第一章 矩阵
在线性代数中，矩阵是十分重要的工具，同时它在自然科学与工程技术领域也有着广泛的应用.
第一节 矩阵的概念矩阵的运算分块矩阵
一、知识要点
1.特殊矩阵
（1）零矩阵O.
（2）单位矩阵E.
（3）标量矩阵.
（4）对角矩阵.
（5）上(下)三角矩阵.
（6）对称矩阵（AT=A）.
（7）反对称矩阵（AT=-A）.
2.矩阵的线性运算
（1）加法：同型矩阵A=ij×n，B=ij×n，定义其加法.
（2）数量乘法：数k与矩阵A的乘积定义为.
3.矩阵的乘法
设
矩阵乘法满足的运算律：设A，B，C为同型矩阵，k为数，则；
（1）
（2）
（3）
注（1）矩阵A与B只有当A的列数与B的行数相等时才能相乘；
（2）矩阵的运算与数的运算规律有些是相同的，但也有许多不同之处，读者学习时需注意比较二者的差异.
4.方阵的幂
k个n阶方阵A连乘称为方阵A的k次幂，记作Ak，即
5.矩阵的转置设，将A的行列互换后得到的矩阵称为A的转置，记作AT，即
矩阵的转置满足的运算律：设A，B为矩阵，k为数，则.
6.分块矩阵的概念
将矩阵A用若干横线和竖线分成很多小矩阵（称为A的子块），以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似.
7.分块矩阵的运算
（1）加法：对同型矩阵用相同的方法进行分块为，其中A，B为同型矩阵，则.
（2）数乘：将矩阵分块为，则.
（3）乘法：矩阵分别分块为其中矩阵，是矩阵，则，其中.
8.分块对角矩阵.
二、典型例题
例1设矩阵，计算.
解
注 本题利用矩阵的加法和乘法可直接运算，但计算量较大.这里利用乘法对加法的分配律先化简、再代入计算.矩阵的运算与数的计算不同的地方是矩阵的乘法对加法的分配律有两种：左分配律和右分配律.因为矩阵没有乘法交换律，所以左分配律和右分配律是有区别的，于是提取公因子不能颠倒相乘矩阵的左右次序.总之，在类似的矩阵运算中，应注意矩阵运算与数的运算的区别.
例 2n阶矩阵A，B满足，证明：AB=O.
证由
得
又
所以.
用A分别左乘、右乘AB+BA=O等式两边，并利用A2=A，得
两式相减得AB=BA，再利用AB+BA=O，所以AB=O.
注 在矩阵运算中，AB不一定等于BA，若两者相等，则称A与B可交换.
例3已知，其中α是α的转置，计算.
分析本题的关键是利用矩阵乘法的结合律，并注意到αTβ是矩阵，而βαT是数.
解
例4设.
解
例5证明：如果A是实对称矩阵且2=，那么.
证 设实对称矩阵
例6设求A.
解设，则.
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三、练习题1
A类
一、判断题
1.设A，B为n阶方阵，则.（）
2.设，阶阵，且，则.（）
3.设，则必有.（）
4.设，阶方阵，已知AB=O，则.（）
二、填空题
1.设矩阵A=()a，B=(b)，则矩阵A与B可作加法的条件是，可作乘法AB的条件是.
2.设，则.
3.设，则
4.若，则.
5.若，则.
三、单项选择题
1.设A是mn矩阵，B是np×矩阵，矩阵，C是pm则下列运算不可行的是（）
（A） （B） （C） （D）
2.设A是mn矩阵，B是矩阵，则下列（）的运算结果是n阶方阵.
（A） （B） （C） （D）
3.设，阶方阵，满足关系O，则必有（）.
（A） （B） （C） （D）
4.设A是n(3)阶的方阵，为常数，是其伴随矩阵，k则.
（A） （B） （C） （D）
5.设A为n阶方阵，且a0，则
（A） （B） （C） （D）
四、计算题
1.设.
2.设.
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