第一章行列式及计算
　　行列式起源于解n个方程n个未知量的线性方程组，是研究矩阵、线性方程组、向量间的线性关系、特征值和二次型等问题的有力工具，它不仅贯穿于线性代数的始终，在数学的其他分支领域以及经济管理、物理、工程技术等学科中也都有着广泛的应用。
　　本章从解二元与三元线性方程组入手引入二阶与三阶行列式的概念，进而用排列的奇偶性把行列式推广到n阶，再讨论行列式的性质、计算方法以及用行列式求解线性方程组的克拉默法则。
　　1.1n阶行列式
　　1.1.1二、三阶行列式
　　对于二元线性方程组
　　（1.1.1）
　　利用消元法可得
　　当时，可得方程组的唯一解
　　为了便于记忆上述解的公式，引入记号
　　并给出如下二阶行列式的定义。
　　定义1.1.1　由2×2个数构成的记号称为二阶行列式，它表示代数和，即
　　（1.1.2）
　　它的横排称为行，竖排称为列，数称为行列式的元素。元素的第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列。通常用“D”或“det”表示行列式。
　　等式（1.1.2）中，等号右端的表示式又称为行列式的展开式。二阶行列式的展开式可以用如下对角线法则来记忆：
　　称上式的实线为主对角线，虚线为副对角线。于是二阶行列式便是主对角线上两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差。
　　利用二阶行列式，可以把上述方程组的解表示为
　　其中行列式D是由方程组（1.1.1）中未知量的系数按原位置构成的行列式，称为方程组的系数行列式。是将系数行列式D的第j列各元素依次换成方程组右端的常数项所得到的二阶行列式。
　　例1.1.1计算二阶行列式
　　解
　　为解三个方程三个未知量的线性方程组
　　（1.1.3）
　　我们用类似的方法，引入三阶行列式的概念。
　　定义1.1.2　由3×3个数构成的记号称为三阶行列式，它
　　表示代数和
　　即
　　三阶行列式也可用对角线法则得到。三阶行列式的对角线法则如图1.1.1所示。图中有三条实线可看作平行于主对角线的连线，三条虚线可看作平行于副对角线的连线，实线上三元素的乘积带正号，虚线上三元素的乘积带负号，所得六项的代数和就是三阶行列式的展开式。
　　图1.1.1
　　若三元线性方程组（1.1.3）的系数行列式，则方程组有
　　唯一解
　　其中Dj（j=1，2，3）是将系数行列式D的第j列（j=1，2，3）各元素依次换成方程组右端的常数项所得到的三阶行列式，即
　　例1.1.2计算三阶行列式
　　解　按对角线法则，有
　　对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。为研究四阶及更高阶的行列式，下面先介绍有关排列的知识，然后引出n阶行列式的概念。
　　1.1.2排列与反序数
　　定义1.1.3　由正整数1，2， ，（n.1），n组成的一个有序数组，称为一个n级排列。
　　如2431是一个4级排列，45123是一个5级排列，12 （n.1）n是一个n级排列，它具有自然顺序，称为自然排列（或标准排列）。
　　n级排列共有n!个，例如，3级排列共3!个，它们分别是123，132，213，231，312，321，其中只有123是自然排列，其他的3级排列都或多或少破坏了自然顺序。
　　定义1.1.4在一个排列中，如果一个大数排在了一个小数前面，就称这两个数构成一个反序（或逆序）。一个排列的反序总数称为这个排列的反序数（或逆序数）。以后用表示排列的反序数。
　　反序数为奇数的排列称为奇排列，反序数为偶数的排列称为偶排列。
　　例1.1.3　计算下列排列的反序数，并判断其奇偶性。
　　（1）2431；（2）45132；（3）635412。
　　解　（1）利用定义，找出排列中所有反序，反序总数即为排列的反序数。
　　在4级排列2431中，共有反序21，43，41，31，故τ（2431）=4，所以2431为偶排列。
　　（2）依次求出排列中每个数前面比它大的数的个数，然后求和就是排列的反序数。因为
　　所以，故τ（45132）=0+0+2+2+3=7，从而排列45132为奇排列。
　　（3）依次求出排列中每个数后面比它小的数的个数，然后求和就是排列的反序数。因为
　　所以，故τ（635412）=5+2+3+2+0+0=12，从而排列635412为偶排列。
　　例1.1.4求排列n（n.1） 321的反序数，并讨论其奇偶性。
　　解　排列n（n.1） 321的反序数
　　故当n=4k或n=4k+1时，排列n（n.1） 321是偶排列，而当n=4k+2或n=4k+3时，排列n（n.1） 321是奇排列。
　　定义1.1.5　在一个排列中，交换其中某两个数的位置，而其余各数的位置不动，就得到一个同级的新排列。对排列施行这样的一个交换称为一个对换，将相邻的两个数对换，称为相邻对换。
　　关于对换有如下结论。
　　定理1.1.1　对换改变排列的奇偶性，即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列。
　　证明略。
　　推论1　任意一个n级排列可经过一系列对换变成自然排列，并且所作对换次数的奇偶性与这个排列的奇偶性相同。
　　证明由定理1.1.1知，对换的次数就是排列奇偶性的变换次数，而自然排列是偶排列，因此结论成立。
　　推论2　在全部的n级排列中，奇偶排列各占一半，即各有个。
　　证明　设奇、偶排列各有p，q个，则p+q=n!。将p个奇排列的前两个数对换，则这p个奇排列全变成偶排列，并且它们互不相同，所以同理，将q个偶排列的前两个数对换，则这q个偶排列全变成奇排列，并且它们互不相同，所以。综上可得
　　1.1.3n阶行列式的定义
　　为了给出n阶行列式的定义，先来研究三阶行列式的展开式中项的构成规律。
　　三阶行列式的展开式为
　　容易看出：
　　（1）它的每一项都是3个元素的乘积，并且这三个元素位于三阶行列式的不同行、不同列。
　　（2）每一项的三个元素的行标排成自然排列123时，列标都是1，2，3的某一排列，这样的排列共有种，故三阶行列式展开式中含有6项。
　　（3）当每一项中元素的行标按自然顺序排列时，带正号的三项的列标排列是123，231，312，它们全是偶排列。而带负号的三项的列标排列是132，213，321，它们全是奇排列。即三阶行列式展开式中每一项的符号是当每一项中元素的行标按自然顺序排列时，如果对应的列标为偶排列时取正号，为奇排列时取负号。
　　综上所述，三阶行列式的展开式中的一般项可表示为，从而三阶行列式的展开式可简写为
　　其中表示对所有的3级排列求和。类似地，二阶行列式的展开式可写成
　　其中表示对所有的2级排列求和。
　　由此可归纳出一般n阶行列式的定义。
　　定义1.1.6　由n×n个数排成的n行n列的记号
　　称为n阶行列式。它表示所有取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和，其中是数的一个排列，且当这n个元素的行标按
　　自然顺序排列时，列标是偶排列时该项带正号，列标是奇排列时该项带负号，共有n!项。即

目录
第二版前言　
第一版前言　
本书所用符号说明　
第1章　行列式及其计算　1　
1.1　n阶行列式　1　
1.1.1　二、三阶行列式　1　
1.1.2　排列与反序数　4　
1.1.3　n阶行列式的定义　5　
1.2　行列式的性质　10　
1.2.1　行列式的性质　10　
1.2.2　利用性质计算行列式　15　
1.3　行列式按行（列）展开　20　
1.3.1　余子式、代数余子式的概念　20　
1.3.2　行列式按行（列）展开定理　21　
.1.3.3　拉普拉斯定理　27　
1.4　克拉默法则　34　
1.4.1　克拉默法则　34　
1.4.2　齐次线性方程组有非零解的条件　37　
复习题1　39　
*1　拓展知识　45　
*1.5　MATLAB软件介绍及行列式的程序示例　45　
1.5.1　MATLAB简介　45　
1.5.2　MATLAB桌面　45　
1.5.3　命令窗口　45　
1.5.4　M文件　46　
1.5.5　MATLAB基础知识　47　
1.5.6　计算行列式的MATLAB程序示例　49　
*1.6　行列式的应用　52　
第2章　几何向量空间与几何图形　54　
2.1　几何向量空间　54
2.1.1　向量及其线性运算　54　
2.1.2　空间直角坐标系与向量的坐标　56　
2.1.3　向量的模、方向角与方向余弦　59　
2.1.4　几何向量的投影　62　
2.2　几何向量的乘法　63　
2.2.1　数量积　63　
2.2.2　向量积　67　
2.2.3　混合积　69　
2.3　空间的平面与直线　71　
2.3.1　平面及其方程　71　
2.3.2　直线及其方程　75　
2.3.3　距离与平面束　80　
2.4　空间曲面与曲线　84　
2.4.1　球面及其方程　84　
2.4.2　柱面及其方程　85　
2.4.3　锥面及其方程　87　
2.4.4　旋转曲面及其方程　89　
2.4.5　二次曲面及其方程　92　
2.4.6　空间曲线及其方程　98　
复习题2　103　
*2　拓展知识　107　
*2.5　向量代数和空间图形的MATLAB程序示例　107　
2.5.1　向量基本运算的MATLAB程序示例　107　
2.5.2　二维图形的MATLAB程序示例　108　
2.5.3　三维图形的MATLAB程序示例　109　
*2.6　行列式在几何上的应用　117　
第3章　矩阵　120　
3.1　矩阵　120　
3.1.1　矩阵的概念　120　
3.1.2　几种特殊的矩阵　122　
3.2　矩阵的运算　126　
3.2.1　矩阵的加法　126　
3.2.2　矩阵的数乘　127　
3.2.3　矩阵的乘法　128　
3.2.4　方阵的幂　131
3.2.5　矩阵的转置　133　
*3.2.6　共轭矩阵　135　
3.3　矩阵的分块　137　
3.3.1　矩阵的分块方法　137　
3.3.2　分块矩阵的运算　139　
3.3.3　方阵的行列式　140　
3.3.4　分块对角阵　141　
3.4　矩阵的初等变换　144　
3.4.1　线性方程组的高斯消元法　145　
3.4.2　矩阵的初等变换　146　
3.4.3　初等矩阵　150　
3.5　逆矩阵　154　
3.5.1　逆矩阵的概念　154　
3.5.2　可逆矩阵的判定及求法　155　
3.5.3　矩阵方程的解法　160　
3.6　矩阵的秩　164　
3.6.1　矩阵秩的概念　164　
3.6.2　矩阵秩的求法　166　
3.6.3　线性方程组解的判定定理　168　
复习题3　174　
*3　拓展知识　181　
*3.7　矩阵的MATLAB程序示例　181　
3.7.1　矩阵基本运算的程序示例　181　
3.7.2　矩阵的秩的程序示例　183　
3.7.3　解线性方程组的程序示例　184　
.3.8　矩阵的应用模型　188　
3.8.1　矩阵在视图制作中的应用　188　
3.8.2　矩阵在密码和解密模型中的应用　190　
3.8.3　经济学中的投入–产出模型　192　
第4章　n维向量与线性方程组　195　
4.1　n维向量　195　
4.1.1　n维向量的概念　195　
4.1.2　n维向量的线性运算　196　
4.1.3　向量空间及其子空间　197　
.4.1.4　线性空间及其子空间　198
4.2　向量组的线性相关性.　202　
4.2.1　向量组的线性表示　202　
4.2.2　向量组的线性相关性　208　
4.2.3　向量组线性相关性的有关定理　212　
4.3　向量组的秩　217　
4.3.1　向量组的秩与极大线性无关组　217　
4.3.2　向量组的秩与矩阵秩的关系　219　
4.3.3　求极大线性无关组的方法　220　
4.3.4　向量空间的基、维数与向量的坐标　223　
4.4　齐次线性方程组解的结构　225　
4.4.1　齐次线性方程组解的性质　225　
4.4.2　齐次线性方程组的基础解系与解的结构.　226　
4.5　非齐次线性方程组解的结构　231　
4.5.1　非齐次线性方程组解的性质　231　
4.5.2　非齐次线性方程组解的结构　232　
复习题4　238　
*4　拓展知识　247　
*4.6　线性方程组的MATLAB程序示例　247　
4.6.1　向量组的秩的程序示例　247　
4.6.2　解线性方程组的程序示例　249　
*4.7　应用模型　252　
4.7.1　向量组线性相关性的应用模型　252　
4.7.2　线性方程组的应用模型　257　
第5章　矩阵的特征值与特征向量　262　
5.1　n维向量的内积　262　
5.1.1　n维向量的内积　262　
5.1.2　正交向量组与标准正交向量组　264　
5.1.3　施密特正交化方法　266　
5.1.4　线性变换与正交变换　267　
5.2　矩阵的特征值与特征向量　271　
5.2.1　特征值与特征向量的概念　271　
5.2.2　求特征值与特征向量的方法　275　
5.3　相似矩阵　279　
5.3.1　相似矩阵的概念　279　
5.3.2　矩阵的相似对角化　281
5.3.3　实对称矩阵的对角化　284　
复习题5　293　
*5　拓展知识　300　
*5.4　特征值与特征向量的MATLAB程序示例　300　
5.4.1　正交的程序示例　300　
5.4.2　特征值与特征向量的程序示例　301　
.5.5　特征值与特征向量的应用模型　304　
5.5.1　矩阵的极限　305　
5.5.2　离散动态系统的演化　306　
5.5.3　基于线性子空间的人脸识别　309　
第6章　二次型　311　
6.1　二次型及其标准形　311　
6.1.1　二次型及其标准形　311　
6.1.2　化二次型为标准形的方法　315　
6.2　正定二次型　319　
6.2.1　正定二次型的概念　319　
6.2.2　正定二次型的判定　320　
复习题6　323　
*6　拓展知识　328　
*6.3　二次型的MATLAB程序示例　328　
*6.4　二次型的应用　330　
习题参考答案与提示　334　
参考文献　360