 曲线积分 193
4.3.2 曲面的面积 198
4.3.3 曲面积分 202
4.3.4 Green公式、Gauss公式、Stokes公式 206
4.4 反常积分 211
4.4.1 无界区间上的反常积分 211
4.4.2 无界函数的瑕积分 217
4.4.3 反常积分的Cauchy主值 220
4.4.4 反常重积分 222
4.5 含参变量的定积分 227
4.6 含参变量的反常积分 233
4.6.1 含参变量反常积分一致收敛的定义 233
4.6.2 含参变量反常积分一致收敛的判别 235
4.6.3 含参变量反常积分一致收敛的性质 242
4.6.4Γ函数与Beta函数 251
4.7 变分学初步 255
4.7.1 一元函数情形 255
4.7.2 多元函数情形 260
习题4 263
第5章 级数理论 271
5.1 数项级数 271
5.1.1 正项级数敛散性的判别 272
5.1.2 一般项级数敛散性的判别 277
5.1.3 加法结合律 281
5.1.4 加法交换律 283
5.1.5 级数的乘法 286
5.2 函数列与函数项级数 289
5.2.1 函数列一致收敛的定义及其性质 289
5.2.2 函数项级数一致收敛的定义及判别法 296
5.2.3 函数项级数和函数的分析性质 300
5.3 幂级数 303
5.3.1 幂级数的和函数的基本性质 304
5.3.2 Taylor级数与函数的幂级数展开 310
5.3.3 复值幂级数与Euler公式 314
5.4 Fourier分析初步 315
5.4.1 Dirichlet积分 316
5.4.2 Fourier级数的收敛判别法 319
5.4.3 Fourier级数的积分与求导 325
5.4.4 Fourier级数的逼近性质 328
5.4.5 Fourier变换和Fourier积分 331
习题5 342
第6章 常微分方程 347
6.1 解的存在与延拓、比较定理 347
6.1.1 解的存在和唯一性定理 347
6.1.2 解的延拓 352
6.1.3 比较定理 355
6.2 线性微分方程组 357
6.2.1 齐次线性微分方程组 357
6.2.2 非齐次线性微分方程组 360
6.2.3 常系数齐次线性微分方程组的求解 363
6.3 稳定性理论初步 370
6.3.1 Lyapunov稳定性 371
6.3.2 按线性近似决定稳定性 374
习题6 377
参考答案与提示 380
参考文献 396
索引 397