行列式作为线性代数的基础，对于考生解决考研试题中线性代数部分的题目至关重要。本章节的知识点在考试过程中一般不会被直接考查，但它与后续章节的联系非常紧密，因此涉及本章知识点的考题综合性很强，出现形式以选择题为主。在解题过程中除了要用到行列式常见的性质外，更需要结合矩阵、向量和特征值等相关知识点，所以对考生综合能力要求较高。考生需要有扎实的基础，不仅要理解行列式的概念，还要牢固掌握行列式的性质，更要懂得如何应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。
1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质。
2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。
一、行列式的概念
（一）二阶行列式的概念
设有4个数排成两行两列（横排称行，竖排称列）的数表
a11a12
a21a22,
表达式a11a22-a12a21称为上表确定的二阶行列式，并记作a11a12a21a22。
（二）三阶行列式的概念
设有9个数排成3行3列的数表
a11a12a13a21a22a23a31a32a33,(1)
记a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31,(2)
则（2）式称为数表（1）确定的三阶行列式。
（三）n阶行列式的相关概念
1.逆序数的概念
设n个元素为1到n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序。设p1p2…pn为这n个自然数的一个排列，考虑元素pi(i=1,2,…,n)，如果比pi大的且排在pi前面的元素有ti个，则称pi这个元素的逆序数是ti，全体元素的逆序数之和为
t=t1+t2+…+tn=∑nt=1ti,
即这个排列的逆序数。
逆序数为奇数的排列叫作奇排列，逆序数为偶数的排列叫作偶排列。
视频讲解
2.n阶行列式的概念
设有n2个数，排成n行n列的数表
a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann,
作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号（-1）t，得到形如
(-1)ta1p1a2p2…anpn(3)
的项，其中p1p2…pn为自然数1,2,…,n的一个排列，t为这个排列的逆序数，由于这样的排列共有n!个，因而形如(3)式的项共有n!个，所有这n!项的代数和
∑(-1)ta1p1a2p2…anpn
称为n阶行列式，记作
D=a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann，
简记作det(aij)，其中数aij为行列式D的(i,j)元。
3.余子式与代数余子式的概念
在n阶行列式中，把(i,j)元aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫作（i,j）元aij的余子式，记作Mij;记Aij=(-1)i+jMij,Aij叫作（i,j）元aij的代数余子式。
4.转置行列式的概念
记D=a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann,DT=a11a21…an1a12a22…an2a1na2n…ann,
行列式DT称为行列式D的转置行列式。
二、行列式的性质
视频讲解
性质1行列式与它的转置行列式相等。
性质2互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。
性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
推论行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
性质5若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和:
D=a11a12…(a1i+a′1i)…a1na21a22…(a2i+a′2i)…a2nan1an2…(ani+a′ni)…ann，
则D等于下列两个行列式之和
D=a11a12…a1i…a1na21a22…a2i…a2nan1an2…ani…ann+a11a12…a′1i…a1na21a22…a′2i…a2nan1an2…a′ni…ann。
性质6把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。
例如以数k乘第j列加到第i列上（记作ci+kcj），有
a11…a1i…a1j…a1na21…a2i…a2j…a2nan1…ani…anj…annci+kcja11…(a1i+ka1j)…a1j…a1na21…(a2i+ka2j)…a2j…a2nan1…(ani+kanj)…anj…ann(i≠j)。
（以数k乘第j行加到第i行上，记作ri+krj。）
三、行列式的计算
（一）行列式按行（列）展开定理
视频讲解
定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin(i=1,2,…,n),
或D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj(j=1,2,…,n)。
推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0,i≠j,
或a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0,i≠j。
（二）递推法
利用行列式的性质或展开式找出递推关系式，再根据所得的递推关系式递推或迭代求出所给行列式的值，该方法一般适用于高阶且元素有规律的行列式的计算。
（三）归纳法
（1）数学归纳法：
步，验证n=1时，命题fn正确;
第二步，设n=k时，命题fn正确；
第三步，证明n=k+1时，命题fn正确。
（2）第二数学归纳法：
步，验证n=1和n=2时，命题fn都正确;
第二步，设n 第三步，证明n=k时，命题fn正确。
（四）公式法
1.二阶及三阶行列式的计算
二阶行列式的值a11a12a21a22=a11a22-a12a21;
三阶行列式的值a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32。
2.上（下）三角形行列式的计算
上（下）三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积。
a11a12…a1n0a22…a2n00…ann=a110…0a21a22…0an1an2…ann=∏ni=1aii。
3.有关副对角线的行列式的计算
a11a12…a1,n-1a1na21a22…a2,n-10an-1,1an-1,2…00an10…00=00…0a1n00…a2,n-1a2n0an-1,2…an-1,n-1an-1,nan1an2…an,n-1ann=(-1)n(n-1)2a1na2,n-1…an1。
4.两个特殊的拉普拉斯展开式
设A为n阶方阵，B为m阶方阵，则
AO*B=A*OB=A·B，
OAB*=*ABO=（-1）mnA·B。
5.n阶范德蒙德行列式的计算
Vn=11…1x1x2…xnx21x22…x2nxn-11xn-12…xn-1n=1x1x21…xn-111x2x22…xn-121xnx2n…xn-1n=∏1≤j＜i≤n(xi-xj),
显然，当且仅当x1,x2,…,xn两两不等时，Vn≠0。
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