第1章绪论
近年来，广义逆在工程技术等许多领域中得到了广泛的应用.如控制理论、*小二乘问题、矩阵分解、图像处理和统计随着不同的问题出现，许多不同的新型广义逆也应运而生，同时矩阵偏序在数理统计及矩阵不等式中有着重要的作用，因此讨论新型广义逆在偏序领域上的新情况具有很大的研究价值.
矩阵偏序和广义逆之间的关系一直被广泛关注.在中，Mitra和Hartwig通过使用外逆给出新的偏序.在中，Zheng给出A{2，3}，A{2，4}和A{2，3，4}的显式公式.在[65]中，Guterman考虑了矩阵不等式和减序的线性守恒.在中，Baksalary和Schipp得到了一些关于L6wner偏序的Hermite矩阵不等式的新的结果.在[111]中，Li和Tian通过使用秩等式和惯性等式，给出了一些关于L6wner偏序的Hermite矩阵不等式的充分必要条件.在中，Tian考虑了一些矩阵不等式，以及仝在[61]中，Gareis，Lattanzi和Thome考虑了矩阵不等式iViF，其中iV是给定的幂零矩阵，并且利用的逆的形式给出Y的特征.在[2]中，Ando得到当A与B构成强序等式时，对于任，则有成立，且，其中=CA.在[185]中，当=B=AXB在Hilbert空间上有界线性算子的集合中时，Vosough和Moslehian利用star序得到一些上述方程可解的充要条件并且得到在下上述方程的解.进一步，Thome等研究了在减偏序条件下一些控制系统的性质.Tian等[115，1821考虑了偏序在线性模型中的应用.Moslehian等给出的一个特征，其中A，S和都是Hilbert空间上的有界线性算子.Wang和Liu在指标为1的复矩阵中引入一个新的偏序.关于偏序及其应用的更详细的讨论可以参考.
矩阵分解是研究偏序理论的一个重要工具，它用于证明偏序的一些特征和性质，进而建立偏序.Baksalary和Manjunatha等在文献[13，14，121，194]中利用Hartwig-Spindelbdck分解讨论了core逆、core偏序的性质以及core偏序与其他偏序之间的关系.但并不是每个矩阵都是core可逆的，随后，core逆的概念被扩展到任意方阵，定义了BT逆逆和core-EP逆[121].在Hartwig-Spindelbock分解的基础上，Bemtez在[19]中引入了一种新的方阵分解，用于研究一般偏序和一般逆等.此外，文献[122]和[208]分别提出了一对矩形矩阵的同时极性可分解性以及加权极分解定理，并分别给出了GL偏序和WGL偏序的新特征.特殊矩阵在矩阵分解中发挥着重要作用.每个矩阵都可以唯一地写成两个矩阵的和：Hermite矩阵与斜Hermite矩阵之和，称为Toeplitz分解或笛卡儿分解[23，24，29];可对角化矩阵与幂零矩阵之和，称为S-N分解或JordanChevalley分解;群可逆矩阵与幂零矩阵之和，称为核心-幂零分解[131].
常见的广义逆有MoorePenrose逆A、Drazin逆A15，群逆，core逆等[13，58，68，156，187].其中，的core逆具有Moore-Penrose逆和群逆的性质，是满足条件及的唯一矩阵进一步，Wang和Liu在[194]中指出A的core逆是唯一的矩阵，满足
(1.0.1)
core逆可以用来求解矩阵方程.
此外，还有更多的广义逆，如DMP逆、CMP逆、逆等.关于这些广义逆的相关结论可见文献[127，137，148，202，210].
根据不同的广义逆，可以得到不同的偏序和拟序.
Drazin!45!*次在半群的所有正则元素的集合上引入了一个二元关系，并指出它是一个偏序.将该结果应用于复矩阵，Drazin给出了偏序的定义.
Hartwig和Styan用{1}-逆给出减偏序的定义，
另外，Hartwig指出分.
事实上，偏序是一种特殊的减偏序.它们在正交投影中是等价的在[73]中，Hartwig和Styan结合奇异值分解，在减偏序的基础上添加一些条件使它等价于偏序.他们指出
(1.0.2)
这个结果对于扰动计算十分重要.例如可以用来计算某些特殊循环型矩阵的Moore-Penrose逆[17].
根据群逆和*偏序，Mitra[133]定义了sharp序:
类似地，Baksalary和TVenkler从core逆出发，提出了core偏序的定义:
他们指出它在某种程度上介于*偏序和sharp序之间.
其他著名的偏序还有L6wner偏序、C-N偏序、GL偏序、CL偏序、core-EP偏序等.它们在数理统计及矩阵不等式中发挥重要作用.它们可用于求解算子方程和不等式.更多相关结论，可见[37，42，43，131，185，194，196，199].
如果一个二元关系在非空集上满足自反性、传递性和反对称性，则称其为偏序.一般来说，我们可以通过使用已知的广义逆来定义偏序.例如*偏序、减偏序和core偏序的定义.其他已知的偏序如sharp偏序、L6wner偏序、C-N偏序、GL偏序、CL偏序等可见文献[35，37，70，131，193，196].
许多学者讨论了各种偏序之间的关系.在提出core偏序定义的同时，Baksalary和Trenkler[131还考虑了core偏序和减偏序之间的关系.设A，他们指出，如果那么MR然而，A 由于矩阵的偏序在数理统计和矩阵不等式中的作用，矩阵偏序的理论成为近年来矩阵广义逆研究的一个热点.早先许多研究矩阵偏序领域的学者们研究减偏序、sharp偏序、core偏序和C-N偏序更多一些，这些偏序都是减序偏序.*近越来越多的数学家重新开始挖掘Ldwner偏序更多的用途与价值，因此GL偏序、WL偏序和CL偏序都被数学家们定义出来，这些偏序均为非减序类偏序.
引理1.0.1(Hartwig-Spindelbock分解）设，则存在酉矩阵，使得
(1.0.3)
其中：为义的奇异值构成的对角矩阵，且和满足.
显然A为core可逆的当且仅当矩阵K是非奇异的，即T非奇异.同时，A的core逆有如下形式.
引理1.0.2若形如(1.0.3)，则
(1.0.4)
其中是酉矩阵，且T是非奇异矩阵.
引理1.0.3设.若A为EP矩阵，则可以表示为
(1.0.5)
其中（7是西矩阵且T是非奇异矩阵.
引理1.0.4(核心-幂零分解）设，其指标为k，则4可以分解为两个矩阵和的形式：
其中，A2是幂零矩阵，AxA2=A2Ax=0且表示法唯一.
的核心-幂零分解也可表示为
其中，P和S为可逆矩阵，E为幂零指标为k的幂零矩阵.且此时
当A指标为1时，则有
集合中元素的二元关系如果满足自反性和传递性，则称为拟序关系.如果也满足反对称性，那么称其为偏序.设民和为两个集合且满足和上的两个偏序分别定义为和.则对于称是由表示的.
引理1.0.5([13，45，70，131，133，191])各种矩阵偏序的概念定义如下:
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